Professor Alisson de Souza

Apresentação em tema: "Professor Alisson de Souza"— Transcrição da apresentação:

1 Professor Alisson de Souza
Matemática Análise Combinatória

2 INTRODUÇÃO A análise combinatória Procura resolver problemas de contagem. As vezes contar pode ser algo bastante confuso ou trabalhoso. Nestes casos,através de métodos especiais, é possível obter resultados de um modo mais Rápido Exemplo Determinar as combinações possíveis de placas de carros no planejamento urbano, na teoria dos jogos e etc.

3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes, a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediarias. Exemplo Um homem possui 3 camisetas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes, ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa? Resposta 3 ∙ 2 = 6 maneiras diferentes.

4 Diagrama de arvore Exemplo 1
Representação que facilita a enumeração de eventos relacionados. Exemplo 1 Um homem possui 3 camisetas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes, ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa? Calça 1 Camiseta 1 Calça 2 Calça 1 6 Possibilidades. Camiseta 2 Calça 2 Calça 1 Camiseta 3 Calça 2

5 Diagrama de arvore Exemplo 2
Um homem joga sucessivamente uma moeda e ele irá parar se obter OU duas caras OU três lançamentos ( o que primeiro ocorrer ). Quantos resultados diferentes ele pode obter? Cara Cara Coroa Coroa Cara Coroa Coroa 7 Possibilidades. Cara Cara Cara Coroa Coroa

6 Principio fundamental da contagem
Exemplo 3 Sabendo que as placas de carros possuem 3 letras e 4 números, quantas combinações são possíveis? (indique os calculos) x 26 26 26 10 10 10 10 26³ ∙ 10 4 12167 ∙ 10000 Ou seja teríamos combinações possíveis de placas

7 Principio fundamental da contagem
Exemplo 4 Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 1, 2, 3, 4 e 5? x x = 60 5 4 3 Ou seja poderemos montar 60 números com 3 algarismos distintos

8 Principio fundamental da contagem
Exemplo 5 Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4? Cuidado 023, 045 são números de 2 algarismos, porque quando um número começa com 0 o mesmo é ignorado. x x =48 4 4 3 Ou seja poderemos montar 48 números com 3 algarismos distintos

9 Principio fundamental da contagem
Exemplo 6 Quantos números (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) que começam com 2 podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4? x x =12 1 4 3 Ou seja poderemos montar 12 números que começam com o número 2

10 Principio fundamental da contagem
Exemplo 7 Quantos números pares (de 3 algarismos distintos = algarismos diferentes) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3, e 4? Cuidado ao considerar os pares, não esqueça que o 0 não pode vir no começo! Divida o exercicio em casos. 1° Caso – Pares com 0 no final x x =12 3 4 1 2° Caso – Pares sem o 0 no final x x =18 3 3 2 Ou seja = 30 números pares distintos

11 Arranjos Através do principio fundamental da contagem, podemos criar alguns conceitos que facilitam muito os cálculos e a resolução de problemas de combinatória. Um arranjo pode ser de dois tipos: - Arranjo com repetição - Arranjo simples (também chamado de arranjo)

12 Arranjos com repetição
Nos arranjos com repetição ou simples, (a ordem é importante). Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos. Se em um grupo for possível repetir os elementos (como o próprio nome sugere) teremos um Arranjo com Repetição -Equação do arranjo com repetição r (AR) = n n,r Exemplo 8: Quantos números de 3 algarismos, podemos fazer com 1,2,3 e 4? x x = 4³ ou 64 combinações 3 (AR) = 4 64 4 4 4 4,3

13 Arranjos com repetição
9 – Em uma urna há 4 fichas diferentes numeradas de 1 a 4. Uma pessoa retira uma ficha, anota o número da mesma em um papel e recoloca a ficha na urna, repetindo o processo mais três vezes, criando uma sequência de quatro números. Quantas sequências são possíveis nesse caso? 4 x x x = 4 4 4 4 4 r 4 (AR) = n (AR) = 4 (AR) = 256 n,r 4,4 4,4

14 Arranjos Simples No arranjo (ou simplesmente arranjo) a ordem também é importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos. Se tivermos grupos sem repetição, teremos um arranjo Equação de arranjo simples: n ! A = ! = fatorial n,p (n – p)! 10 – Quantos números de 3 algarimos distintos, podemos fazer com os números 1,2,3 e 4? 4 ! ! x x = 24 combinações 4 ! A = = 4 3 2 4,3 (4 – 3)! 1! 1! ! = 24 combinações 1!

15 FIM