O que você deve saber sobre

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1 O que você deve saber sobre
PROBABILIDADE Pierre-Simon Laplace ( ), no livro Teoria analítica das probabilidades, demonstra admiração por esse campo da matemática por meio da afirmação: “Uma ciência que começou pelo estudo dos jogos de azar tem se transformado no mais importante objeto do conhecimento humano”. 1

2 Probabilidade É a razão entre o número de possibilidades de certo evento ocorrer e o número total de eventos possíveis numa dada situação. Na contagem das possibilidades, podemos usar resultados de análise combinatória, além de conceitos originados nas operações entre conjuntos. Exemplos atuais de aplicação no estudo das probabilidades: a análise dos riscos presentes nas coberturas de seguros, ferramenta de escolha em investimentos no mercado financeiro. PROBABILIDADE 2

3 I. Algumas definições Experimento aleatório: experimento que, se repetido indefinidamente, gera resultados imprevisíveis. Ex.: o lançamento de um dado honesto, o sorteio de um número de roleta etc. Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. É indicado pela letra S. Evento: conjunto de resultados desejados do espaço amostral, ou seja, um subconjunto de S. É indicado pela letra E. Evento simples: todo subconjunto do espaço amostral com apenas um elemento. Espaço amostral equiprovável: todo aquele em que cada evento simples nele contido tem a mesma chance de ocorrer. PROBABILIDADE 3

4 II. Definição de probabilidade
A probabilidade de ocorrer um evento E em um espaço amostral equiprovável S, denotada por P(E), é dada pela razão entre o número de elementos do conjunto que representa o evento – n(E) – e o número de elementos do espaço amostral – n(S): PROBABILIDADE 4

5 III. Consequências da definição
Seja E um evento simples de certo espaço amostral S. • Se o conjunto de resultados de E for vazio, então n(E) = 0 e P(E) = 0 (evento impossível). • Se o conjunto de resultados de E coincidir com S, então n(E) = n(S) e P(E) = 1 (evento certo). Assim, a probabilidade P(E) será sempre tal que: PROBABILIDADE 5

6 IV. Eventos: tipos e operações
a) União de dois eventos: pode se dar de duas maneiras. Nesse caso, número de elementos da união entre A e B: A  B   Probabilidade da união entre os eventos A e B: PROBABILIDADE 6

7 IV. Eventos: tipos e operações
A  B =  Nesse caso, os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos: PROBABILIDADE 7

8 IV. Eventos: tipos e operações
b) Eventos complementares: se A  B = Ø e se A  B = S. Como consequência, teremos: PROBABILIDADE 8

9 IV. Eventos: tipos e operações
c) Eventos independentes: a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência do outro. A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos é dada por: PROBABILIDADE 9

10 V. Probabilidade condicional
No cálculo de probabilidades é comum o estudo de situações que envolvem a ocorrência de eventos subsequentes. Em alguns casos, os resultados dos primeiros eventos podem interferir nos resultados dos posteriores: em geral, o espaço amostral posterior é reduzido pela ocorrência do evento anterior. Dizemos que se trata de uma probabilidade condicional, ou seja, de um caso em que se deve fazer o cálculo da probabilidade de um evento sabendo-se que outro já ocorreu. Indicação: P(A|B) é a probabilidade de o evento A ocorrer, sabendo-se que o evento B já ocorreu, ou ainda, é a probabilidade de A condicionada a B. PROBABILIDADE 10

11 VI. O método binomial As probabilidades envolvidas na repetição de um experimento têm relação com os coeficientes do desenvolvimento do binômio (a + b)n. Ex.: análise das probabilidades de ocorrência de dois eventos A e B num determinado experimento, realizado três vezes seguidas. Consideremos as probabilidades P(A)= a e P(B) = b, sendo A e B eventos mutuamente exclusivos. Usando uma árvore de possibilidades: PROBABILIDADE 11

12 VI. O método binomial Observando a árvore, concluímos que: • existe uma possibilidade de o evento A ocorrer três vezes seguidas, representada por a3; • existem três possibilidades de o evento A ocorrer duas vezes, e o evento B, uma vez, representadas por a2 . b; • existem três possibilidades de o evento A ocorrer uma vez, e o evento B, duas vezes, representadas por a . b2; • existe uma possibilidade de o evento B ocorrer três vezes seguidas, representada por b3. Os resultados obtidos são exatamente iguais aos termos do desenvolvimento do binômio (a + b)3: PROBABILIDADE 12

13 VI. O método binomial A: sucesso B: fracasso. Se desejarmos calcular a probabilidade de ocorrerem, por exemplo, dois sucessos e um fracasso, independentemente da ordem, teremos: em que é o número de combinações possíveis de dois sucessos em três repetições do lançamento. Sendo p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, a probabilidade de que ocorram k sucessos em n repetições de um experimento é dada por: PROBABILIDADE 13

14 1 (UFPE) Em uma pesquisa de opinião sobre o consumo dos produtos A, B e C constatou-se que: 30% dos entrevistados consomem A, 43% consomem B, 46% consomem C, 12% consomem A e B, 11% consomem A e C, 13% consomem B e C, 5% consomem A, B e C. Se escolhermos ao acaso um dentre os entrevistados, qual a probabilidade percentual de ele não consumir nenhum dos três produtos? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 14

15 a) Determine quantos números João escreveu.
2 (UFRJ) João criou uma senha de 4 algarismos para o segredo de seu cofre. Mais tarde, quando foi abrir o cofre, João percebeu que não lembrava mais qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1, 3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os números possíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida, tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, os números de sua lista, sem repetir números já testados. a) Determine quantos números João escreveu. b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na 12a tentativa. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 15

16 a) b) RESPOSTA: D c) d) e) 6 4 (PUC-RS) PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
Considere todas as permutações de cinco letras da sigla PUCRS. Uma dessas permutações foi escolhida ao acaso. A probabilidade de a escolhida terminar com a letra C e começar com a letra P é: a) b) c) d) e) 6 EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: D PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 16

17 a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
7 (Fuvest-SP) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote? b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França? c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 17

18 b) Quantos congressistas possuíam as duas formações?
9 (UFRN) Em um congresso sobre Matemática participaram 120 congressistas. Desses, 100 eram licenciados e 60 eram bacharéis em Matemática. Responda, justificando: a) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista, ele ser licenciado em Matemática? b) Quantos congressistas possuíam as duas formações? c) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista, ele possuir as duas formações acadêmicas? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 18

19 1 11 (UFSCar-SP) A probabilidade de que um componente eletrônico não quebre é chamada de confiabilidade. Para aumentar a confiabilidade de um sistema, é comum que se instalem dois componentes eletrônicos de mesma confiabilidade em paralelo. Nesse caso, o sistema só irá falhar se ambos os componentes instalados falharem simultaneamente. a) Calcule a probabilidade de que um sistema com 2 componentes, cada um de confiabilidade 90%, não falhe. b) Admita que um sistema com n componentes em paralelo só falhará se os n componentes falharem simultaneamente. Calcule o número de componentes em paralelo que devem ser instalados em um sistema para que ele tenha confiabilidade de 99,9%, sabendo-se que cada componente tem confiabilidade de 50%. (Adote log 2 = 0,3.) EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 19

20 Assinale a alternativa correta.
1 14 (UFPR) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão arterial, conforme mostrado no quadro ao lado: Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS 1. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 0,20. 2. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 3. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 4. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 0,20. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 20

21 RESPOSTA: B 1 14 PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 21
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 21

22 1 16 RESPOSTA: (UFPR) Em um jogo de cartas, os matemáticos Ricardo e Fernando apostaram R$ 100,00 cada um e combinaram que o primeiro deles que obtivesse 5 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. Depois de 5 rodadas, o jogo precisou ser interrompido, momento em que Fernando estava com três vitórias e Ricardo com duas. Após muita discussão, os dois matemáticos concordaram em dividir o dinheiro em partes diretamente proporcionais à probabilidade de cada um deles ganhar o jogo. a) Qual seria a probabilidade de esse jogo terminar em apenas mais duas rodadas? b) Levando em conta todas as diferentes possibilidades de concluir o jogo, qual seria a probabilidade de cada um deles vencer o jogo? Quanto cada um deveria receber? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR 22