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As Torres de Hanoi Resolução por algoritmos de Busca Daniel N. Epitácio Pereira PESC/COPPE-UFRJ Disciplina: Inteligência Artificial Professora Inês Dutra.

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1 As Torres de Hanoi Resolução por algoritmos de Busca Daniel N. Epitácio Pereira PESC/COPPE-UFRJ Disciplina: Inteligência Artificial Professora Inês Dutra

2 A Lenda das Torres

3

4 O Quebra-Cabeça Edouard Lucas, 1883 Forma tradicional: N discos 3 varas Solução ótima: 2 N -1 movimentos Variações: K varas Liberdade de Objetivo

5 Problema de Busca Objetivo estabelecido: N = movimentos! Operadores: Pilhas de origem e de destino Podem ser inválidos ou infrutíferos Estados: Pilha em que se situa cada peça Ramificação = 3 (*)

6 Métodos de Busca A* Heurística + Custo Guloso (Greedy Search) Heurística Busca em Largura (ou de Custo Uniforme) Custo

7 Operadores Inválidos: Se tem como pilha de origem uma pilha vazia Se levam uma peça para cima de outra menor Infrutíferos Movimentos nulos:

8 Operadores Infrutíferos Reversão: Perda Imediata de Otimalidade: Ramificação: No máximo 2

9 Heurística Deve ser admissível Deve ser uma estimativa inferior do número de passos até a solução Caso contrário, a otimalidade não estará garantida Não deve ser muito subestimada Ou a performance será prejudicada Heurísticas que se aproximam da distância real à solução podem garantir complexidade sub- exponencial

10 Heurística Baseada no número de peças na posição correta. Pode ser feita de forma admissível, mas então o segundo critério fica prejudicado Distâncias relaxadas à posição correta Um pouco mais elaborada. Admissível, mas ainda pouco eficiente

11 Heurística

12 Por Estágios Funciona um pouco melhor Distância do início de cada estágio à solução é conhecido Estágios Recursivos Ideal

13 Implementação Em C++ (usando MingW32). Faz uso de uma fila de prioridades (STL) de configurações do jogo, com base na heurística e no custo correspondente. Cada uma dessas configurações aponta para um nó. Os nós formam uma árvore baseada em encadeamento.

14 Implementação A configuração correspondente a cada nó já expandido é removida da memória Fila de Estados Árvore de Nós

15 Resultados Busca em Largura Até 5 peças Método Guloso 15 ou mais peças (sub-ótimo) A* 15 ou mais peças (ótimo) 15 peças com pouco mais do que nós expandidos.

16 Amostra e Referências [1] Tower of Hanoi: Fascinating Facts (LHS): [2] Russel, S., Norvig, P. – Artificial Intelligence: A Modern Approach [3] Rich, E., Knight, K. – Inteligência Artificial


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