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CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Agosto - 2009.

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1 CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOS Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Agosto

2 Caminho, Percurso Um caminho de um vértice v i0 para o vértice v ik é uma seqüência de arestas,,...,. Um caminho é dito elementar se passa exatamente uma vez por cada vértice e é simples se passa exatamente uma vez por cada aresta. Quando o grafo é não orientado o conceito de caminho é substituído por cadeia que pode ser representada pela seqüência de arestas que a forma ou dos vértices nela contidos. Alguns autores usam o termo percurso para denominar genericamente um caminho.

3 Caminho e Distância Outra forma de representação encontrada na literatura: Para grafos simples um caminho pode ser abreviado por uma seqüência de vértices: W = Em um grafo geral, pode-se abreviar como uma seqüência de arestas: W =

4 Caminho, Percurso Um caminho trivial é um caminho de comprimento zero: um vértice e nenhuma aresta Um caminho fechado é um caminho não trivial que começa e termina no mesmo vértice.

5 Ciclo, Circuito Se os vértices inicial e final são coincidentes ( v i0 = v ik ), dizemos que o caminho é fechado e forma um ciclo que é chamado de circuito se o grafo for orientado.

6 Comprimento O comprimento de um percurso num grafo valorado é a soma dos custos de percorrer cada aresta e num grafo não valorado é igual ao número de arestas que o compõe. Ou seja O comprimento de um caminho é o número de arestas da seqüência

7 Caminho e Distância Muitas aplicações precisam de grafos para representar percurso e distância. Exemplos: O número de nós de rede percorridos por uma mensagem de O número de links entre duas páginas web A distância entre duas pessoas numa rede de relacionamentos da internet

8 Caminho e Distância A distância d(s,t) de um vértice s para um vértice t em um grafo G é o comprimento do menor caminho entre s e t Se não existir um caminho entre s e t então a distância é infinita Um problema interessante é o de achar sistematicamente o caminho mais curto entre dois vértices quaisquer

9 Excentricidade A excentricidade de um vértice v em um grafo G=(V,E), denotado por ecc(v), é a distância de v ao vértice mais afastado de v.

10 Diâmetro O diâmetro de um grafo G=(V,E), denotado por diam(G), é a maior excentricidade dos vértices de G O diâmetro é a maior distância entre dois vértices de G

11 Raio O raio de um grafo G=(V,E), denotado rad(G), é o mínimo das excentricidades dos vértices

12 Vértice Central O vértice central de um grafo G=(V,E) é o vértice com a menor excentricidade Se v é o vértice central, ecc(v) = rad(G) Exemplo: O grafo abaixo tem diâmetro 4, raio 2 e os vértices centrais são x e y x y u u u

13 Ciclo Euleriano e Circuito Hamiltoniano Um Ciclo que passa por todas arestas de um grafo é dito Euleriano e um circuito elementar que passa por todos os vértices é chamado de Hamiltoniano. O problema do Caixeiro Viajante consiste em analisar todos circuitos Hamiltonianos existentes para (n+1) pontos, e o número máximo destes caminhos é n!.

14 Caminhos, Ciclos e Árvores Um ciclo euleriano no grafo abaixo é u,v,t,u,w,t,z,w,x,y,z,u w zut v y x

15 Grafo Acíclico Um grafo acíclico é um grafo que não tem ciclos

16 Exercício No quadro a seguir assinale com X a classificação que atribui a cada um dos caminhos indicados:

17 Exercício DescriçãoElementarSimplesCaminhoCircuito 1,2,3,4,5 1,2,1,4,5 1,2,3,1,2 1,2,2,3,4 2,2 2,3,1,2,1,2 3,1,4,5 4,5,1,2,2,3,4

18 Exercícios 2- Determine qual das seguintes seqüências de vértices são caminhos do grafo abaixo. a) b) c) d) y x zuv w

19 Exercícios 3- Ache todos os caminhos de comprimento 4 ou 5 do vértice w ao vértice r no grafo abaixo. y x zuv r ws

20 Exercícios 4- Ache a distância entre os vértices x e y do grafo abaixo x y

21 Gabarito Gabarito: 2- a) sim b) sim (trivial) c) nãod) não


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