23/24 Março de 2004Simulação da Queda de Corpos1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2004.

Apresentação em tema: "23/24 Março de 2004Simulação da Queda de Corpos1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2004."— Transcrição da apresentação:

1 23/24 Março de 2004Simulação da Queda de Corpos1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2004

2 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 2 Bases Físicas do Problema Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de 9.8 ms -2. A resistência do ar pode ser modelada através de uma força, logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de sentido contrário, que depende do objecto em queda. Denotando por a a aceleração instantânea (no instante t), e tendo em conta os sentidos no referencial, temos a(t) = - g - k · v(t) vga x

3 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 3 Modelação de Equações Diferenciais Conhecendo o valor de uma função f no instante t, f(t), podemos estimar o seu valor num instante “seguinte”, t+h, se se conhecer a derivada em relacão ao tempo df/dt. Com efeito, temos (série de Taylor) f(t+δ) = f(t) + df(t)/dt · δ + ½ d 2 f(ζ)/dt 2 · δ 2 em que t  ζ  t+δ. Assumindo que para pequenos valores de h o último termo pode ser desprezado (pois δ 2 << δ) temos f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ

4 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 4 Velocidade e Aceleração Como é sabido a aceleração é a derivada da velocidade a(t) = dv(t)/dt Assim podemos determinar o valor aproximado da velocidade no instante t+ δ, v(t+δ), conhecendo o seu valor no instante t, v(t), por aplicação do método geral f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ ao caso em que a função f é a velocidade, isto é v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ

5 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 5 Posição e Velocidade Como é sabido a velocidade é a derivada da posição v(t) = dx(t)/dt Assim podemos determinar o valor aproximado da posição no instante t+δ, x(t+δ), conhecendo o seu valor no instante t, x(t), por aplicação do método geral f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ ao caso em que a função f é a velocidade, isto é x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ

6 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 6 Aceleração, Velocidade e Posição Em resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante t, o seu valor aproximado no instante t+δ, é x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por a(t) = - g - k · v(t) Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.

7 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 7 Especificação do Problema Dada uma altura inicial, determinar com base no coeficiente de resistência do ar e para uma dada precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a queda, bem como as velocidades e aceleração no solo. Algoritmo de Queda de Corpos Entrada Resistência do Ar Altura Inicial Intervalo de Tempo Resultados Tempo da Queda Velocidade Final Aceleração Final

8 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 8 Variáveis Utilizadas Èm geral, na especificação de um algoritmo definem-se as variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu significado. Neste problema, apenas existe uma constante g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra) As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes t: o tempo δ: o valor do intervalo de tempo usado na simulação x : a altura do corpo em cada instnte t v : a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar (dependente da forma do corpo)

9 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 9 Estrutura do Algoritmo O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode ser decomposto em 3 “componentes” 1. Inicialização de Variáveis 2. Ciclo de Simulação da Queda 3. Apresentação de Resultados Cada uma destas componentes pode ser considerada separadamente

10 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 10 Inicialização de Variáveis Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões. Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir de repouso, as condições iniciais são expressas por Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser especificados pelo utilizador através de instruções de entrada. g = 9.8; v = 0; t = 0; a = -g

11 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 11 Inicialização de Variáveis 1. Inicialização de Variáveis Entra x; % Altura inicial Entra k;% Coeficiente de Atrito Entra δ ;% Intervalo de Tempo g = 9.8; % Aceleração da Gravidade v = 0; t = 0; a = -g;

12 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 12 Ciclo de Simulação A parte fundamental do algoritmos é um ciclo em que se vão calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um intervalo δ enquanto... fazer t  t + δ ; x  x + v · δ ; v  v + a · δ ; a  -g - k·v ; fim enquanto % x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ % v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ % a(t) = - g - k · v(t)

13 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 13 Condições de Entrada no Ciclo Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é que o ciclo é executado. Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se atingir o solo (x=0). A condição de controle do ciclo é pois x > 0, donde enquanto x > 0 fazer t  t + δ ; x  x + v · δ ; v  v + a · δ ; a  -g - k·v ; fim enquanto

14 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 14 Ciclo de Simulação 2. Ciclo de Simulação enquanto x > 0 fazer t  t + δ ; x  x + v · δ ; v  v + a · δ ; a  -g - k·v ; fim enquanto

15 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 15 Apresentação de Resultados 3. Apresentação de Resultados O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o valor das variáveis t, v e a no final do ciclo. A apresentação de resultados resume-se pois a Sai t;% Tempo de duração da Queda Sai v;% Velocidade de chegada ao solo Sai a;% Aceleração de chegada ao solo

16 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 16 Algoritmo Completo % Inicialização de Variáveis Entra x; % Altura inicial Entra k;% Coeficiente de Atrito Entra δ;% Intervalo de Tempo g  9.8; % Aceleração da Gravidade v  0; t  0; a  g; % Ciclo de Simulação enquanto x > 0 fazer t  t + δ ; x  x + v· δ ; v  v + a· δ ; a  -g - k·v ; fim enquanto % Apresentação de Resultados Sai t;% Tempo de duração da Queda Sai v;% Velocidade de chegada ao solo Sai a;% Aceleração de chegada ao solo

17 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 17 Progama Octave g = 9.8 ; % aceleração da gravidade h = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? "); k = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? "); dt = input(" e o intervalo de tempo (em segs) ? "); t = 0; x = h; v = 0; a = g; while x > 0 t = t + dt; x = x + v * dt; v = v + a * dt; a = - g - k * v; endwhile; disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "), disp(t) disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "), disp(-v) disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "), disp(-a)

18 23/24 Março de 2004 Simulação da Queda de Corpos 18 Progama Octave O programa pode ser testado com vários valores dos parâmetros de entrada (x, k e dt). A altura inicial x tipicas são da ordem dos 1000 metros. Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma a garantir que erros cometidos pela aproximação das equações diferenciais não sejam muito significativos (dt  0.1 seg). Tipicamente k toma valores no intervalo 0 – sem resistência do ar 1 – resistência muito alta