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Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 1 Problemas de Redes.

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1 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 1 Problemas de Redes

2 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 2 Redes Uma rede é um sistema de linhas ou canais interligando diferentes pontos Há vários tipos de problemas na área de PO Uma rede pode ser modelada como um grafo. O que é um grafo? Um grafo é um conjunto de pontos, chamados vértices (ou nodos), conectados por linhas, chamadas de arestas (ou arcos) Um grafo com 6 vértices e 7 arestas

3 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 3 Grafos Dependendo da aplicação, as arestas podem ou não ter direção (Pert grafos direcionados) Pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio Arestas podem ter um peso (numérico) associado Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado

4 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 4 Problema da árvore geradora mínima Considere uma rede não direcionada (grafo), conectada e associado a cada arco uma distância não negativa Uma rede com n nós requer somente n-1 arcos para fornecer um caminho entre cada par de nós Os n-1 arcos devem formar uma árvore geradora. O problema então é encontrar a árvore geradora com o menor comprimento total Aplicações: projeto de rede de telecomunicações, projeto de ferrovias, rodovias, etc

5 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 5 Contra-exemplo A figura não é uma árvore geradora porque os nós O, A, B e C não estão conectados aos nós D, E e T A figura gera uma rede, porém não é uma árvore porque existe dois ciclos: O-A-B-C e D-E-T

6 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 6 Um exemplo de árvore geradora A figura é uma árvore geradora –é acíclica –Todo par de nós está conectado –Existe 6 (n-1) arcos para 7 (n) nós Esta é uma solução viável, mas não é ótima ! (Em relação ao problema que será visto adiante)

7 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 7 Algoritmo Selecionar qualquer nó e conectá-lo para o nó mais próximo Identificar o nó desconectado mais próximo para um nó conectado e então conectar estes 2 nós Repetir este processo até que todos os nós tenham sido conectados A solução ótima é garantida.OBS: No caso de empate de 2 ou mais nós não conectados mais próximos de um nó conectado, escolher qualquer um dos nós não conectados. A solução ótima é garantida. Este fato sinaliza a existência de soluções múltiplas

8 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 8 Exemplo A rede do parque Tupiniquim necessita interligar todos os postos de guarda por uma linha telefônica

9 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 9 Passos 1º - Escolher um nó inicial. Nó escolhido: O. O nó não conectado mais próximo de O é A 2º - O nó não conectado mais próximo dos nós O e A é B. Conectar o nó B ao nó A 3º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A e B é C (mais próximo de B). Conectar o nó C com B 4º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A, B e C é E(mais próximo de B). Conectar E com B.

10 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 10 Passos (cont.) 5º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A,B,C e E é o nó D(Mais próximo de E). Conectar o nó D ao nó E. 6º - O nó não conectado mais próximo dos nós O, A, B, C, E e D é o nó T (mais próximo de D). Conectar o nó T com D. Solução Final

11 Pesquisa Operacional - Profa Úrsula L. F. Ribeiro 11 O exemplo de uma aplicação para sistemas de irrigação em áreas desérticas, onde se tem uma área (representada por um grafo) particionada em 8 regiões (grupamentos), necessitando de irrigação. O problema consiste em criar uma rede de irrigação de menor caminho que possa tocar no mínimo um vértice de cada região, onde o nó fonte é o principal, pois é nele que se localiza a fonte de água. Esta rede não pode cruzar as regiões, podendo apenas passar pelas suas fronteiras (arestas). Assim, este problemas da irrigação pode ser modelado com uma AGM. Os vértices representam os vértices das fronteiras das regiões, incluso a fonte e, o peso de cada aresta é associado à distancia entre seus vértices. fonte


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