A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

. Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: ". Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA."— Transcrição da apresentação:

1 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Teia do Saber

2 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Conceitos Gerenciais ­ Nome: Moacir de Sousa Prado ­Formação: Engenheiro formado em 1969 (35 anos) Área: Aeronáutica - Aeronaves ­Experiência: Mais de 30 anos com alta tecnologia (CTA/EMBRAER) Mais de 25 anos no ensino A partir de 1997 dedicação tempo integral na UNIVAP Aumento da preocupação pedagógica Hoje estou virando pedagogo ­Função: Coordenador do Curso de Engenharia de Computação

3 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Maior problema que estou sentindo no meu trabalho: ­ Mudar o foco do ensinar para o aprender Ensinar é importante (aula estruturada, agradável,...); Aprender é mais importante. ­ Como estou agindo: Mudando os objetivos dos planos de ensino; Chamando atenção para a interdisciplinaridade; Aquilo que está escrito deve ser aplicado.

4 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Ensino ­ Meu ponto de vista, como cidadão brasileiro, para o ensino fundamental: 80% dos recursos devem estar centrados no aprendizado da linguagem e da matemática 20% dos recursos devem estar centrados em outras áreas: ­ estudos sociais ­ história e geografia ­ etc. ­ No ensino médio, estes percentuais devem variar um pouco entre 60% e 70% para matemática e linguagens entre 30% e 40% para outras áreas

5 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA No final da palestra, ou de nossa conversa, espera-se que os ouvintes: 1Sejam capazes de aproveitar a experiência pedagógica de um colega; 2Entendam como ele vê o ensino de matemática e, especificamente, sistemas de equações lineares para modelamento de sistemas; 3Rastreiem a evolução da disciplina matemática, desde o surgimento do conceito de número, até o conceito de equações; 4Entendam a importância do conceito número abstrato, da descoberta do zero e dos sistemas de numeração; 5Visualizem as extensões do conceito de número; 6Visualizem, numa metáfora, o conceito de equação e sistema de equações; 7Entendam que a partir do mundo físico se criou um mundo do simbólico; 8Entendam a importância de uma notação precisa e eficiente; 9Valorizem a notação matricial para sistemas de equações lineares; 10Tenham conhecimento de algumas aplicações de sistemas de equações lineares.

6 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Nossa Conversa ­ O assunto desta palestra é matemática: Modelamento de problemas utilizando sistemas de equações lineares. ­ Constata-se que 75% ou mais de todos os modelos matemáticos caem em sistemas de equações lineares; ­ Modelo é a descrição simplificada de alguma coisa, sendo composto de símbolos organizados de acordo com alguma convenção e cuja finalidade é permitir o raciocínio sobre a entidade modelada. ­ O modelo permite: visualizar o sistema, como ele é ou como ele será; especificar sua estrutura e/ou seu comportamento; guiar a construção do sistema; documentar decisões tomadas.

7 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Nossa conversa ­ Os benefícios da utilização de um modelo aumentam com o aumento da complexidade da entidade modelada; ­ Os modelos delimitam o que se está estudando e permite focalizar pontos específicos; ­ Os modelos ampliam a inteligência humana; ­ Princípios básicos: A escolha de um modelo tem forte influência na forma de atacar um problema e na definição de sua solução; Os modelos podem utilizar diversos níveis de precisão; Os melhores modelos estão relacionados com a realidade; A simplificação de um modelo não deve esconder detalhes importantes; O modelo é diferente do mundo real (é abstração). Um modelo único pode não ser suficiente.

8 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Origem da Matemática ­ Primórdios Desde o aparecimento do homem na Terra, ele tem recorrido à matemática, contando, medindo e calculando, mesmo no período em que seu espírito não tinha conhecimento de si mesmo e quando sobre tais assuntos não existiam conceitos, convenções e notações. ­ Estava surgindo o raciocínio consciente. ­ Surgiu a necessidade de manusear grandes quantidades de objetos semelhantes. A conseqüência foi o surgimento dos primeiros números visíveis. Este período constituiu a Primeira Ordem para Alvin Toffler. O homem passou de coletor para criador (gado, ovelhas,..), para plantador, fixando-se em um lugar, perdendo a característica nômade. Este número visível não é ainda o número conceitual.

9 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Origem da Matemática ­ Devido à quantidade crescente de objetos manuseados, surgiu a necessidade de contar. Um conjunto auxiliar foi utilizado: dedos, pedrinhas, nós em cordas, etc. ­ O número conceitual, um dos maiores feitos de humanidade, estava surgindo. ­ Os dedos foram instrumentos maravilhosos para contar pois tinham grande capacidade, permitia ordenação, estava disponível dia e noite e em toda parte. Foi o primeiro medidor. Ele relacionou dois conjuntos que nada tinham em comum. ­ Os números constituem o elo espiritual entre dois conjuntos. ­ O número concreto perde seu significado físico, sendo desligado dos objetos (ovelhas, ovos ou garrafas). Ele inicia seu domínio absoluto de entidade abstrata. ­ Iniciam-se as operações de contagem, soma (união de conjuntos), etc.

10 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Origem da Matemática ­ Ocorre uma estruturação dos números. O princípio ordenador/estruturador que predominou foi o sistema de base 10. ­ A linguagem falada ou natural não tem a precisão da linguagem matemática escrita. ­ A linguagem matemática escrita cria ordem, tem clareza, pode ser revisada posteriormente e é durável. ­ Vários sistemas de numeração e várias representações foram utilizados. Exemplo: um : I dois : II... cinco : IIII ­ A simbologia da numeração romana (I, V, VII, IX,...) resolveu parte do problema de modo um pouco mais brilhante. No entanto, era um sistema tosco, pesado, sem forma e sem elegância.

11 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Origem da Matemática ­ Uma das maiores descobertas da humanidade foi o ZERO que representa o NADA, a AUSÊNCIA. É uma entidade abstrata. ­Hoje ainda se utiliza os seguintes sistemas de numeração: decimal duodecimal binário octal ­ O sistema binário tem simplicidade máxima. Utiliza apenas dois símbolos: 0 e 1. ­ A evolução levou ao entendimento conceitual do número puro (sem peso material) e da numeração falada e escrita. ­ Neste ponto iniciou-se a tarefa do matemático. Cabe realçar que a linguagem matemática é mais simples, mais clara e mais compreensível do que qualquer outra linguagem de comunicação. É muito mais eficaz e eficiente do que a linguagem natural.

12 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Extensão do conceito de número ­ Números naturais: 1, 2, 3,... ­ Números inteiros: 0, 1, 2, 3,... ­ Números negativos:...-5, -4, -3, -2, -1,... ­ Números racionais: representados por uma relação de números : a/b ­ Números irracionais:,,... ­ Números complexos: a + bi ­ Operadores relacionais: >, <,,, Vol=1 para se obter Vol=

13 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Sistema de Equações ­ Uma equação modela uma balança antiga de feira Considere que vamos pesar cebolas (determinar a massa) 5C + 1B = 500gr + 1B Observe que estamos comparando 2 coisas diferentes: C = Cebolas e pesos de 500 gramas (massa conhecida) Tirando-se as bacias de cada lado da equação, o equilíbrio não é modificado 5C = 500 Considerando-se as cebolas com tamanhos iguais, chega-se à conclusão de que cada uma tem massa de 100gr

14 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Sistema de Equações ­ Duas equações Na mesma balança agora colocam-se cebolas e pimentões 4C + 3P = 500 3C + 2P = 400 Portanto (representação algébrica)(Representação Matricial) (Representação Matricial Condensada) 4C + 3P = C 4 3 3C + 2P = * P =

15 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Resolvendo L1 / 4 1 ¾ 550/4 1 ¾ L2-3 * L1 0 -1/4 -50/4 L2/(-1/4) 1 ¾ 554/4 L1 – ¾ * L Voltando à forma matricial normal (ou não condensada): 1 0 C P 50 Retornando à forma algébrica C = 100 P = 50 x=

16 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Desconectando-se do mundo físico e ficando no mundo simbólico ­ No mundo simbólico, geralmente adotam-se as convenções: Primeiras letras do alfabeto, representam dados do problema; Últimas letras do alfabeto, representam grandezas desconhecidas ­ Uma equação geral ax + b = c ­ Duas equações já com dados do problema x + y = 62 x – y = 2 O processo de solução desta equação é simples, despretensioso embora elegante, sendofreqüentemente utilizado. Encontra-se o valor de x numa equação e substitui-se na outra: x = 2 + y Logo (2 + y) = y = 62 2y = y = 30 x = 32 Este processo de solução se adapta a um problema em particular. ­ Existem muitos métodos de solução, por exemplo, regra de Cramer.

17 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA ­ Por que tanto formalismo na matemática? ­ Uma notação precisa e eficiente facilita os procedimentos matemáticos; ­ Utilização de símbolos Estudar fórmulas é como escovar os dentes: executado todas as manhãs e todas as noites. No dentista o paciente descobre de maneira mais ou menos agradável a finalidade dessa obrigação cansativa e monótona.

18 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento - Matrizes ­ Muitos sistemas físicos são freqüentemente modelados por sistemas de equações algébricas lineares. A tarefa mais comum é achar soluções para estas equações; ­ A notação matricial Matriz m x m Matriz linha (vetor) Matriz coluna (vetor) ­ O determinante de uma matriz; ­ A regra de Cramer (sistemas pequenos n<4); ­ Matriz transposta e matriz unitária; ­ Operações com matrizes (soma, subtração e multiplicação); ­ Não se faz divisão (multiplica-se pela inversa) ­ Características e casos específicos: Matriz singular Matriz diagonal Matriz hilbertianas

19 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA ­ Num sistema de equações, quando o termo independente vale zero, tem-se um sistema homogêneo. Uma das soluções é chamada de trivial (tudo zero). Só existe outra solução se det A = 0. ­ A solução de sistema homogêneos leva ao trabalho em matrizes do tipo [ A - λI ]. Isto provoca o estudo de valores e vetores próprios. ­ Exemplos de sistemas: x1 x1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 8 Sistema 2x2. Uma solução é o par ordenado (1,2) x1 x1 – x2 x2 + x3 x3 = 2Sistema 2x3. Tem muitas soluções. Uma 2x 1 + x2 x2 – x3 x3 = 4solução é a tripla (2,0,0). x1 x1 + x2 x2 = 2Sistema 3x2. Não tem solução. x1 x1 – x2 x2 = 1Existe incompatibilidade. x 1 = 4

20 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento Engenharia elétrica Voltagem nos nós de um circuito elétrico (resistivo) O engenheiro eletrônico faz um abracadabra e obtém o modelo matemático (sistema de Equações lineares) V V V V 4 0 V1 V1 = 25,80 Volts V2 V2 = 31,75 VoltsDa análise dos resultados, sabe-se que os V3 V3 = 49,61 Voltsresultados devem estar entre 0 Volts e 127 Volts. V4 V4 = 41,67 Volts x = B 3Ω 3 3Ω 1Ω 2Ω 3Ω 4 1Ω 2Ω 0 Volts 1Ω Volts A

21 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento Engenharia química Equilibrar uma equação química KMnO + H 2 SO 4 + NaNO 2 K 2 SO 4 + MnSO 4 + NaNO 3 + H2OH2O x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x7x7 O químico faz abracadabra e x x x x x x 6 0 Os resultados seriam: xi = [ 0,6667 1,000 1, ,3333 0,6667 1,6667 1] T Como os resultados devem ser inteiros, multiplica-se por 3 xi = [ ] T x=

22 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento Pesquisa Operacional Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam. Veja figura. Os dados nas setas representam o número médio de carros que passam por hora. Ache a quantidade de veículos nos cruzamentos A, B, C e D. (localizar estes pontos na figura) Representação algébrica: x = x2 x x = x3 x x3 x = x4 x x4 x = x1 x Representação matricial: x x x x x= x1x1 x4x4 x3x3 x2x2

23 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento Tem-se ainda uma representação condensada: Neste sistema de equações, uma equação não é independente.

24 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Reorganizando as equações tem-se: L4-L L4+L L4+L As equações 3 e 4 não são independentes. O sistema tem muitas soluções. O diagrama de fluxo de carros não contém informações suficientes para se achar uma solução. Se souber que x4 x4 = 200, tem-se: x1 x1 = 530 x2 x2 = 370 x3 x3 = 410 Sumiram todas as variáveis

25 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento Lei de Hooke O alongamento de uma mola é proporcional à força aplicada à mesma. Mediu-se: alongamento (cm)força (N) (y) (x) Para se determinar a curva que se ajusta a estes pontos, passa-se por um sistema de equações lineares com a forma (no caso acima vamos considerar reta): N Σx a Σx 2 b Σxy Onde N: número de pontos Σx : soma dos valores Σx 2 : soma dos quadrados dos valores Σxy : soma do produto x vezes y a,b : coeficientes da equação da reta y = a+bx x =

26 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Modelamento Ajuste de curvas polinomiais de qualquer grau: y = a0 a0 + a 1 x + a 2 x anxnanxn Sempre se chega a um sistema de equações: N Σx Σx 2... Σx n Σy Σx Σx 2 Σx 3... Σx n+1 Σxy Σx 2 Σx 3 Σx 4... Σx n+2 Σx 2 y Σx n Σx n+1 Σx n+2... Σx 2n Σx n y

27 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Primeira competência para ensinar: I – ORGANIZAR E DIRIGIR SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM ­ Conhecer o conteúdo e traduzi-lo em objetivos de aprendizagem; ­ Partir das representações dos alunos; ­ Considerar erros e obstáculos para o aprendizado; ­ Construir e planejar dispositivos e seqüências didáticas; ­ Envolver os alunos em atividades de pesquisa e em projetos.

28 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Segunda competência para ensinar: II – ADMINISTRAR A PROGRESSÃO DAS APRENDIZAGENS ­ Conceber e administrar situações-problemas ajustadas ao nível e às possibilidades dos alunos; ­ Adquirir uma visão longitudinal dos objetivos do ensino; ­ Estabelecer laços com teorias subjacentes às atividades de aprendizagem, utilizando uma abordagem formativa; ­ Fazer balanços periódicos de competências e tomar decisões de progressão.

29 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Terceira competência para ensinar: III – CONCEBER E FAZER EVOLUIR OS DISPOSITIVOS DE DIFERENCIAÇÃO ­ Administrar a heterogeneidade no âmbito de uma turma A situação padrão não satisfaz a todos, pois os alunos não têm: O mesmo nível de desenvolvimento A mesma base anterior Os mesmos interesses Os mesmos recursos Ensino considerando o grupo como uma única entidade é ineficaz; Ensino individual é impraticável; Reprovação é fator de homogeneização (mas...); Enfrentar a heterogeneidade com grupos de trabalho; Utilizar tarefas auto-corretivas. ­Abrir e ampliar a gestão da classe As restrições de tempo não permitem milagres; Riscos: desorganização e desvios. ­ Apoio integrado e cooperação entre alunos.

30 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Quarta competência para ensinar: IV – ENVOLVER OS ALUNOS EM SUAS APRENDIZAGENS E EM SEU TRABALHO ­ Suscitar o desejo de aprender e a capacidade de auto-avaliação criar e intensificar o desejo de aprender; favorecer ou reforçar esta decisão. ­ Atividades opcionais de formação; ­ Definição de um projeto pessoal.

31 . Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA Quinta competência para ensinar: V – TRABALHA EM EQUIPE ­ Elaborar um projeto em equipe. ­ Cuidado com pseudo-equipe! ­ Só trabalhar em equipe quando for mais eficaz; ­ Administrar crises ou conflitos interpessoais.


Carregar ppt ". Teia do Saber ESTAS INFORMAÇÕES SÃO PROTEGIDAS POR REGISTRO DE PROPRIEDADE AUTORAL E NÃO PODEM SER UTILIZADAS OU REPRODUZIDAS SEM AUTORIZAÇÃO ESCRITA."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google