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RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória PROF. WALTER SOUSA.

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO Análise Combinatória PROF. WALTER SOUSA

2 Análise Combinatória A análise combinatória preocupa-se com o estudo do número de possibilidades de ocorrência de um determinado evento. A partir de um conjunto A com n elementos, estuda- se as possibilidades de formação de agrupamentos diferentes, com p elementos escolhidos entre as n possibilidades. Arranjos, Permutações e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares.

3 FATORIAL (!) Dado um número natural n>1, definimos fatorial de n, representado por n!, (leia fatorial de n) como sendo o produto de 1 até n. Forma: Exemplos:

4 OBSERVAÇÕES a) 1! = 1 b) Exemplos: c) 0! = 1 demonstração

5 Exemplo Calcule Outra forma

6 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM 1)Princípio multiplicativo (e): Regra do produto Se um evento ocorre em etapas, independentes e sucessiva, o número de possibilidades para o evento é igual ao produto das possibilidades das etapas que compõe o acontecimento. Total: P1, P2, P3,....,Pn são as possibilidades das etapas.

7 EXEMPLO 1 Se uma pessoa dispõe de três calças e duas blusas, de quanto modos distintos uma pessoa poderá escolher uma calça e um blusa, para ir a uma festa?

8 Solução : árvore de possibilidades TOTAL = 6 possibilidades Escolha de calça e blusa B1B1 C1C1 C2C2 C3C3 B1B1 B2B2 B1B1 B2B2 B1B1 B2B2 C1B1C1B1 C1B2C1B2 C2B1C2B1 C2B2C2B2 C3B1C3B1 C3B2C3B2

9 EXEMPLO 1 Solução: Quadro de possibilidades das etapas. C B 3 2 Total: 3 x 2 = 6 possibilidades

10 EXEMPLO 2 Uma moeda é lançada 03 vezes. Qual é o número de resultados possíveis?

11 EXEMPLO 2 São três etapas: lançar a moeda a primeira vez, a segunda vez e pela terceira vez. Cada etapa são 2 possibilidades: cara ou coroa Total: 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades

12 EXEMPLO 3 Há oito finalistas em um prova de natação, sendo 3 deles brasileiros. Responda: a)Qual o número de possibilidades para os três primeiros lugares? b)Qual o número de possibilidades para os três primeiros lugares, de modo que não haja brasileiro medalhista? c)o número de possibilidades para os três primeiros lugares, de modo que pelo menos um brasileiro seja medalhista?

13 EXEMPLO 3 a) São três etapas: 1, 2 e 3 lugares 1 colocado: 8 possibilidades 2 colocado: 7 restantes 3 colocado: 6 restantes Total: 8 x 7 x 6 = 336 possibilidades

14 EXEMPLO 3 b) São três etapas: 1, 2 e 3 lugares 1 colocado: 5 possibilidades (apenas estrangeiros) 2 colocado: 4 restantes 3 colocado: 3 restantes Total: 5 x 4 x 3 = 60 possibilidades

15 EXEMPLO 3 c) Pelo menos um brasileiro medalhista: 1, 2 ou 3 Negação: nenhum brasileiro medalhista: 60 casos Total: = 276 possibilidades

16 EXEMPLO 4 Quantas placas de veículos, com três letras e quatro números, podem ser formadas no sistema atual de emplacamento?

17 EXEMPLO 4 RESOLUÇÃO a)São três etapas para as letras do alfabeto: A, B, C,..., Z (26 letras possíveis para cada etapa) b)São quatro etapas para os números: 0, 1, 2,..., 9. (9 algarismos do sistema decimal para cada etapa) L L L N NN N Total = 26x26x26x10x10x10x10 = placas

18 EXEMPLO 5 (CESPE/ANAC) Julgue: O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.

19 EXEMPLO 5 RESOLUÇÃO São três etapas: Origem, Escala e Destino 1ª Origem: 3 possibilidades 2ª Escala: 4 possibilidades 3ª Destino: 7 possibilidades 1ª 2ª 3ª Total: 3 x 4 x 7 = 84 possibilidades item CERTO (84 é múltiplo de 12)

20 EXEMPLO 6 (ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) b) c) d) e) 4.650

21 EXEMPLO 6 RESOLUÇÃO a) São três etapas: 1, 2 e 3 lugares 1 colocado: 30 possibilidades 2 colocado: 29 restantes 3 colocado: 28 restantes Total: 30 x 29 x 28 = possibilidades

22 EXEMPLO 7 (CESPE/BB-2009) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. (1)O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. (2)O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. (3)Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24.

23 EXEMPLO 7 item (1) Equipes A, B, C, D e E (1)O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. São três etapas: 1, 2 e 3 lugares 1 colocado: 5 possibilidades 2 colocado: 4 restantes 3 colocado: 3 restantes 5 43 Total: 5x4x3 = 60 item: ERRADO

24 EXEMPLO 7 item (2) (2) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. São três etapas: 1, 2 e 3 lugares 1 colocado: 1 possibilidade (equipe A) 2 colocado: 4 restantes 3 colocado: 3 restantes 1 43 Total: 1x4x3 = 12 item: ERRADO

25 EXEMPLO 7 item (3) (3) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. São três etapas: 1, 2 e 3 lugares 1 colocado: 4 possibilidadeS (não equipe A) 2 colocado: 3 restantes 3 colocado: 2 restantes 4 32 Total: 4x3x2 = 24 item: CERTO

26 EXEMPLO 8 (CESPE/ANAC) Julgue: Considere a seguinte situação hipotética. O logotipo de uma empresa aérea é constituído por 4 listras diagonais, ainda sem cores definidas. Para essa definição, a companhia aérea deseja pintá-lo sobre um avião virtual usando 5 cores diferentes, de modo que as listras adjacentes não tenham a mesma cor. Nessa situação hipotética, o número de maneiras distintas de realizar tal procedimento será superior a 300.

27 EXEMPLO 8 - RESOLUÇÃO Há cinco cores disponíveis: supor A, B, C, D e E. Há 4 etapas Restrição: listras consecutivas de cores diferentes Total: 5 x 4 x 4 x 4 = 320 Item: CERTO

28 EXEMPLO 9 (CESPE/ANAC) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala em C é igual a 400.

29 EXEMPLO 9 – RESOLUÇÃO 6 estradas distintas ligando as cidades A e B 3 ligando B e C; 2 ligando A e C. Etapas: Origem e destino em A. (ABCBA; ABCA; ACBA; ACA) A-----B B -----C C-----B B-----A = 6x3x3x6 = 324 A-----B B-----C C-----A = 6 x 3 x 2 = 36

30 EXEMPLO 9 – CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO 6 estradas distintas ligando as cidades A e B 3 ligando B e C; 2 ligando A e C. Etapas: origem e destino em A. A-----C C -----B B-----A = 2 x 3 x 6 = 36 A-----C C-----A 2 2 = 2 x 2 = 4 Item CERTOTotal: = 400

31 EXEMPLO 10 (CESGRANRIO/PETROBRAS ) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura. As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?

32 EXEMPLO 10 Resolução Há 8 cores diferentes. primeira e a última contas devem ser da mesma cor (1ª = 5ª); a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor (2ª = 4ª); duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes. 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª = 8 x 7 x 7 = 392

33 EXEMPLO 11 (ESAF/MF) Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual a a) 720. b) 480. c) 610. d) 360. e) 540.

34 EXEMPLO 11 Resolução Sala 1: homem = C, D, E ou F Total: 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480 a) 720. b) 480. c) 610. d) 360. e) 540.

35 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM 2) Princípio aditivo (ou) Se um evento A pode ocorrer de m modos distintos e um evento B pode ocorrer de n modos distintos e se não for possível a realização dos dois eventos em conjunto, então o número de possibilidades de ocorrência do evento A ou do evento B é a soma das possibilidades de A com as de B (m + n). Total: m + n

36 EXEMPLO 12 Um casal está planejando uma viagem para um determinado destino. Existe a possibilidade de o casal escolher o transporte de por ônibus, por trem ou avião. Se existirem 3 rodovias, 1 ferrovia e 4 companhias aéreas que levem ao mesmo destino, então há quantas maneiras disponíveis para a viagem?

37 EXEMPLO 12 RESOLUÇÃO Rodovias: 3 Ferrovia : 1 Aéreas: 4 Total: = 8 maneiras disponíveis.

38 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM AGRUPAMENTOS SEM REPETIÇÕES 1) ARRANJOS SIMPLES São agrupamentos sem repetição de elementos, em que cada grupo difere do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos no grupo. Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo simples de taxa p, a todo agrupamento de p elementos distintos, dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos no grupo. ARRANJO : ORDEM DE ESCOLHA É IMPORTANTE. (ao trocarmos a ordem, encontramos uma nova solução)

39 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 1) ARRANJOS SIMPLES Escolher p elementos distintos (sem repetição) entre n possibilidades, em que a ordem de escolha é importante, ou seja, se trocarmos a ordem de escolha dos elementos, encontraremos uma nova solução para a questão. Forma: leia: Arranjo de n p a p.

40 EXEMPLO 13 a) Calcule

41 EXEMPLO 14 Em um tribunal há 7 desembargadores, dos quais deve-se escolher 3 deles os cargos de presidente, vice-presidente e corregedor da justiça. De quantas formas distintas poderão ser escolhidos?

42 EXEMPLO 14 - Resolução Supor escolhidos os desembargadores {A, B, C}, sendo A o presidente, B o vice e C o corregedor. Invertendo a ordem no grupo {C, B, A} gera uma nova solução (C presidente, B vice e A corregedor). A ordem é importante: caso de arranjo! Escolher 3 desembargadores entre 7: formas distintas.

43 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 1) ARRANJOS SIMPLES – CÁLCULO PRÁTICO, SEM FÓRMULA O arranjo arranjo de n p a p possui p fatores multiplicados a partir de n. Exemplos a) b)

44 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 2) PERMUTAÇÃO SIMPLES A permutação simples é um caso particular do arranjo simples, em que todos os n elementos do conjunto devem ser escolhidos. O número total de agrupamentos é dado por

45 EXEMPLO 15 De quantos modos distintos podemos organizar 5 pessoas em uma fila?

46 EXEMPLO 15 - Resolução

47 EXEMPLO 16 Quantos anagramas podem ser formados a partir da permutação das letras da palavra PROVA?

48 EXEMPLO 16 - Resolução Anagramas: Palavras com ou sem significado na linguagem, obtidas pela permutação das letras de uma palavra qualquer. Palavra: PROVA = 5 letras. Total =

49 EXEMPLO 17 Quantos anagramas da palavra PROVA começam com a letra P?

50 EXEMPLO 17 - Resolução Começando com P, restam 4 letras. Total = P + 4 letras Veja quadro de etapas P + 4 letras restantes = 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Total: 24

51 EXEMPLO 18 Quantos anagramas da palavra PROVA começam com a letra P e finalizam em A?

52 EXEMPLO 18 – Resolução 1ª casa: Letra P (1 possibilidade) 5ª casa: Letra A (1 possibilidade) Demais casas: 3 letras restantes Total = P + 3 letras permutadas + A Veja quadro de etapas P + 3 letras restantes A = 1 x 3 x 2 x 1 x 1 = 6 Total: 6

53 EXEMPLO 19 Quantos anagramas da palavra PROVA apresentam as letras P e A juntas?

54 EXEMPLO 19 – Resolução Apresentam as letras P e A juntas. Em todos os problemas de permutação onde houver pessoas ou objetos que obrigatoriamente fiquem juntos, deveremos transformá-los em elemento único e colocá-los dentro de caixas. PA juntas (igual a únicos) dentro da caixa e a seguir devemos organizar a caixa: P 2 modos. Após, permutamos a caixa com as demais letras: 1 (caixa) + 3 letras = P 4 modos. Total:

55 EXEMPLO 20 Quantos anagramas da palavra PROVA apresentam as letras as vogais em letra alfabética?

56 EXEMPLO 21 – Resolução Palavra PROVA Vogais: A e O Consoantes: P, R e V Devemos alocar 3 consoantes em 5 espaços. Após, teremos, nos espaços restantes, apenas uma possibilidade para as vogais em ordem alfabética: A seguida de O. A O P 1 R V1 Resposta:

57 EXEMPLO 22 (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a)1112 e b)1152 e c)1152 e d)384 e e)112 e 384.

58 EXEMPLO 22 a) a)homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; começando com homem H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 = ou (princípio aditivo) começando com mulher M1 H1 M2 H2 M3 H3 M4 H4 = Total: = 1152

59 EXEMPLO 22 b) b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas 4 homens serão permutados dentro da caixa, pois devem estar juntos. As 4 mulheres serão permutadas dentro da caixa, pois devem estar juntas. Em seguida devemos permutar as duas caixas, pois as caixas não obrigatoriamente estarão na ordem descrita. Total: Gabarito: C

60 EXEMPLO 23 Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, que posição ocupa o número ?

61 EXEMPLO 23 - Resolução algarismos distintos 1, 3, 4, 6 e 7 posição ocupada por Começando com 1: Começando com 3: Começando com 4: Começando com 6: seguido de 1 3: 2! = 2 seguido de 1 4: 37 e 73 = 2 Total: = 76ª

62 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 3) Permutações circulares (PC) Nesta seção estamos interessados em determinar de quantos modos podemos dispor n objetos distintos em n lugares em torno de um círculo. A cada disposição possível chamamos de Permutação Circular. O número de permutações circulares de n objetos é indicado por PCn. Duas permutações circulares são consideradas idênticas se, e somente se, quando percorremos o círculo no sentido anti- horário a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que formam seqüências iguais.

63 EXEMPLO 24 De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?

64 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM PERMUTAÇÕES CIRCULARES - Fórmula Forma: PC n = (n-1)! Da árvore de possibilidades temos que 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular de 6 modos diferentes, ou seja, PC 4 = 6. PC 4 = (4 – 1)! = 3! = 6 possibilidades

65 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 3) PERMUTAÇÕES CIRCULARES Prova Como o que importa é a posição relativa dos objetos, há 1 modo de colocar o 1º objeto no círculo (onde quer que o coloquemos, ele será o único objeto no círculo); há 1 modo de colocar o 2º objeto (ele será o objeto imediatamente após o primeiro); há 2 modos de colocar o 3º objeto (imediatamente após o primeiro ou imediatamente após o segundo elemento); há 3 modos de colocar o 4º objeto ( imediatamente após o primeiro ou imediatamente após o segundo ou imediatamente após o terceiro) e assim sucessivamente; existem n-1 modos de colocarmos o n-ésimo elemento. Portanto, PC n = 1 x 1 x 2 x 3 x... x (n-1) = (n-1)! PC n = (n-1)!

66 Exemplo 25 (ESAF/MF-2012) Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos? a) 96 b) 360 c) 120 d) 48 e) 24

67 Exemplo 25 - Resolução Seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos. Transformar Presidenta e vice em único (colocar na caixa) Pemutação circular de 5 elementos PC 5 = (5-1)! = 4! Organizar a caixa: P2 = 2! Total: 2! x 4! = 2 x 24 = 48 modos. Letra d) a) 96 b) 360 c) 120 d) 48 e) 24

68 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 4) COMBINAÇÕES SIMPLES Uma combinação simples é um tipo de agrupamento, sem repetição de elementos, em que cada elemento do grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. A ordem de escolha dos elementos não influencia o resultado, de modo que ao modificá-la não se obtém uma nova solução para a questão.

69 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 4) COMBINAÇÕES SIMPLES - Fórmula Escolher p elementos distintos entre n possibilidades em que a ordem não é importante.

70 Exemplos 26 Escolha 4 elementos distintos entre 10, sem que seja considerada a ordem na escolha.

71 COMBINAÇÃO – CÁLCULO PRÁTICO A combinação de n p a p, possui p fatores multiplicados a partir de n, divididos por p! (fatorial de P)

72 Exemplos 27 Determine quantos triângulos podem ser formados a partir de 7 pontos sobre uma circunferência. Solução: Escolher 3 pontos entre 7 possíveis. A ordem importa? Não! A G B F C E D A

73 EXEMPLO 28 Em um setor do TJDFT há 6 técnicos administrativos e 4 analistas. Determine o número de comissões de 5 servidores que podem ser formadas, a) contendo 3 técnicos e 2 analistas. b)contendo 2 técnicos e 3 analistas.

74 EXEMPLO 28 a) Comissão: A ordem não é importante a) contendo 3 técnicos e 2 analistas. Escolher 3 técnicos entre 6: Escolher 2 analistas entre 4: Total:

75 EXEMPLO 28 b) Comissão: A ordem não é importante b) contendo 2 técnicos e 3 analistas. Escolher 2 técnicos entre 6: Escolher 3 analistas entre 4: Total:

76 PRINCIPAIS TÉCNICAS DE CONTAGEM 4) PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES Permutação com repetição de n elementos, em que a, b, c,.... são taxas de repetições.

77 EXEMPLO 29 Anagramas da palavra ANA. 1º) ANA* 2º) AA*N 3º) NAA* 4º) NA*A 5º) A*NA 6º) A*AN Mas, 1º = 5º; 2º = 6º; 3º = 4º. Logo, temos apenas 3 anagramas.

78 EXEMPLO 30 Anagramas da palavra MATEMÁTICA M = 2 vezes; A = 3 vezes; T = 2 vezes.

79 6) COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO Escolher p elementos entre n possibilidades em que a ordem não é importante, mas há repetições de elementos. Transformaremos combinação com repetição de n elementos p a p em combinação simples de n+p-1 elementos p a p.

80 Exemplo 31 De quantos modos distintos um pessoa pode escolher duas bolas de sorvetes entre cinco possibilidades? Escolher 2 bolas entre 5 possibilidades. Pode repetir sabor!


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