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ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO Exemplo: Calcular o valor de:

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2 ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = = 120 4! = = 24 3! = = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO Exemplo: Calcular o valor de: a) 4! + 3!b) 7! Observe que: 4!+3! 7! c) n! = n.(n 1). (n 2). (n 3) = 8! ! 90 =

3 d) – 49! 49! ! (50 – 1) 49! 49 O conjunto solução de: é: (n – 1)! = 210 (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n = 210 n 2 + n – 210 = 0 n = 14 n = - 15 (não convém) Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 (m – 3)! = 1!ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 1 m = 4 m – 3 = 0 m = 3 Logo a soma dos valores de m é 7

4 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E 1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : E n é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1. E E k é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) =

5 Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis : : : Usando o princípio fundamental da contagem: = números fixo

6 Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? = 9900 maneiras

7 USA TODOS ELEMENTOS NÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO COMBINAÇÃO IMPORTA ORDEM NÃO IMPORTA ORDEM P n = n! FORMULÁRIO

8 01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 total p = 2 usa A C Corda AC = CA COMBINAÇÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem

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10 03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine: USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem a) Total de Anagramas P n = n! P 6 = 6! P 6 = 720 b)O número de anagramas que começam em N e terminam em O NO {U, M, E, R} P 3. P 4 3!.4! = 144 c)O número de anagramas que possuem N, U, M juntas. N UM E R O X d)O número de anagramas que possuem N, U, M juntas e nessa ordem. P 4 = 4! = 24

11 04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento) USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 05) ( ITA ) O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:

12 06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem n = x total p = 2 usa COMBINAÇÃO José – CarlosCarlos – José 56 = x 2 - x x 2 – x – 56 = 0 x = 8

13 07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é: USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem x 2 – x =56 x 2 – x – 56 = 0 x = 8

14 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A equação = 12 não possui solução. x(x – 1) = 12 x 2 – x – 12 = 0 x 1 = 4 ou x 2 = – 3 (não serve). F 02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas P n = n! P 4 = 4! = 24 V 04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30. F ou + e x 08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de =336 ARRANJO P.F.C 6 F

15 09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. 02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento) 04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. 08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. F F F Terminados em 2 Terminados em 6 TOTAL: 180 V


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