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1 História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de Xadrez Professora Dra. Diane Castonguay André da Cunha Ribeiro – Geoflávia Guilarducci.

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1 1 História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de Xadrez Professora Dra. Diane Castonguay André da Cunha Ribeiro – Geoflávia Guilarducci de Alvarenga – Projeto e Análise de Algoritmos

2 2 Tópicos O jogo de Xadrez Idéias Centrais Problema da cobertura do tabuleiro de xadrez O algoritmo do backtracking Técnica de Podagem (Pruning) Podagem aplicada à História de Guerra Considerações Finais Lição Aprendida

3 História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de Xadrez - Parte I Próximo

4 4 Voltar Rei

5 5 Voltar Dama

6 6 Voltar Cavalo

7 7 Voltar Bispo

8 8 Voltar Torre

9 9 O jogo de xadrez inspirou vários problemas de combinação Em 1848, Kling propôs a seguinte questão: Se todos os 64 quadrados do tabuleiro podem ser fortemente ameaçados simultaneamente por um arranjo das 8 peças principais no tabuleiro de xadrez Configurações que simultaneamente ameaçam 63 quadrados foram conhecidas por muitos anos Idéias Centrais – História de Guerra

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14 14 Vejamos algumas considerações Considere as 8 peças principais do xadrez Quantos modos as peças podem ser posicionadas no tabuleiro de xadrez? O número de posições aproximado é de 10 15

15 15 Este problema parece bem maduro para solução de pesquisa exaustiva de combinação; O algoritmo do backtracking (regressão) Busca exaustiva

16 16 Backtrack(A) Calcule S1, conjunto dos primeiros elementos candidatos da solução A. k = 1 enquanto k > 0 faça enquanto S k <> 0 faça (*avanço*) a k = próximo elemento de s k s k = s k - a k se A = (a 1, a 2, a 3, …, a n ) é uma solução, imprima isso. k = k + 1 fim enquanto k = k - 1 (*backtrack*) fim enquanto

17 17 A história de guerra seria solucionável usando a técnica Backtracking, dependendo do tamanho do espaço de procura. Considerações

18 18 BackTracking Sua eficiência depende da sofisticação do esquema de poda da árvore de soluções. Podagem (Pruning) Como efetuar essa podagem ?

19 19 Técnica de eliminação de busca que atua no momento que estabelecemos que tal solução parcial não pode ser estendida na solução que nós almejamos. Podagem (Pruning)

20 20 Árvore pode ser podada através do uso de heurísticas de acordo com a aplicação. Há uma redução da complexidade de busca de maneira significativa. Podagem

21 21 BackTracking => gera uma combinação exaustiva de posições. Mas algumas poderiam ter sido podadas. Quais são as posições candidatas a serem podadas? São aquelas que não oferecem ameaça para uma dada peça. Podagem aplicada à História de Guerra

22 22 Exemplos: 1. Remoção de simetrias Considerando as simetrias ortogonais e diagonais, haverá somente 10 posições diferentes para a Rainha. Podagem aplicada à História de Guerra

23 23 Exemplos : (cont.) 1. Remoção de simetrias (cont.) Uma vez que a Rainha é colocada, há 2080 modos diferentes para posicionar um par de Torres ou Cavalos. 64 lugares para localizar o Rei. 32 lugares para cada um dos Bispos. Podagem aplicada à História de Guerra

24 24 Exemplos : (cont.) 2. Sp que já tivéssemos colocado 7 peças no tabuleiro, e juntas elas cobririam todos menos 10 quadrados no tabuleiro; e a peça restante fosse o Rei. Existe alguma posição possível para colocar o Rei de forma que todos os quadrados são ameaçados? Podagem aplicada à História de Guerra

25 25 BackTracking + Podagem = Eliminação acima de 95% do espaço de pesquisa. Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

26 26 Considerações usadas na solução: Os tabuleiros de xadrez podem ter qualquer número de peças, e mais de uma peça num quadrado. Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

27 27 Dois tipos de ataques num quadrado: ataque forte e ataque fraco. Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

28 28 Passos principais do algoritmo: Listar todas as configurações dos tabuleiros nas quais todo quadrado é fracamento atacado. Filtrar a lista considerando bloqueios e tabuleiros com n ou pouco menos quadrados seguros. Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

29 29 Sobre o algoritmo: Não encontrou uma configuração que cobrisse todos os 64 quadrados, porém, mostrou que é possível cobrir um tabuleiro com 7 peças se a Rainha e um Cavalo possam ocupar o mesmo quadrado. Considerações Finais

30 30 Configuração gerada pelo algoritmo: Considerações Finais

31 31 Percurso do Cavalo no Tabuleiro de Xadrez Problema das 8 Rainhas Problema do Casamento Estável Outros problemas [2]

32 32 problemas de busca pesquisa combinatória Uma ou mais estratégias de podagem usadas de maneira inteligente podem otimizar o trabalho de problemas de busca ou de pesquisa combinatória de maneira surpreendente. Lição Aprendida

33 33 [01] NODE$.htm NODE$.htm [02] Wirth, Niklaus. Algoritmos e Estruturas de Dados. Editora LTC, Referências Bibliográficas

34 34 Dúvidas ?

35 35 Fim Obrigado ! André da Cunha Ribeiro Geoflávia Guilarducci de Alvarenga


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