Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia
4/18/2017 Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia
4/18/2017 Capítulo I Estatística Descritiva Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

I - Estatística Descritiva
4/18/2017 I - Estatística Descritiva Introdução Conceitos e definições Classificação dos dados Caracterização e apresentação dos dados Estatísticas amostrais Outras apresentações gráficas de dados Regressão linear 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.1 Introdução ESTATÍSTICA: É a disciplina que objetiva estudar os métodos científicos para a coleta, organização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como obter conclusões válidas e tomar decisões razoáveis baseadas em tais análises. Técnicas Estatísticas: São as várias técnicas por meio das quais é possível estudar conjuntos de dados e, a partir de uma amostra (se necessária), tirar conclusões válidas para conjuntos maiores (população). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.1 Introdução De uma maneira geral, as técnicas estatísticas são utilizadas em três etapas principais do trabalho de pesquisa: A coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa; A apresentação dos dados coletados; e A análise dos dados coletados, com a formulação de conclusões e generalizações. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.1 Introdução COLETA DE DADOS
4/18/2017 1.1 Introdução COLETA DE DADOS Essa primeira etapa corresponde ao estabelecimento do método de coleta de dados (questionário ou teste ou ensaio de material) e elaboração dos questionamentos ou determinação das variáveis que serão estudadas, de acordo com o interesse do pesquisador; e o cálculo do tamanho da amostra, de acordo com a natureza da pesquisa, do tempo e do orçamento disponíveis. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.1 Introdução APRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS
4/18/2017 1.1 Introdução APRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS A segunda etapa requer técnicas específicas para a transformação dos dados numéricos em tabelas ou gráficos (é a partir da organização dos dados coletados que se poderá elaborar a interpretação). ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS Essa etapa é simultânea à anterior, pois durante a própria organização dos dados já é possível ir percebendo a tendência geral da pesquisa. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
4/18/2017 1.1 Introdução No sentido de melhor esclarecer o significado da análise e interpretação dos dados, deve-se estabelecer uma distinção entre ESTATÍSTICA DESCRITIVA e INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.1 Introdução Estatística Descritiva: Objetiva sintetizar e representar de uma forma compreensível a informação contida num conjunto de dados. Como o próprio nome sugere, constitui-se num conjunto de técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar os dados numéricos de uma população ou amostra. Adquire importância quando o volume de dados for significativo. Materializa-se na construção de tabelas e/ou gráficos ou no cálculo de medidas que representem convenientemente a informação contida nos dados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.1 Introdução Inferência Estatística: Baseada na análise de um conjunto limitado de dados (uma amostra), objetiva caracterizar o todo a partir do qual tais dados foram obtidos (a população). Objetivo mais ambicioso que o da estatística descritiva. Os métodos e técnicas utilizados são mais sofisticados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.1 Introdução Figura 1.1- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.1 Introdução Figura 1.2- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.2 Conceitos e Definições
4/18/2017 1.2 Conceitos e Definições População: É o conjunto de todos os elementos que contêm uma certa característica que se deseja estudar. Como é comum a todos os elementos, esta característica varia em quantidade ou qualidade. Uma população pode ter dimensão finita ou infinita. Amostra: É um subconjunto de dados que pertencem à população. As amostras aleatórias são escolhidas por meio de processos (técnicas de amostragem) que garantem que o subconjunto obtido é representativo da população. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.2 Conceitos e Definições Principais motivos para o estudo da amostra: População infinita; 2. Custo em termos de tempo ou de dinheiro que um estudo em toda a população implicaria; 3. Obtenção de informação por meio de testes destrutivos, no âmbito industrial; 4. Impossibilidade de acesso a todos os elementos da população. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.2 Conceitos e Definições Fases do método de análise estatística: No âmbito da Estatística, o método de abordagem dos problemas pode ser dividido em cinco fases: Estabelecimento do objetivo da análise a efetuar (questões a serem resolvidas) e definição das populações correspondentes; Concepção de um procedimento adequado para a seleção de uma ou mais amostras (escolha das técnicas de amostragem a utilizar). Coleta de dados. Análise dos dados (Estatística Descritiva). Estabelecimento de inferências a respeito da população (Inferência Estatística) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.2 Conceitos e Definições Fases do método de análise estatística: Identificação do problema → Objetivo da análise Planejamento da experiência → Técnicas de Amostragem Coleta de dados Análise exploratória dos dados → Estatística Descritiva Análise e interpretação dos resultados → Inferência Estatística 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.3 Classificação dos Dados
4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Iniciando o estudo: Não existe uma estratégia única para iniciar o estudo descritivo, embora uma primeira recomendação seja começar por uma exploração visual dos dados levantados. Isso é necessário, pois podem ocorrer registros que não se encaixam no padrão geral observado e, dessa forma, a sua veracidade deve ser averiguada, pois podem tratar-se de erros de observação, bem como do próprio registro ou provenientes de alterações do fenômeno em estudo. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Iniciando o estudo: Para se ter uma ideia mais concreta sobre os dados levantados, deve-se recorrer às tabelas e/ou gráficos que podem representar, de maneira sintética, as informações sobre o comportamento de variáveis numéricas levantadas. Embora estas análises já se encontrem disponíveis em vários softwares e calculadoras programáveis, para uma melhor interpretação das mesmas é conveniente conhecer as técnicas utilizadas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Iniciando o estudo: Portanto, para se proceder um estudo descritivo, é importante: Ordenação dos dados – fase onde se começa a ter uma ideia a respeito de algumas medidas de posição (média, mediana, quartis etc.); Estatísticas amostrais – a partir de algumas medidas promove-se um resumo dos dados levantados, relativamente à posição, dispersão e forma; Agrupamento dos dados e representação gráfica – revela a forma possível para a população em estudo e permite escolher a classe de modelos que deve ser explorada nas análises mais sofisticadas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Dados brutos: Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-se dados brutos, ou seja, um conjunto de números ainda sem organização alguma. Rol: Os dados brutos são então ordenados de forma crescente ou decrescente, com a indicação da frequência de cada um, dando origem ao chamado rol. Tabulação dos dados: Depois de elaborar o rol é preciso determinar quantas faixas terá a tabela de frequência. A fórmula de Sturges é utilizada para estabelecer o número aproximado de classes onde: n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra) k = número de classes que a tabela de classes deverá conter. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Observações: - k deverá ser no mínimo 3 e no máximo 20; - Como a variável k é um número inteiro, ela deverá ser aproximada para o maior inteiro (por exemplo, se k ≈ 6,4, usa-se k = 7). Frequência de classes: O passo seguinte é subdividir os dados pelas classes ou categorias e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma, resultando nas frequências de classes. Apresentação final dos dados (tabela completa): Com base em todos os cálculos feitos anteriormente, pode-se fazer uma nova tabela com todas as frequências, as quais serão estudadas a posteriori. Gráficos: A partir da tabela de frequências, faz-se o desenho gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Os dados que constituem uma amostra podem ser de quatro tipos, assim distribuídos: Qualitativos - Nominal - Ordinal Quantitativos - Intervalar - Absoluto 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Dados nominais: Quando cada um deles for identificado pela atribuição de um nome que designa uma classe. a) Exaustivas - qualquer dado pertence a uma das classes; b) Mutuamente exclusivas - cada dado pertence somente a uma classe; c) Não ordenáveis - não existe nenhum critério relevante que permita estabelecer preferência por qualquer classe em relação às restantes. Neste caso, as classes devem ser: - Exemplo: Classificação das pessoas pela cor do cabelo (preto, castanho, louro etc.). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Dados ordinais: São semelhantes aos dados nominais; contudo, nessa escala existe a possibilidade de se estabelecer uma ordenação dos dados nas classes, segundo algum critério relevante. - Exemplo: Classificação de conceitos de avaliação na disciplina em insuficiente, regular, bom e excelente. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Dados intervalares: No caso da escala intervalar, os dados são diferenciados e ordenados por números expressos em uma ordem cuja origem é arbitrária. Observação: Neste caso, pode-se atribuir um significado à diferença entre esses números, mas não à razão entre eles. Por exemplo, o registro de temperaturas em ºC, em determinadas horas de dias sucessivos. Se em três dias consecutivos a temperatura atingir 5ºC, 10°C e 20ºC, não faz sentido dizer que o terceiro dia esteve duas vezes mais quente que o segundo, pois se a temperatura fosse expressa em outra escala, a razão entre os valores registrados naqueles dias seria diferente. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados d) Dados absolutos: Contrariamente ao que sucede com a escala intervalar, a escala absoluta tem origem fixa (nesta escala, o valor zero tem significado). - Exemplo: Pesos de pessoas expressos em kg. Observações: Escala intervalar: temperatura de 0ºC não significa que não haja temperatura. Escala absoluta: peso de 0 kg significa que não existe peso. Em conseqüência ao fato da origem ser fixa, a razão entre os dados expressos numa escala absoluta passa a ter significado; uma pessoa com 60 kg tem o dobro do peso de uma com 30 kg. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.3 Classificação dos Dados Observação: Quando se trabalha com dados quantitativos, é necessário que se faça a distinção entre os dados discretos e os contínuos. Os dados denominam-se discretos quando são valores de uma variável aleatória discreta, que é a aquela que assume valores em pontos da reta real (por exemplo, número de páginas em um livro: 1, 2, 3, 4, 5...). Os dados são contínuos quando são valores de uma variável aleatória contínua, que é aquela que pode assumir qualquer valor em certo intervalo da reta real (por exemplo, o peso de funcionários de uma fábrica: 60,5 kg; 60,52 kg; ...) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de frequências: Devido à necessidade das categorias estarem ordenadas, somente se pode falar de frequências acumuladas quando os dados estão em escalas ordinais, intervalar ou absoluta. A representação tabular com todos os tipos de frequências é mostrada a seguir: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de frequências: Frequência absoluta (ni): O número de dados contidos numa classe ou categoria qualquer i (i = 1,..., k) de um conjunto de dados designa-se por frequência absoluta da classe ou categoria i. Denotando-se por ni tal frequência e admitindo que as categorias especificadas contêm todos os dados, o número total de dados (n) é calculado por: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de frequências: Frequência relativa (fi): O número total de dados que pertencem a uma classe ou categoria qualquer i, quando expressos como uma proporção do número total de dados, designa-se por frequência relativa da classe ou categoria i e é dada por: As frequências relativas são muitas vezes definidas em termos percentuais. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de frequências: Frequência absoluta acumulada (Ni): Representa para cada classe ou categoria i, a frequência absoluta de dados que pertencem à classe ou às classes anteriores. Frequência relativa acumulada (Fi): Representa para cada classe categoria i, a frequência relativa de dados que pertencem à classe ou às classes anteriores. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Tabela de frequências: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Uma vez elaborada a tabela de frequências, segue-se o desenho do gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela. Os tipos de gráficos mais comuns são: histograma; polígono de frequência, setograma e ogiva de Galton. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Histograma: Este tipo de gráfico é utilizado para representar as frequências absolutas (ni) em relação à sua classe, e é assim construído: No eixo das abscissas marcam-se, em escala, as classes dos dados; No eixo das ordenadas, marcam-se as frequências das classes; Faz-se a correspondência entre cada intervalo no eixo das classes com um valor no eixo das frequências, formando um desenho de colunas paralelas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Polígono de frequência: Utilizado para indicar o ponto médio ou representante de classe em suas respectivas frequências absolutas; normalmente, é construído sobre o histograma, da seguinte forma: No eixo das abscissas, coloca-se o ponto médio de cada intervalo de classe; No eixo das ordenadas, permanecem as frequências absolutas das classes (ni) ; Ligam-se os pontos médios por segmentos de reta; Para completar o polígono, acrescenta-se um ponto médio com frequência zero em cada uma das extremidades da escala horizontal. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Histograma e Polígono de frequência: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Histograma Polígono de frequência: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Gráfico em setores (Setograma): Também conhecido como gráfico de pizza, é utilizado para representar valores relativos (%); é construído da seguinte forma: Faz-se um círculo; Cada setor é regido pela fórmula: No círculo, distribui-se os valores das frequências percentuais 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Ogiva de Galton: Este tipo de gráfico é utilizada para representar as frequências acumuladas de uma distribuição; é construído da seguinte forma: No eixo das abscissas coloca-se as classes dos dados, tal como no histograma; No eixo das ordenadas, escreve-se uma das frequências acumuladas, marcando o ponto com os limites superiores (Li) de cada classe; inicia-se com a frequência zero e com limite inferior da 1ª classe. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Ogiva de Galton: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Gráfico linear: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de uma linha poligonal. Os pontos da polígono são obtidos pelas informações contidas em cada linha da tabela, e marcados no plano utilizando o sistema cartesiano. São utilizados para representar séries cronológicas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Gráfico de colunas: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de retângulos (colunas) dispostas em posições vertical. Todos os retângulos possuem a mesma base e a altura proporcional aos dados. Podem ser utilizados para representar qualquer série estatística. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Gráficos estatísticos Gráfico de colunas: Este tipo de gráfico é semelhante ao de colunas, onde os retângulos (barras) estão dispostos horizontalmente. É utilizado para legendas longas, em todas as séries. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Qualitativos: Exemplo: Em uma amostra constituída de 120 peças, constatou-se que 100 não tinham qualquer defeito, 15 tinham defeitos recuperáveis e 5 apresentavam defeitos irrecuperáveis. Representar em uma tabela, e também graficamente, as frequências (absolutas e relativas) dos dados que constituem essa amostra: Categoria de peças Frequência absoluta (ni) Frequência relativa (fi) Sem defeitos Recuperáveis irrecuperáveis 100 15 5 83,3% 12,5% 4,2% TOTAL 120 100% 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Qualitativos: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: Exemplo: Em um estudo realizado com o objetivo de caracterizar o comportamento dos clientes de um supermercado, analisou-se o número de ocupantes por veículo para 1000 veículos que entraram no estacionamento do referido supermercado, em um sábado. Os resultados encontram-se resumidos na tabela seguinte: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: Nº de ocupantes por veículo (xi) Frequência absoluta (ni) relativa (fi) absoluta acumulada (Ni) relativa acumulada (Fi) 1 2 3 4 5 6 7 103 147 248 197 152 100 53 10,3% 14,7% 24,8% 19,7% 15,2% 10,0% 5,3% 250 498 695 847 947 1000 25,0% 49,8% 69,5% 84,7% 94,7% 100,0% TOTAL 100% 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: Distribuições agrupadas: Essas distribuições são úteis quando existe um grande número de dados relativos a uma variável contínua, cujos valores observados são muito próximos uns dos outros. A frequência de cada classe é o número de observações que ela contém. No exemplo anterior, os dados observados correspondem a uma variável discreta; para o caso de dados relativos uma variável contínua existem algumas diferenças. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: Exemplo: O conjunto de dados baixo representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático: 302,25; 299,20; 300,24; 297,22; 298,35; 303,76; 298,65; 299,38; 300,36; 299,16; 300,86; 299,83; 302,52; 300,12; 301,81; 297,99; 299,23; 298,73; 303,07; 299,07; 297,83; ... ; 300,80 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: No conjunto de dados mostrado não existe praticamente repetição de valores; logo, não é vantagem se utilizar os dados agrupados numa tabela de frequências, pois a mesma teria tantas linhas quanto o número de dados. No entanto, a tabela de frequências pode ser construída se os dados forem agrupados por classes: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Classes Frequência absoluta (ni) relativa (%) (fi) acumulada (Ni) relativa acumulada (%) (Fi) [297,00 ; 298,00[ [298,00 ; 299,00[ [299,00 ; 300,00[ [300,00 ; 301,00[ [301,00 ; 302,00[ [302,00 ; 303,00[ [303,00 ; 304,00[ [304,00 ; 305,00[ [305,00 ; 306,00[ 8 21 28 15 11 10 5 1 29 57 72 83 93 98 99 100 TOTAL 100% 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados Dados Quantitativos: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.5 Estatísticas Amostrais
4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Nas seções anteriores foi visto a sintetização de dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuição de frequências. O cálculo de estatísticas amostrais é uma forma mais sintética de descrever um conjunto de dados, ou seja, possibilita representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma reduzida. As estatísticas amostrais são calculadas com base nos dados, a partir das quais é possível descrever globalmente o conjunto de valores que os referidos dados tomam. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais As estatísticas amostrais ou medidas estatísticas são divididas em três grupos: Medidas de posição ou de tendência central: Média aritmética, média geométrica, média harmônica, mediana, quartis, decis, percentis e moda. b) Medidas de dispersão: Amplitude total, desvio médio, variância, desvio padrão, amplitude interquartílica e coeficiente de variação. c) Medidas de forma: Medidas de assimetria e medidas de curtose. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: Essas medidas nos orientam quanto à posição da distribuição no eixo x (eixo dos números reais); Possibilitam comparações de séries de dados entre si pelo confronto desses números. São chamadas de medidas de tendência central, pelo fato de representarem os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Para um conjunto de n dados de xi (i = 1,2,..., n) a média aritmética simples ou média amostral, representada por é definida pela expressão: (dados não agrupados) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Exemplo: Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) dos dados mostrados abaixo: 2, 1, 3, 3, 2, 3, 7, 5, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 4 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usa-se a média aritmética dos valores xi ponderadas pelas respectivas frequências absolutas ni, assim: (dados agrupados) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Exemplo (dados agrupados): Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) da distribuição dada abaixo: xi 1 2 3 4 5 7 ni 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Exemplo (dados agrupados): xi ni xini 1 2 3 4 5 7 6 12 10 Σ 15 43 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição a.1) Média aritmética: No caso da variável ser contínua, visto que se perdeu os valores concretos do conjunto (ficaram afetos a uma determinada classe) não se pode calcular a média amostral diretamente dos valores dos dados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Deste modo, à cada classe vai ser atribuído um representante (xi), e a média amostral será calculada por meio desses representantes: (dados agrupados em classes) onde k é o número de classes do agrupamento, ni é a frequência absoluta da classe i e xi é o ponto médio da classe i, o qual é considerado como elemento representativo da classe. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Exemplo (dados agrupados em classes): Determinar a média da distribuição a seguir, a qual representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático (exemplo anterior): 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética: Exemplo (dados agrupados em classes): Classes ni xi xini [297,00 ; 298,00[ [298,00 ; 299,00[ [299,00 ; 300,00[ [300,00 ; 301,00[ [301,00 ; 302,00[ [302,00 ; 303,00[ [303,00 ; 304,00[ [304,00 ; 305,00[ [305,00 ; 306,00[ 8 21 28 15 11 10 5 1 297,5 298,5 299,5 300.5 301,5 302,5 303,5 304,5 305,5 2380,0 6268,5 8386,0 4507,5 3316,5 3025,0 1517,5 Σ 100 30011,0 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética (Ponderada) Às vezes, associam-se os números x1, x2, ..., xk a certos fatores de ponderação ou pesos w1, w2, ... , wk que dependem do significado ou importância atribuída aos mesmos. Nesse caso é denominada de média aritmética ponderada. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.1) Média aritmética (Ponderada) Exemplo: Em um curso, a avaliação final tem peso 3 e as parciais peso 1; a nota média de um estudante que obtenha nota 8,5 na avaliação final e 7,0 e 9,0 nas provas parciais, será: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.2) Média geométrica: A média geométrica G (ou ) de um conjunto de n números x1, x2, ..., xn é a raiz de ordem n do produto desses números: - Exemplo: A média geométrica dos números 2, 4 e 8: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.2) Média geométrica (dados agrupados): Se os elementos x1, x2, ..., xn ocorrem com as frequências n1, n2,..., nk, sendo n1+n2+...+nk = n a frequência total, a média geométrica G desses elementos será deduzida como: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.3) Média harmônica: A média harmônica H (ou ) de um conjunto de n elementos x1, x2, ..., xn é a recíproca da média aritmética da recíproca dos elementos: - Exemplo: A média harmônica dos números 2, 4 e 8: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana: Para os dados colocados em ordem crescente, mediana (md, Me ou ) é o valor que divide a amostra, ou população, em duas partes iguais. Assim: 50% 100% 0% 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (série de elementos não agrupados): Considerando que os dados que integram a amostra são colocados em ordem crescente, formando um vetor (x1, x2, ..., xn) - amostra ordenada -, a mediana amostral é definida como segue: n ímpar n par 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (série de elementos não agrupados): Exemplo: Para as distribuições abaixo, determinar as respectivas medianas: 8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9 Ordenando: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15 Como n é ímpar, então: 8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9, 3 Ordenando: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15 Como n é par, então: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: contém o 6º elemento n = 11 (ímpar), logo será o elemento de ordem (n+1)/2, ou seja, (11+1)/2 = 6º elemento. Da coluna da frequência acumulada crescente, encontra-se o valor xi correspondente à classe que contém a ordem calculada, assim: = 3. xi ni Ni 1 2 3 4 5 9 11 Σ 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: 22º n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1, ou seja, 21º e 22º elementos. Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela Ni, ou seja, 85 e 87, assim: 21º xi ni Ni 82 85 87 89 90 9 12 11 6 4 21 32 38 42 Σ 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: 21º e 22º n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1, ou seja, 21º e 22º elementos. Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela Ni, ou seja, 87 e 87, assim: xi ni Ni 82 85 87 89 90 5 10 15 8 4 30 38 42 Σ 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Para variáveis contínuas, identifica-se a classe que contém a mediana (n/2), denominada classe Md (como a variável é contínua, não interessa se n é par ou ímpar); o valor aproximado para a mediana será calculado pela equação: onde: NMd-1 é a frequência absoluta acumulada da classe antes da classe mediana, n a dimensão da amostra e lMd , aMd e nMd são, respectivamente, o limite inferior, a amplitude e a frequência absoluta da classe mediana. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: Classes ni Ni 5 12 18 14 6 3 17 35 49 55 58 Σ classe Md 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Exemplo: 1º Passo: Calcula-se n/2; como n=58, então 58/2=29º. 2º Passo: Identifica-se a classe Md pela Ni (classe Md=3ª). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso li = 55, n = 58, Ni-1 = 17, ai = 10, ni = 18; logo: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis: Como já visto anteriormente, a mediana é a medida de posição que divide um conjunto de dados em duas partes iguais; Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, assim: 50% 75% 25% Q1 Q2 Q3 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis: 50% 75% 25% Q1 Q2 Q3 Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos; Q2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos; Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis (série de elementos não agrupados): A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), segue a fórmula: Exemplo: Determine o 1º e o 3º quartis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612. E da série 185, 196, 207, 305, 574, 597 ? 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), segue os passos: 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/4; 2º Passo: Identifica-se a classe Qk pela frequência acumulada N; 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Dada a distribuição amostral, determinar Q1 e Q3: Classes ni Ni 5 12 18 14 6 3 17 35 49 55 58 Σ classe Q1 classe Q3 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Para Q1. 1º Passo: Calcula-se n/4; como n=58, então 58/4=14,5º. 2º Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Ni (classe Q1 =2ª). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso lQ1 = 45, n = 58, NQ1-1 = 5, aQ1 = 10, nQ1 = 12; logo: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Para Q3. 1º Passo: Calcula-se 3n/4; como n = 58, então 58/4 = 43,5º. 2º Passo: Identifica-se a classe Q3 pela NQ3 (classe Q3 = 4ª). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso lQ3 = 65, n = 58, NQ3-1 = 35, aQ3 = 10, nQ3 = 14; logo: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): Exemplo: Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem-se: 25% 52,92 61,67 71,07 35 95 ou seja: O valor de 52,92 deixa 25% dos elementos; O valor de 61,67 deixa 50% dos elementos; O valor de 71,07 deixa 75% dos elementos. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.6) Decis: Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais, assim: D1 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.6) Decis: D1 = 1º decil, deixa 10% dos elementos da série; D2 = 2º decil, deixa 12% dos elementos da série; D5 = 5º decil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos da série; D6 = 6º decil, deixa 60% dos elementos da série; D7 = 7º decil, deixa 70% dos elementos da série; D8 = 8º decil, deixa 80% dos elementos da série; D9 = 9º decil, deixa 90% dos elementos da série. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.6) Decis (série de elementos não agrupados): A determinação de Dk (k = 1, 2, ..., 9), segue a fórmula: Exemplo: Determine o 5º e o 6º decis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.6) Decis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): A determinação de Dk (k = 1, 2, ..., 9), para o caso de variáveis contínuas com os dados divididos em classes, segue os passos: 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/10; 2º Passo: Identifica-se a classe Dk pela frequência acumulada N; 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Percentis: Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais, assim: P1 99% 98% 97% 3% 2% 1% P2 P3 P50 P97 P98 P99 50% 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Percentis: P1 = 1º percentil, deixa 1% dos elementos; P2 = 2º percentil, deixa 2% dos elementos. P50 = 50º percentil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos; P99 = 99º percentil, deixa 99% dos elementos. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Percentis (série de elementos não agrupados): A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99) para uma série de elementos não agrupados, segue a fórmula: Exemplo: Determine o 50º e o 60º percentis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Percentis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de frequência): A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99), para o caso de variáveis contínuas com os dados divididos em classes, segue os passos: 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/100; 2º Passo: Identifica-se a classe Pk pela frequência acumulada N; 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição: Cálculo de D4 1º Passo: 2º Passo: 3º Passo: Classes ni Ni 5 12 18 14 6 3 17 35 49 55 58 Σ classe D4 classe P72 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição: Cálculo de P72 1º Passo: 2º Passo: 3º Passo: Classes ni Ni 5 12 18 14 6 3 17 35 49 55 58 Σ classe D4 classe P72 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.7) Exemplo (decil e percentil). Portanto, na distribuição analisada, tem-se que: O valor 55,34 indica que 40% dos elementos da distribuição estão abaixo dele e os outros 60% acima. O valor 69,82 indica que 72% dos elementos da distribuição estão abaixo dele e os outros 28% acima. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda Moda (Mo) é a medida que indica o valor ou a gama de valores nos quais a concentração dos dados amostrais é máxima. Para variáveis discretas, a moda é o valor dos dados que ocorre com maior frequência; Para variáveis contínuas, a classe modal é o intervalo de classe com maior frequência. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda (distribuições simples) Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior frequência. Exemplo: Para a distribuição abaixo Mo = 248. xi 243 245 248 251 307 ni 7 17 23 20 8 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda (dados agrupados) Para dados agrupados em classe, existem diversas fórmulas para o cálculo da moda: Fórmula de Czuber: Após a identificação da classe modal, aplica-se a fórmula abaixo, onde l = limite inferior da classe modal; Δ1= diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a imediatamente anterior; Δ2 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a imediatamente posterior; ai = amplitude da classe modal. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda (dados agrupados) Exemplo: Determinar a moda para a distribuição: A classe com maior frequência absoluta é [55, 65[; logo, ela é a classe modal. Aplicando a fórmula de Czuber, tem-se: Classes ni 5 12 18 14 6 3 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda (dados agrupados) Densidades de classes: Quando as amplitudes das classes são diferentes, deve-se calcular as densidades de classes para identificar a classe modal, as quais são obtidas por meio da relação ni/ai. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda (dados agrupados) Exemplo: Determinar a moda para a distribuição: Salários (US$) ni ai ni/ai 70 140 60 100 50 200 0,7 2,0 2,8 0,3 classe modal 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: a.8) Moda (dados agrupados) Fórmula de Pearson: Fornece uma boa aproximação quando a distribuição apresenta razoável simetria em relação à média. É dada pela relação: ou seja, a moda é aproximadamente igual a diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: Observações: Média versus Mediana: Diferença entre estas duas medidas fica mais clara quando se considera o exemplo das notas obtidas por um aluno como sendo: 10, 13, 11, 15, 18, 16, 14, 15, 14; nesse caso, como pode ser comprovado, a média aritmética e a mediana são iguais a 14. Se esse aluno elevar a nota mais baixa, passando de 10 para 14, a mediana ainda será o mesmo valor, mas o valor da média sofrerá um aumento, passando para 14,4. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: Observações: Média versus Mediana: A média, ao contrário da mediana, é uma medida de posição muito pouco resistente, isto é, ela é muito influenciada por valores muito grandes ou muito pequenos, mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: Observações: Média versus Mediana: Entretanto, a preferência de uma ou de outra dependerá do contexto em que forem utilizadas: se a distribuição é simétrica essas medidas coincidem; caso contrário, observar que a mediana não é tão sensível quanto a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes; além disso, a média reflete o valor de todas as observações. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: Observações: Média versus Mediana: Representação das distribuições dos dados na forma de uma curva de frequência: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de posição: Observações: Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica: A média geométrica de um conjunto de números positivos é menor ou igual à sua média aritmética, mas é maior ou igual à sua média harmônica: O sinal de igualdade somente é válido quanto todos os números do conjunto de dados são idênticos. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média Exemplo: Sejam as séries 20, 20, 20 e 15, 10, 20, 25, 30, como pode ser calculado, ambas possuem média aritmética igual a 20; entretanto, na primeira não existe dispersão, enquanto a segunda apresenta dispersão em torno da média 20; portanto, a média é muito mais representativa para a segunda série. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.1) Amplitude total (ou amplitude amostral): É definida como sendo a diferença entre o maior e o menor dos valores da série, ou seja: Exemplo: Para a série 10, 12, 15, 24, 25, 30, 36 R = 36 – 10 = 26 Observação: É uma medida de dispersão muito limitada, pois depende apenas dos valores externos, o que a torna instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.2) Desvio médio: O desvio médio de um conjunto de n números x1, x2 , ... , xn é definido por: onde média aritmética dos números; valor absoluto do desvio de cada número em relação à média aritmética. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.2) Desvio médio (dados agrupados): Se x1, x2 , ... , xn ocorrerem com as frequências n1, n2, ... , nn, respectivamente, o desvio médio poderá ser indicado da seguinte forma: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.3) Variância: A variância de um conjunto de dados é definida como o quadrado do desvio padrão, evitando-se com isso que Σdi=0. Quando é necessário distinguir entre o desvio padrão de uma população e o de uma amostra dela extraída, adota-se frequentemente o símbolo σ para o primeiro e s para o último. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.3) Variância: Para o caso da variância populacional são adotadas as seguintes fórmulas: (dados não agrupados) (dados agrupados) média populacional; tamanho da população. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.3) Variância: Para o caso da variância amostral são adotadas as seguintes fórmulas: (dados não agrupados) (dados agrupados) média amostral; tamanho da amostra. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.3) Variância: Fórmulas práticas para os cálculos das variâncias: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para se conseguir uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, toma-se a raiz quadrada da variância e obtém-se o desvio padrão. (desvio padrão populacional) (desvio padrão amostral) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados; se s= 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: xi 5 7 8 9 11 ni 2 3 4 xi ni nixi 5 7 8 9 11 2 3 4 10 21 40 36 22 Σ 16 129 Média aritmética: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: xi ni nixi |xi-x| = |di| ni|di| 5 7 8 9 11 2 3 4 10 21 40 36 22 |5 – 8,06| = 3,06 |7 – 8,06| = 1,06 |8 – 8,06| = 0,06 |9 – 8,06| = 0,94 |11 – 8,06| = 2,94 6,12 3,18 0,30 3,76 5,88 Σ 16 129 19,24 Desvio médio: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.4) Desvio padrão: Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: Variância: xi ni nixi nixi2 5 7 8 9 11 2 3 4 10 21 40 36 22 50 147 320 324 242 Σ 16 129 1.083 Desvio padrão: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensível à existência, na amostra, de uma observação muito grande ou muito pequena. Por esse motivo, define-se uma outra medida, a amplitude interquartílica. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: Esta medida é, de certa forma, uma solução de compromisso, pois não é afetada, de um modo geral, pela existência de um pequeno número de valores demasiadamente grandes ou pequenos. É definida como sendo a diferença entre o 3º e 1º quartis; assim: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: Da definição de amplitude interquartílica, pode-se concluir que 50% dos elementos do meio da amostra estão contidos num intervalo com aquela amplitude. Esta medida é não negativa e será tanto maior quanto maior for a variabilidade nos dados. Ao contrário do que acontece com o desvio padrão, uma amplitude interquartílica nula não significa necessariamente, que os dados não apresentem variabilidade. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.5) Amplitude interquartílica: Alguns autores preferem calcular uma medida próxima da referida: a amplitude semi-interquartílica (ASI). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, ou qualquer outra medida de dispersão, é denominada dispersão absoluta; entretanto, uma variação ou dispersão, na medida de uma determinada distância, é inteiramente diferente quanto ao efeito, da mesma variação em uma distância menor. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: A medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, definida por: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: Se a dispersão absoluta é o desvio padrão e a média é a aritmética, a dispersão relativa é denominada coeficiente de variação ou de dispersão, dado por: coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de $4.000,00, com desvio padrão de $1.500,00, e o das mulheres é em média de $3.000,00, com desvio padrão de $1.200,00. Então: Para os homens: Para as mulheres: Desses valores conclui-se, portanto, que o salário das mulheres apresentam maior dispersão que os dos homens 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de dispersão b.6) Coeficiente de variação: Diz-se que a distribuição possui baixa, média ou alta variabilidade (dispersão) conforme os seguintes valores: Baixa dispersão: CV ≤ 10% Média dispersão: 10% < CV < 20% Alta dispersão: CV ≥ 20% Alguns analistas consideram valores diferentes: Baixa dispersão: CV ≤ 15% Média dispersão: 15% < CV < 30% Alta dispersão: CV ≥ 30% 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.1) Medidas de assimetria: Denomina-se assimetria o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição. Uma distribuição de frequência pode simétrica, assimétrica positiva ou assimétrica negativa. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.1) Medidas de assimetria: Uma distribuição simétrica apresenta a igualdade entre as três medidas de posição, média aritmética, mediana e modo, ou: Em uma distribuição assimétrica positiva, ou assimétrica à direita, tem-se que: Em uma distribuição assimétrica negativa, ou assimétrica à esquerda, tem-se que: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.1) Medidas de assimetria: Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria, dentre elas duas são bastante utilizadas: 1º Coeficiente de Pearson: 2º Coeficiente de Pearson: Se AS = 0, a distribuição é simétrica AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva AS < 0. a distribuição é assimétrica negativa. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.1) Medidas de assimetria: Exemplo: Identificar o grau de assimetria da distribuição: Salários ($1.000,00) Empregados 80 50 30 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.1) Medidas de assimetria: Exemplo: Classes xi ni nixi nixi2 ni/ai Ni 50 40 75 125 80 30 3200 3750 80/20 = 4 50/50 = 1 30/50 = 0,6 130 160 Σ 10.700 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.1) Medidas de assimetria: Exemplo: Como AS > 0, então a distribuição é assimétrica positiva. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.2) Medidas de curtose: Denomina-se curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Uma distribuição de frequência pode ser: Mesocúrtica: quando sua forma nem é achatada e nem delgada; Leptocúrtica: quando apresenta a forma delgada; Platicúrdica: quando apresenta a forma achatada. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.2) Medidas de curtose: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.2) Medidas de curtose: Para medir o grau de curtose utiliza-se o coeficiente: onde Q3 = 3º quartil; P90 = 90º percentil; Q1 = 1º quartil; P10 = 10º percentil. Se K = 0,263 – a curva correspondente à distribuição é mesocúrtica; K > 0,263 – a curva é platicúrdica; K < 0,263 – a curva é leptocúrdica. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.5 Estatísticas Amostrais Medidas de forma c.2) Medidas de curtose: Exemplo: Para a mesma distribuição do exemplo da assimetria, calcula-se ainda P10 e P90; logo: Como K > 0,273, então a distribuição é do tipo platicúrtica. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados
4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Além dos diagramas já estudados, existem outras formas bastante utilizadas internacionalmente para apresentar os dados amostrais. Um bom modo de obter uma apresentação visual eficiente de um conjunto de dados pode ser conseguido por meio de três tipos de gráficos: diagramas de pontos, diagramas de ramo e folhas, e diagramas de caixa. O diagrama de pontos é uma apresentação útil de dados, no caso de amostras pequenas (até cerca de 20 observações). Entretanto, quando o número de observações for moderadamente alto, o diagrama de ramo e folhas e o diagrama de caixa podem ser mais úteis. Questões como quantidades de dados abaixo de certo valor, tendência central (média ou mediana), dispersão (desvio-padrão), possibilidade de detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o desvio da simetria, não são fáceis de responder, pois existem muitas observações, e a construção de um diagrama de pontos, usando esses dados, seria relativamente ineficiente . 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de pontos Um diagrama de pontos é um gráfico estatístico que consiste em grupos de pontos de dados traçados em uma escala simples. São utilizados para dados contínuos, quantitativos e univariados, e são muito úteis para exibir um pequeno conjunto de dados. Esse tipo de gráfico permite uma fácil visualização de duas características dos dados: a posição (meio) e a dispersão (espalhamento ou variabilidade) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de pontos Exemplo 01 (Montgomery, 2004, p.2-3): Um engenheiro está projetando um conector de náilon para ser usado em aplicação automotiva. Ele considera estabelecer como especificação do projeto uma espessura de 3/32 pol., mas está inseguro. Oito unidades do protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas, resultando nos seguintes dados (em libras): 12,6; 12,9; 13,4; 12,3; 13,6; 13,5; 12,6 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados. 13 Força de remoção 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de pontos Exemplo 02: O engenheiro do exemplo anterior decide considerar um projeto alternativo com uma espessura maior da parede do conector, 1/8 pol. Oito protótipos desse projeto são construídos, sendo as medidas observadas da força de remoção, resultando nos seguintes dados (em libras): 12,9; 13,7; 12,8; 13,9; 14,2; 13,2; 13,5 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados, sobrepondo-o ao anterior para uma melhor análise da influência da espessura da parede na força de remoção. 13, ,4 Força de remoção 3/32 pol. 1/8 pol. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas Esta forma de apresentação de dados tem sido frequentemente utilizada em trabalhos técnicos do mundo inteiro. Para construir o diagrama de ramo e folhas, dividimos o elemento amostral em duas partes: um ramo (stem), consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e uma folha (leaf), consistindo nos dígitos restantes. Exemplo: O dado 458 é dividido em duas partes, a primeira parte 45, e a segunda parte 8. Geralmente, escolhe-se relativamente poucos ramos em comparação ao número de observações (5 a 20 itens). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas Exemplo (Montgomery, 2004, p.16): Considere o conjunto de dados abaixo, relativos à resistência a compressão de uma liga de alumínio. O diagrama de ramo e folhas resultante é apresentado a seguir: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas (dados brutos) Ramo Folha Frequência 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 5 1 5 1 2 3 4 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas (dados ordenados) Ramo Folha Frequência 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 1 5 5 1 2 3 4 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas Em alguns casos pode ser desejável construir mais intervalos ou ramos. Uma maneira de fazer isto seria dividir o ramo escolhido em dois ou mais novos ramos, conforme mostrado abaixo: Ramo Folha 14L 14U 15L 15U Ramo Folha 14z 14t 14f 14s 14e 15z 15t 15f 15s 15e 2 3 5 0 0 1 3 4 4 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas Frequência acumulada Ramo Folha 1 2 3 5 8 11 17 25 37 (10) 33 23 16 10 6 7 9 12 13 14 15 18 19 20 21 22 24 1 5 N = 80 Min = 76 Max = 245 Média = 162,7 Mediana = 161,5 Q1 = 143,50 Q3 = 181,00 S2 = 33,77 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas Exercício (Montgomery, 2004, p.17): Os seguintes dados são os números de ciclos até a falha, de corpos de prova de alumínio, sujeitos a uma tensão alternada repetida, de psi e 18 ciclos por segundo: 1115 1310 1540 1502 1258 1315 1085 798 1020 865 2130 1421 1109 1481 1567 1883 1203 1270 1015 845 1674 1016 1102 1605 706 2215 785 885 1223 375 2265 1910 1018 1452 1890 2100 1594 2023 1269 1260 1888 1782 1522 1792 1000 1820 1940 1120 910 1730 1578 758 1416 1560 1055 1764 1330 1608 1535 1781 1750 1501 1238 990 1468 1512 1642 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de ramo e folhas (a) Construa um diagrama de ramo e folhas para esses dados. (b) Você acha que o corpo de prova “sobreviverá” além de ciclos? Justifique a sua resposta. (c) Encontre a mediana e os quartis. Profundidade Ramo Folha 1 5 8 10 17 22 29 33 (5) 32 18 11 7 4 2 3 9 12 13 14 15 16 19 20 21 75 10 90 10 40 23 00 30 15 65 a) b) Não. A probabilidade é muito pequena. c) M = 1436,5 Q1 = 1097,8 Q3 = 1735 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de caixa (box plot) Uma outra forma gráfica de apresentar os dados é o chamado diagrama de caixa (box plot) ou diagrama de caixa e linhas (box and whiskers), que permite descrever simultaneamente vários fatores importantes de uma série de dados, tais como a tendência central (média ou mediana), a dispersão (desvio-padrão), a possibilidade de detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o desvio da simetria. Um diagrama de caixa apresenta três quartis, em uma caixa retangular, alinhados tanto horizontal como verticalmente; opcionalmente, pode apresentar a média. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de caixa (box plot) A caixa inclui a amplitude interquartil, com o canto esquerdo (ou inferior) no primeiro quartil, Q1, e o canto direito (ou superior) no terceiro quartil, Q3. Portanto, o comprimento da caixa é igual a amplitude interquartil , DQ = Q3 - Q1. Uma linha é desenhada através da caixa, no segundo quartil (que é o percentil 50 ou a mediana), Q2. A média, como já dito, é opcional. Uma linha (whisker) estende-se de cada extremidade da caixa. A linha inferior (ou esquerda) começa no primeiro quartil indo até o menor valor do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de 1,5, a partir do primeiro quartil. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de caixa (box plot) A linha superior (ou direita) começa no terceiro quartil indo até o maior do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de 1,5, a partir do terceiro quartil. Dados mais afastados dos que as linhas são plotados como pontos individuais. Um ponto além da linha, porém a menos de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa, é chamado de dispersos (outliers). Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa é chamado de um outlier extremo. Ocasionalmente, símbolos diferentes (círculos abertos e fechados, por exemplo) são usados para identificar os dois tipos de outlier. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de caixa (box plot) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados Diagrama de caixa (box plot) Exercício: Represente o diagrama de caixa para os dados da resistência à compressão do alumínio mostrados no exercício anterior. N = 80 Min = 76 Max = 245 Média = 162,7 Mediana = 161,5 Q1 = 143,50 Q3 = 181,00 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Introdução
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Introdução A análise de regressão é uma técnica estatística para investigar e modelar a relação entre variáveis, sendo uma das mais utilizadas na análise de dados. É denominada “linear” porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Introdução
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Introdução A regressão linear pode ser simples ou múltipla. A regressão simples envolve duas variáveis (estimadores): uma variável dependente e uma variável independente. A regressão múltipla envolve três ou mais variáveis, ainda uma única variável dependente, porém duas ou mais variáveis independentes (explicativas). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Regressão Linear Simples
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão Linear Simples Relação entre duas variáveis Em inúmeras ocasiões o estudo descritivo não se resume ao estudo de apenas uma variável; para se ter uma visão global do problema em estudo, muitas vezes é necessário a observação de duas ou mais variáveis. Nesse caso, em vez de uma amostra (x1, x2, ..., xn), passa-se a ter dados bivariados (xi, yi), i = 1, 2, ..., n. Um dos objetivos desse estudo é a relação existente entre as variáveis do par. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Correlação linear
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Correlação linear Para se ter uma ideia de como as duas variáveis se relacionam é comum representar graficamente esta relação por meio de um diagrama de dispersão. Esta representação consiste na marcação das observações em um sistema de eixos cartesianos. Se as variáveis fornecem um diagrama de dispersão em que os pontos se colocam ao redor de uma reta crescente ou decrescente, diz-se que essas variáveis estão linearmente correlacionadas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Correlação linear Quanto menor a dispersão dos pontos em torno da reta, mais forte será a correlação. A correlação linear será positiva ou negativa caso a tendência da reta seja crescente ou decrescente. Se nenhuma tendência positiva ou negativa pode ser detectada, a explicação possível para os valores da segunda variável é sua média. Nesse caso, o eixo da dispersão será horizontal, contendo a média da segunda variável, e diz-se que as variáveis não são linearmente correlacionadas. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Correlação linear y x Correlação linear forte
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Correlação linear y x Correlação linear forte (positiva) (negativa) Correlação linear fraca 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Correlação linear y x
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Correlação linear y x Variáveis não correlacionadas Variáveis não correlacionadas linearmente 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Correlação linear Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (Btu/kwh) para uma turbina de combustão, para ser usada em refrigeração, construa o diagrama de dispersão para esses dados. x 100 125 150 175 200 225 250 275 y 99,1 98,8 98,5 98,2 98,0 97,8 x 300 325 350 375 400 425 450 500 y 97,8 97,6 97,5 97,3 97,0 96,8 96,7 Desse diagrama pode-se extrair que talvez exista uma correlação linear entre as variáveis; esta relação pode ser traduzida por meio de uma reta. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear A determinação da correlação entre duas variáveis por meio de uma inspeção nos pares anotados ou no diagrama de dispersão correspondente é pouco precisa e subjetiva. Essa dificuldade pode ser contornada pelo uso de uma medida que caracterize a correlação linear e seja independente do observador que esteja examinando os dados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Karl Pearson propôs o chamado coeficiente de correlação linear, o qual é dado pela relação: onde: Cov (x,y) é a covariância das variáveis x e y, e seu cálculo é dado por e sx2 e sy2 são as variâncias da variáveis x e y. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Fazendo-se as devidas substituições e simplificações, obtém-se o coeficiente de correlação de forma mais simples: onde: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear r = -1, indica correlação linear negativa perfeita; os pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular negativo. r = 0, indica que os pontos não estão correlacionados, nem apresentam tendência crescente ou decrescente. r = 1, indica correlação linear positiva perfeita; os pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular positivo. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Nos casos em que os pontos do diagrama de dispersão estão em uma reta vertical ou horizontal, o quociente que calcula o coeficiente de correlação não está definido, pois apresenta numerador e denominador nulos. Nesse caso, o coeficiente de correlação será considerado nulo. r = 0, Cov (x,y) = 0, sy2 = 0 y x r = 0, pois Cov (x,y) = 0, sx2 = 0 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear A correlação entre duas variáveis pretende captar o fato dessas variáveis apresentarem a mesma tendência ao crescimento, ou tendências contrárias. O fato de duas variáveis evoluírem no mesmo sentido ou em sentidos opostos fornece uma ideia do que se pode esperar sobre um valor desconhecido da variável y para um particular valor de x. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Se as variáveis x e y são positivamente correlacionadas, e se procura estimar o valor de y1 para certo valor x1 menor que a média , deve-se esperar o valor correspondente y1 menor que a média ; para um valor x2 maior que a média , deve-se esperar um valor y2 maior que a média , acompanhando a tendência do eixo crescente dos pontos. y x y2 y1 x2 x1 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de correlação linear Os problemas que envolvem estimativas de valores desconhecidos a partir de valores históricos são chamados problemas de previsão ou predição. O conhecimento da correlação entre duas variáveis, embora possa fornecer uma pista para a previsão de um valor desconhecido de uma delas, nada informa a respeito da qualidade dessa previsão, ou seja, não se pode, em geral, com base apenas no conhecimento da correlação, transformar a incerteza da previsão em risco (isto só é possível quando a correlação é perfeita). Entretanto, o fato de duas variáveis serem correlacionadas levanta a possibilidade de uma relação causal entre elas, o que é importante em problemas de previsão. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Regressão linear simples
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples Como visto anteriormente, uma previsão construída baseada nas informações obtidas da correlação nada diz a respeito da confiabilidade do valor previsto. Um método de previsão que permite a avaliação em termos de confiabilidade é a regressão linear, pois, satisfeitas determinadas condições, ela proporciona a transformação da incerteza em risco 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico Quando se verifica, quer por meio do gráfico de dispersão, quer pelo coeficiente de correlação linear, uma correlação forte entre duas variáveis, a relação entre essas variáveis pode ser descrita por meio de uma reta de regressão (a reta que melhor se ajusta aos dados). Essa reta serve de modelo matemático para expressar a relação linear entre duas variáveis. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico Considere o relacionamento de duas variáveis x e y com as seguintes características: x: é a variável cujos valores são controlados e, portanto, determinados; ela é conhecida por variável independente ou variável de decisão; y: variável aleatória; é a variável que se quer prever; seu valor depende do valor atribuído a x, embora para cada valor de x se possa ter vários valores de y, devido a sua característica aleatória (variável dependente de x). 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico O modelo teórico define a verdadeira reta de regressão, cuja equação pode ser escrita como: O valor de y é dado por: onde: é a parte funcional de y (a parte do valor de y explicada pelo valor de x); U é a parte aleatória de y, a qual é introduzida no valor de y por fatores imponderáveis. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão linear simples – Modelo teórico Nessas condições, dado um valor para x, a previsão ou expectativa para o correspondente valor de y é: Entretanto, dificilmente se conhece a população dos valores de y para cada valor da variável controlada x. O que se conhece, geralmente, são alguns valores dos pares (x,y), ou seja, apenas uma amostra dessas variáveis. Portanto, com base nos dados amostrais, deve-se pensar como estimar os valores de α e β, o que pode ser feito de forma eficiente por meio do método dos mínimos quadrados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Um dos métodos mais utilizados para ajustar uma reta a um conjunto de dados é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), o qual consiste em determinar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios (os chamados erros ou resíduos) entre os verdadeiros valores de y e os valores estimados a partir da reta de regressão que se pretende ajustar, ŷ. ^ ŷ = a + bx 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Adota-se o quadrado das diferenças, pois como os pontos se situam acima e abaixo da reta estimada, as diferenças podem ser positivas ou negativas, e na soma podem anular-se, não refletindo o ajustamento. Sendo números positivos, esses quadrados refletem a qualidade do ajuste através de sua soma. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados O modelo de regressão linear é a reta de regressão ŷi = a + bxi + εi onde ŷ é o estimador de y; a e b os estimadores de α e β. A reta estimada é obtida de tal modo que a soma dos quadrados dos desvios ou resíduos (εi = yi – ŷ) seja mínima, ou seja, 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Como tal, para estimar os parâmetros do modelo, é necessário que as primeiras derivadas em relação a a e a b sejam nulas, e as segundas sejam maiores ou iguais a zero, assim: As estimativas dos mínimos quadrados para os parâmetros α e β são: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação Calculada a estimativa de mínimos quadrados para uma amostra dada, deve-se verificar a qualidade do ajuste dessa reta aos dados históricos. Uma forma de medir a qualidade do ajuste é verificar qual a porcentagem da variação dos valores de y em relação à sua média pode ser explicada pela regressão de y sobre x, o que dará origem ao coeficiente de explicação R2. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação Do gráfico abaixo, onde ŷ = a + bx é a regressão de y sobre x, observa-se que o valor de yi correspondente a um valor xi pode ser composto de duas partes: a parte explicada pela média e a parte não explicada pela média. y x xi yi ŷ ŷ = a + bx parte do valor de y explicada pela média parte do valor de y explicada pela regressão parte do valor de y não explicada pela média 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação Interessa avaliar que porcentagem da parte não explicada pela média, , pode ser explicada pela regressão de y sobre x, isto é, por No método dos mínimos quadrados, ao invés de somar essas diferenças, soma-se o quadrado delas para evitar que valores positivos e negativos se anulem. Designando: VT = variação total, soma dos quadrados das variações de y em relação à sua média. VE = variação explicada, a soma dos quadrados das variações em relação à média. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de explicação O coeficiente de explicação R2 pode ser definido agora como sendo a porcentagem da variação total representada pela variação explicada. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Exemplo: No exemplo anterior, observou-se no diagrama de dispersão uma possível relação linear entre as variáveis. Confirme essa relação por meio do coeficiente de correlação; Encontre a reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Cálculos: i x y x2
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados i x y x2 y2 xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 500 99,1 98,8 98,5 98,2 98,0 97,8 97,6 97,5 97,3 97,0 96,8 96,7 10000 15625 22500 30625 40000 50625 62500 75625 90000 105625 122500 140625 160000 180625 202500 250000 9820,8 9761,4 9702,2 9643,2 9604,0 9564,8 9525,8 9506,2 9467,3 9409,0 9370,2 9350,9 9910,0 12350,0 14775,0 17237,5 19700,0 22095,0 24500,0 26895,0 29340,0 31785,0 34160,0 36562,5 38920,0 41225,0 43560,0 48350,0 Σ 4625 1565,9 153259,8 451365,0 Cálculos: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Cálculos:
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos mínimos quadrados Cálculos: O valor da correlação e do coeficiente de explicação indicam uma forte correlação linear entre a temperatura do gás combustível e a taxa de calor. Pode-se, portanto, estimar, através do MMQ os parâmetros a e b e traçar a reta de regressão: Sendo assim, a reta de regressão é: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Para que se evite erros de previsão, a condição inicial para um estudo de regressão linear entre duas variáveis é que essas variáveis apresentem uma razoável correlação linear. Caso os valores de y para crescentes valores de x variem de modo aleatório, sem apresentar qualquer tendência, o valor que melhor explica y é, geralmente, a sua média; entretanto, em alguns casos, o diagrama de dispersão apresenta uma tendência não linear, isto é, uma curva bem definida, em torno da qual os pontos parecem agrupar-se. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Existe um grupo de funções que apresentam diagramas ajustáveis a muitas dessas tendências, e que possuem a qualidade de poder transformar-se em funções lineares com a aplicação de logaritmos ou por mudança de variável. A forma linear dessas funções transformadas pode então ser usada para estimar os parâmetros da curva ajustada àquela tendência, conforme será estudado a seguir. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função potência: y = a.xb, com x ≥ 0 e b ≥ 0 Para este caso, a primeira e a segunda derivadas da função fornecem a forma da curva. b > 1 Crescente Concavidade para cima Contém a origem x y 0 < b < 1 Crescente Concavidade para baixo Contém a origem x y 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função potência: y = a.xb, com x ≥ 0 e b ≥ 0 Se x = 0, então y = 0. Para x > 0, aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + b.ln x Fazendo Y = ln y, A = ln a e X = ln x, tem-se a forma linear: Y = A + b.X O diagrama de dispersão de (X = ln x, Y = ln y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função exponencial: y = abx, a > 0, b > 0, x ≥ 0 Como no caso anterior, as derivadas fornecem a forma das curvas. b > 1 Crescente Concavidade para cima x = 0 → y = a x y 0 < b < 1 Decrescente a a 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função exponencial: y = abx, a > 0, b > 0, x ≥ 0 Aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + x.ln b Fazendo Y = ln y, A = ln a e B = ln b, tem-se a forma linear: Y = A + B.x O diagrama de dispersão de (x, Y=lny) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função hiperbólica, tipo I:
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função hiperbólica, tipo I: A primeira e a segunda derivadas fornecem a forma das curvas. b > 0 Decrescente Concavidade para cima Assíntota em x = 0 e y = a x y a Crescente Concavidade para baixo Assíntota em y = a b < 0 - b/a 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função hiperbólica, tipo I:
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função hiperbólica, tipo I: Fazendo X = 1/x, obtém-se a forma linear: y = a + b.X O diagrama de dispersão de (X=1/x, y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função hiperbólica, tipo II: As derivadas da função indicam que a curva é decrescente e tem concavidade voltada para cima, com assíntotas em y = 0. Para x =0, y = 1/a. x y 1/a 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função hiperbólica, tipo II: Fazendo Y = 1/y, obtém-se: O diagrama de dispersão de (x, Y=1/y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0 As derivadas indicam a forma da curva: b < 0 Decrescente Concavidade para cima x y e-a/b Crescente Concavidade para baixo b > 0 e- a/b 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0 Fazendo X = ln x, obtém-se a forma linear: O diagrama de dispersão de (X=ln x, y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Exemplo: Um estudo sobre a oferta de mercado de um produto revelou as seguintes quantidades que os produtores estariam dispostos a oferecer a vários níveis de preços: x = preço 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50 13,00 13,50 y = oferta (em 1000 un.) 427 440 447 453 460 465 470 472 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Construa um diagrama de dispersão para os dados da tabela; Calcule o coeficiente de correlação linear das variáveis; O diagrama de dispersão sugere o uso de alguma forma linearizável para ajustar os pontos? Construa o gráfico de dispersão da forma linear correspondente à função escolhida em (c); Calcule o coeficiente de correlação dos pares em (d); Comente os resultados obtidos; Calcule a regressão de y sobre x para a função de maior correlação; Calcule o coeficiente de explicação para a função escolhida em (g); Calcule a oferta para um preço de 15,00. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução:
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Solução: Diagrama de dispersão 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Coeficiente de correlação.
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Coeficiente de correlação. n x y x2 y2 xy 1 2 3 4 5 6 7 8 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 424 440 447 453 460 465 470 472 100,00 110,25 121,00 132,25 144,00 156,25 160,00 182,25 182329 193600 198809 205209 211600 216225 220900 222284 4270,0 4620,0 4917,0 5209,5 5520,0 5812,5 6110,0 6372,0 Σ 94,0 3.634 1.115,00 42.831,0 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Coeficiente de correlação. A forma do diagrama de dispersão sugere a curva logarítmica por suas características. y = a + b.ln x 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Diagrama de dispersão: a forma linear é y = a + b.X, com X = ln x. X = ln x 2,30 2,35 2,40 2,44 2,48 2,53 2,56 2,60 y = oferta (em 1000 un. 427 440 447 453 460 465 470 472 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Coeficiente de correlação. n X=ln x y X2 y2 Xy 1 2 3 4 5 6 7 8 2,30 2,35 2,40 2,44 2,48 2,53 2,56 2,60 424 440 447 453 460 465 470 472 5,29 2,52 5,76 5,95 6,15 6,40 6,55 6,77 982,1 1.034,0 1.072,8 1.105,5 1.140,8 1.176,45 1.203,2 1.227,2 Σ 19,67 3.634 48,45 8.947,57 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Coeficiente de correlação. A correlação obtida com a curva logarítmica é maior; portanto, essa função será escolhida para o processo de regressão. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Cálculo da regressão linear: Cálculo do R2. A regressão de y sobre x explica 97,6% das variações de y a partir de sua média; os outros 2,4% são atribuídos a fatores imponderáveis. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Funções linearizáveis Projeção da oferta para um preço de 15,00: A oferta esperada quando o preço for 15,00 é de 490,68 mil unidades. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Regressão Linear Múltipla
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão Linear Múltipla Relação entre as variáveis A finalidade das variáveis independentes adicionais é melhorar a capacidade de predição em confronto com a regressão linear simples. Isto é, reduzir o coeficiente do intercepto, o qual, em regressão, significa a parte da variável dependente explicada por outras variáveis, que não a considerada no modelo. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Regressão Linear Múltipla
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Regressão Linear Múltipla Relação entre as variáveis Mesmo quando interessa o efeito de apenas uma das variáveis, é aconselhável incluir as outras capazes de afetar Y (análise de regressão múltipla), por 2 razões: Para reduzir os resíduos estocásticos. Reduzindo-se a variância residual (erro padrão da estimativa); Para eliminar a tendenciosidade que poderia resultar se simplesmente ignorássemos uma variável que afeta Y substancialmente. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Modelo
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Modelo A regressão múltipla apresenta um funcionamento parecido com o da regressão simples, porém leva em consideração diversas variáveis explicativas influenciando ao mesmo tempo. Suponha que temos n observações (n>p) da variável resposta e das p variáveis explicativas. Assim, yi é o valor da variável resposta na i-ésima observação, enquanto que xij é o valor da variável explicativa xj na i-ésima observação, j = 1, 2 …, p. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear ... Estimativa dos Parâmetros do Modelo
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Estimativa dos Parâmetros do Modelo Os dados da MRLM podem ser apresentados na forma da tabela abaixo: yi x1 x2 ... xp y1 x11 x12 x1p y2 x21 x22 x2p . yn xn1 xn2 xnp Em que cada relação satisfaz: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Método dos Mínimos Quadrados
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Método dos Mínimos Quadrados O objetivo é minimizar o somatório do quadrado dos desvios de cada observação: Derivando o L em função dos β´s : 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Método dos Mínimos Quadrados 4/18/2017
18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Representação Matricial do Modelo
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Representação Matricial do Modelo Os estimadores dos parâmetros do modelo podem ser encontrados a partir da notação matricial dos dados. Assim, considerando a entrada dos dados como mostrado na tabela, o MRLM pode ser escrito como: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Representação Matricial do Modelo 4/18/2017

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Representação Matricial do Modelo Usando a técnica de derivação em termos matriciais: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Representação Matricial do Modelo Os estimadores para os parâmetros βj são dados pelo vetor Em geral a matriz (X´X) tem determinante diferente de zero (não singular) e, portanto, é invertível. O modelo de regressão linear ajustado e o vetor de resíduos são, respectivamente: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Modelo de Regressão com duas Variáveis Explicativas No sistema de equações anterior, fazendo-se 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Modelo de Regressão com duas Variáveis Explicativas Resolvendo-se o sistema: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

4/18/2017 1.7 Regressão Linear Modelo de Regressão com duas Variáveis Explicativas Onde: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Exemplo: Considere a seguinte base de dados: i
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Exemplo: Considere a seguinte base de dados: i Consumo ($) y Renda ($) x1 Taxa de juros (%) x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 122 114 86 134 146 107 68 117 71 98 139 126 90 144 163 136 61 62 41 120 11,5 12,0 10,5 9,0 10,0 8,0 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Exemplo: Aplicando-se a fórmula anterior tem-se:
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Exemplo: Aplicando-se a fórmula anterior tem-se: 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Exemplo: Logo,
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Exemplo: Logo, Interpretação: Tirando a parte do Consumo que não é influenciada pela Taxa de Juros, o incremento de $1,00 na Renda causa um acréscimo esperado de $0,6136 no Consumo; além disso, o incremento de 1 ponto percentual (0,01) na Taxa de juros causa um decréscimo esperado de $10,3441 no Consumo. 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Exemplo no modelo não matricial: i y x1 x2 y.x1
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Exemplo no modelo não matricial: i y x1 x2 y.x1 y.x2 x1² x2² x1.x2 y² 1 122 139 0,115 16958 14,03 19321 0,013225 15,985 14884 2 114 126 0,12 14364 13,68 15876 0,0144 15,12 12996 3 86 90 0,105 7740 9,03 8100 0,011025 9,45 7396 4 134 144 0,09 19296 12,06 20736 0,0081 12,96 17956 5 146 163 0,1 23798 14,6 26569 0,01 16,3 21316 6 107 136 14552 12,84 18496 16,32 11449 7 68 61 4148 7,14 3721 6,405 4624 8 117 62 0,08 7254 9,36 3844 0,0064 4,96 13689 9 71 41 2911 7,1 1681 4,1 5041 10 98 120 11760 11,27 14400 13,8 9604 ∑ 1063 1082 1,05 122781 111,11 132744 0,1118 115,4 118955 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Exemplo: y = 148,52 + 0,6136.x1 – 1034,41.x2 Sy1
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Exemplo: Sy1 Sy2 S11 S22 S12 b1 b2 a 7764,4 -0,505 15672 0,00155 1,79 0, -1034,41 148,52202 y = 148,52 + 0,6136.x1 – 1034,41.x2 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

1.7 Regressão Linear Coeficiente de Explicação:
4/18/2017 1.7 Regressão Linear Coeficiente de Explicação: Similarmente ao que foi feito para a RLS, o coeficiente de explicação R² é definido como sendo: (variação explicada pela regressão/variação total) 18/04/ :13 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

FIM I - Estatística Descritiva 4/18/2017 18/04/2017 19:13

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback