Teia do Saber.

Apresentação em tema: "Teia do Saber."— Transcrição da apresentação:

1 Teia do Saber

2 Conceitos Gerenciais Nome: Moacir de Sousa Prado
Formação: Engenheiro formado em 1969 (35 anos) Área: Aeronáutica - Aeronaves Experiência: Mais de 30 anos com alta tecnologia (CTA/EMBRAER) Mais de 25 anos no ensino A partir de 1997 dedicação tempo integral na UNIVAP Aumento da preocupação pedagógica Hoje estou virando pedagogo Função: Coordenador do Curso de Engenharia de Computação

3 Maior problema que estou sentindo no meu trabalho:
Mudar o foco do “ensinar” para o “aprender” Ensinar é importante (aula estruturada, agradável, ...); Aprender é mais importante. Como estou agindo: Mudando os objetivos dos planos de ensino; Chamando atenção para a interdisciplinaridade; Aquilo que está escrito deve ser aplicado.

4 Ensino Meu ponto de vista, como cidadão brasileiro, para o ensino fundamental: 80% dos recursos devem estar centrados no aprendizado da linguagem e da matemática 20% dos recursos devem estar centrados em outras áreas: estudos sociais história e geografia etc. No ensino médio, estes percentuais devem variar um pouco entre 60% e 70% para matemática e linguagens entre 30% e 40% para outras áreas

5 No final da palestra, ou de nossa conversa, espera-se que os ouvintes:
1 Sejam capazes de aproveitar a experiência pedagógica de um colega; 2 Entendam como ele vê o ensino de matemática e, especificamente, sistemas de equações lineares para modelamento de sistemas; 3 Rastreiem a evolução da disciplina matemática, desde o surgimento do conceito de número, até o conceito de equações; 4 Entendam a importância do conceito “número abstrato”, da descoberta do “zero” e dos sistemas de numeração; 5 Visualizem as extensões do conceito de número; 6 Visualizem, numa metáfora, o conceito de equação e sistema de equações; 7 Entendam que a partir do mundo físico se criou um “mundo” do simbólico; 8 Entendam a importância de uma notação precisa e eficiente; 9 Valorizem a notação matricial para sistemas de equações lineares; 10 Tenham conhecimento de algumas aplicações de sistemas de equações lineares.

6 Nossa Conversa O assunto desta “palestra” é matemática:
Modelamento de problemas utilizando sistemas de equações lineares. Constata-se que 75% ou mais de todos os modelos matemáticos caem em sistemas de equações lineares; Modelo é a descrição simplificada de alguma coisa, sendo composto de símbolos organizados de acordo com alguma convenção e cuja finalidade é permitir o raciocínio sobre a entidade modelada. O modelo permite: visualizar o sistema, como ele é ou como ele será; especificar sua estrutura e/ou seu comportamento; guiar a “construção” do sistema; documentar decisões tomadas.

7 Nossa conversa Os benefícios da utilização de um modelo aumentam com o aumento da complexidade da entidade modelada; Os modelos delimitam o que se está estudando e permite focalizar pontos específicos; Os modelos ampliam a inteligência humana; Princípios básicos: A escolha de um modelo tem forte influência na forma de atacar um problema e na definição de sua solução; Os modelos podem utilizar diversos níveis de precisão; Os melhores modelos estão relacionados com a realidade; A simplificação de um modelo não deve esconder detalhes importantes; O modelo é diferente do mundo real (é abstração). Um modelo único pode não ser suficiente.

8 Origem da Matemática Primórdios
Desde o aparecimento do homem na Terra, ele tem recorrido à matemática, contando, medindo e calculando, mesmo no período em que seu espírito não tinha conhecimento de si mesmo e quando sobre tais assuntos não existiam conceitos, convenções e notações. Estava surgindo o raciocínio consciente. Surgiu a necessidade de manusear “grandes” quantidades de objetos semelhantes. A conseqüência foi o surgimento dos primeiros números visíveis. Este período constituiu a “Primeira Ordem” para Alvin Toffler. O homem passou de coletor para criador (gado, ovelhas, ..), para plantador, fixando-se em um lugar, perdendo a característica nômade. Este número “visível” não é ainda o “número conceitual”.

9 Origem da Matemática Devido à quantidade crescente de objetos manuseados, surgiu a necessidade de contar. Um conjunto auxiliar foi utilizado: dedos, pedrinhas, nós em cordas, etc. O número conceitual, um dos maiores feitos de humanidade, estava surgindo. Os dedos foram instrumentos maravilhosos para contar pois tinham grande capacidade, permitia ordenação, estava disponível dia e noite e em toda parte. Foi o primeiro medidor. Ele relacionou dois conjuntos que nada tinham em comum. Os números constituem o elo espiritual entre dois conjuntos. O “número concreto” perde seu significado físico, sendo “desligado” dos objetos (ovelhas, ovos ou garrafas). Ele inicia seu domínio absoluto de entidade abstrata. Iniciam-se as operações de contagem, soma (união de conjuntos), etc.

10 Origem da Matemática Ocorre uma estruturação dos números. O princípio ordenador/estruturador que predominou foi o sistema de “base” 10. A linguagem falada ou natural não tem a precisão da linguagem matemática escrita. A linguagem matemática escrita cria ordem, tem clareza, pode ser revisada posteriormente e é durável. Vários sistemas de numeração e várias representações foram utilizados. Exemplo: um : I dois : II ... cinco : IIII A simbologia da numeração romana (I, V, VII, IX, ...) resolveu parte do problema de modo um pouco mais brilhante. No entanto, era um sistema tosco, pesado, sem forma e sem elegância.

11 Origem da Matemática Uma das maiores descobertas da humanidade foi o ZERO que representa o NADA, a AUSÊNCIA. É uma entidade abstrata. Hoje ainda se utiliza os seguintes sistemas de numeração: decimal duodecimal binário octal O sistema binário tem simplicidade máxima. Utiliza apenas dois símbolos: 0 e 1. A evolução levou ao entendimento conceitual do número puro (sem peso material) e da numeração falada e escrita. Neste ponto iniciou-se a tarefa do matemático. Cabe realçar que a linguagem matemática é mais simples, mais clara e mais compreensível do que qualquer outra linguagem de comunicação. É muito mais eficaz e eficiente do que a linguagem natural.

12 Extensão do conceito de número
Números naturais: 1, 2, 3, ... Números inteiros: 0, 1, 2, 3, ... Números negativos: ...-5, -4, -3, -2, -1, ... Números racionais: representados por uma relação de números : a/b Números irracionais: , , ... Números complexos: a + bi Operadores relacionais: >, <, , ,  1 2 Vol= para se obter Vol=2 1 2 1 2

13 Sistema de Equações Uma equação modela uma balança antiga de feira
Considere que vamos “pesar” cebolas (determinar a massa) 5C + 1B = 500gr + 1B Observe que estamos comparando 2 coisas diferentes: C = Cebolas e pesos de 500 gramas (massa conhecida) Tirando-se as bacias de cada lado da equação, o equilíbrio não é modificado 5C = 500 Considerando-se as cebolas com tamanhos iguais, chega-se à conclusão de que cada uma tem massa de 100gr.

14 Sistema de Equações Duas equações
Na mesma balança agora colocam-se cebolas e pimentões 4C + 3P = 500 3C + 2P = 400 Portanto (representação algébrica) (Representação Matricial) (Representação Matricial Condensada) 4C + 3P = C 3C + 2P = * P =

15 Resolvendo L1 / ¾ 550/ ¾ /4 L2-3 * L / /4 L2/(-1/4) ¾ / L1 – ¾ * L Voltando à forma matricial normal (ou não condensada): C P Retornando à forma algébrica C = 100 P = 50 x =

16 Desconectando-se do mundo físico e ficando no mundo simbólico
No mundo simbólico, geralmente adotam-se as convenções: Primeiras letras do alfabeto, representam dados do problema; Últimas letras do alfabeto, representam grandezas desconhecidas Uma equação geral ax + b = c Duas equações já com dados do problema x + y = 62 x – y = 2 O processo de solução desta equação é simples, despretensioso embora elegante, sendo freqüentemente utilizado. Encontra-se o valor de x numa equação e substitui-se na outra: x = 2 + y Logo (2 + y) = y = y = y = x = 32 Este processo de solução se adapta a um problema em particular. Existem muitos métodos de solução, por exemplo, regra de Cramer.

17 Por que tanto formalismo na matemática?
Uma notação precisa e eficiente facilita os procedimentos matemáticos; Utilização de símbolos Estudar fórmulas é como escovar os dentes: executado todas as manhãs e todas as noites. No dentista o paciente descobre de maneira mais ou menos agradável a finalidade dessa obrigação cansativa e monótona.

18 Modelamento - Matrizes
Muitos sistemas físicos são freqüentemente modelados por sistemas de equações algébricas lineares. A tarefa mais comum é achar soluções para estas equações; A notação matricial Matriz m x m Matriz linha (vetor) Matriz coluna (vetor) O determinante de uma matriz; A regra de Cramer (sistemas pequenos n<4); Matriz transposta e matriz unitária; Operações com matrizes (soma, subtração e multiplicação); Não se faz divisão (multiplica-se pela inversa) Características e casos específicos: Matriz singular Matriz diagonal Matriz hilbertianas

19 Num sistema de equações, quando o termo independente vale zero, tem-se um sistema homogêneo. Uma das soluções é chamada de trivial (tudo zero). Só existe outra solução se det A = 0. A solução de sistema homogêneos leva ao trabalho em matrizes do tipo [ A - λI ]. Isto provoca o estudo de valores e vetores próprios. Exemplos de sistemas: x1 + 2x2 = 5 2x1 + 3x2 = 8 Sistema 2x2. Uma solução é o par ordenado (1,2) x1 – x2 + x3 = 2 Sistema 2x3. Tem muitas soluções. Uma 2x1 + x2 – x3 = 4 solução é a tripla (2,0,0). x1 + x2 = 2 Sistema 3x2. Não tem solução. x1 – x2 = 1 Existe incompatibilidade. x = 4

20 Modelamento Engenharia elétrica
Voltagem nos nós de um circuito elétrico (resistivo) O engenheiro eletrônico faz um “abracadabra” e obtém o modelo matemático (sistema de Equações lineares) V V V V V1 = 25,80 Volts V2 = 31,75 Volts Da análise dos resultados, sabe-se que os V3 = 49,61 Volts resultados devem estar entre 0 Volts e 127 Volts. V4 = 41,67 Volts B Ω 127 Volts 3Ω Ω 2Ω Ω 1Ω Ω A 0 Volts 1Ω x =

21 Modelamento Engenharia química Equilibrar uma equação química
KMnO + H2SO4 + NaNO2  K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O        x x x x x x x7 O químico faz “abracadabra” e x x x x x x Os resultados seriam: xi = [ 0, , , , , , ] T Como os resultados devem ser inteiros, multiplica-se por 3 xi = [ ] T x =

22 Modelamento Pesquisa Operacional
Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam. Veja figura. Os dados nas setas representam o número médio de carros que passam por hora. Ache a quantidade de veículos nos cruzamentos A, B, C e D. (localizar estes pontos na figura) Representação algébrica: x = x x = x x = x x = x Representação matricial: x x x x 450 310 610 x1 640 x4 x2 520 x3 600 x = 390 480

23 Modelamento Tem-se ainda uma representação condensada: 1 -1 0 0 160
Neste sistema de equações, uma equação não é independente.

24 Reorganizando as equações tem-se:
L4-L L4+L L4+L As equações 3 e 4 não são independentes. O sistema tem muitas soluções. O diagrama de fluxo de carros não contém informações suficientes para se achar uma solução. Se souber que x4 = 200, tem-se: x1 = 530 x2 = 370 x3 = 410 Sumiram todas as variáveis

25 Modelamento Lei de Hooke
O alongamento de uma mola é proporcional à força aplicada à mesma. Mediu-se: alongamento (cm) força (N) (y) (x) Para se determinar a curva que se ajusta a estes pontos, passa-se por um sistema de equações lineares com a forma (no caso acima vamos considerar reta): N Σx a Σx Σx Σx b Σxy Onde N: número de pontos Σx : soma dos valores Σx2 : soma dos quadrados dos valores Σxy : soma do produto x vezes y a,b : coeficientes da equação da reta y = a+bx x =

26 Modelamento Ajuste de curvas polinomiais de qualquer grau:
y = a0 + a1x + a2x anxn Sempre se chega a um sistema de equações: N Σx Σx Σxn Σy Σx Σx Σx Σx n Σxy Σx2 Σx Σx Σx n Σx2y Σxn Σx n+1 Σx n Σx 2n Σxny

27 Primeira competência para ensinar:
I – ORGANIZAR E DIRIGIR SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM Conhecer o conteúdo e traduzi-lo em objetivos de aprendizagem; Partir das representações dos alunos; Considerar erros e obstáculos para o aprendizado; Construir e planejar dispositivos e seqüências didáticas; Envolver os alunos em atividades de pesquisa e em projetos.

28 Segunda competência para ensinar:
II – ADMINISTRAR A PROGRESSÃO DAS APRENDIZAGENS Conceber e administrar situações-problemas ajustadas ao nível e às possibilidades dos alunos; Adquirir uma visão longitudinal dos objetivos do ensino; Estabelecer laços com teorias subjacentes às atividades de aprendizagem, utilizando uma abordagem formativa; Fazer balanços periódicos de competências e tomar decisões de progressão.

29 Terceira competência para ensinar:
III – CONCEBER E FAZER EVOLUIR OS DISPOSITIVOS DE DIFERENCIAÇÃO Administrar a heterogeneidade no âmbito de uma turma A situação padrão não satisfaz a todos, pois os alunos não têm: O mesmo nível de desenvolvimento A mesma base anterior Os mesmos interesses Os mesmos recursos Ensino considerando o grupo como uma única entidade é ineficaz; Ensino individual é impraticável; Reprovação é fator de homogeneização (mas...); Enfrentar a heterogeneidade com grupos de trabalho; Utilizar tarefas auto-corretivas. Abrir e ampliar a gestão da classe As restrições de tempo não permitem milagres; Riscos: desorganização e desvios. Apoio integrado e cooperação entre alunos.

30 Quarta competência para ensinar:
IV – ENVOLVER OS ALUNOS EM SUAS APRENDIZAGENS E EM SEU TRABALHO Suscitar o desejo de aprender e a capacidade de auto-avaliação criar e intensificar o desejo de aprender; favorecer ou reforçar esta decisão. Atividades opcionais de formação; Definição de um projeto pessoal.

31 Quinta competência para ensinar:
V – TRABALHA EM EQUIPE Elaborar um projeto em equipe. Cuidado com pseudo-equipe! Só trabalhar em equipe quando for mais eficaz; Administrar crises ou conflitos interpessoais.