PSO – Aplicação em Problemas Multiobjective, Constrained e Minimax Carlos Carlim.

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1 PSO – Aplicação em Problemas Multiobjective, Constrained e Minimax Carlos Carlim

2 Introdução Aplicação de PSO e suas variações em três diferentes tipos de problemas de otimização: a)Multiobjectivo b)Constrained c)Minimax

3 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

4 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

5 Aplicação em Otimização Multiobjectivo Otimização Multiobjectivo (MO) – Busca resolver problemas com diferentes objetivos – Os objetivos precisam ser tratados simultaneamente. – Pareto ótimo análogo ao ótimo global para funções com um único objetivo Conjunto de soluções ótimas

6 Pareto ótimo Fonte: http://www-cdr.stanford.edu/ProcessLink/papers/pareto.html Os círculos representam objetivos, os quais são satisfeitos quando a área do círculo é maximizada. As restrições são que os círculos não podem se sobrepor e que limitados pelos lados do triângulo. Se impor como função objetivo global – a soma das áreas. Apenas “c” é um ótimo global. Ex.:

7 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

8 Conceitos Fundamentais

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12 Definição 3 O conjunto dos valores das funções de vetores de todas as soluções ótimas de Pareto é denominado Pareto front. – PF* = {f(x): x ∈ P*}

13 Conceitos Fundamentais Pareto front Convexo – Se e somente se, para todo u, v ∈ PF*, e todo λ ∈ (0,1), existe um vetor w ∈ PF*, tal que: – λ ||u|| + (1-λ) ||v|| ≥ ||w|| Côncavo – Se somente se – λ ||u|| + (1-λ) ||v|| ≤ ||w|| Pode ser parcialmente convexo e/ou côncavo e também descontínuo.

14 Procurar figura de exemplo de convexo e concavo.

15 Conceitos Fundamentais O objetivo principal de MO é detectar todas as soluções ótimas de Pareto. – x* = (x 1 *, x 2 *,…,x*), de f(x). Contudo o conjunto de soluções ótimas de Pareto pode ser infinito. Neste caso o objetivo principal é reduzido para detectar o maior número possível de soluções ótimas de Pareto, com menor desvio de PF e menor espalhamento.

16 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

17 Importantes Questões sobre Aplicações MO PSO pode ser dividido em duas categorias: – PSO que considera cada função objetivo separadamente. – PSO que calcula todas as funções objetivos de cada partícula.

18 Importantes Questões sobre Aplicações PSO considerando cada função objetivo separadamente. – Nesta abordagem cada partícula é calculada apenas com uma função objetivo de cada vez, e as melhores posições são determinadas seguindo o PSO padrão. – O desafio nesta abordagem é manipular adequadamente a função objetivo guiando a partícula em direção ao ótimo de Pareto.

19 Importantes Questões sobre Aplicações PSO considerando todas as funções objetivos de cada partícula. – Baseado no conceito de ótimo de Pareto – Produz leaders – os não dominados na melhor posição. – Os leaders guiam a partícula. – O desafio nesta abordagem é determinar os leaders, já que estes tem que ser selecionados dentre diversas soluções não dominadas na vizinhança da partícula.

20 Importantes Questões sobre Aplicações Em ambas as abordagens uma grande quantidade de soluções ótimas de Pareto podem ser produzidas em apenas uma rodada do algoritmo. Então, como armazenar estas soluções? – Armazenar apenas as soluções não dominadas nas melhores posições. Não é valido nos casos em que PF excede o tamanho do enxame. A seleção de uma dentre duas igualmente boas soluções não dominadas, dependeria de definir um critério de seleção.

21 Importantes Questões sobre Aplicações Não é valido nos casos em que PF excede o tamanho do enxame. – Utilizar um arquivo externo para armazenar as soluções não dominadas encontradas. – Um procedimento de atualização será realizada a cada iteração do algoritmo. Durante este procedimento, o arquivo é verificado e novas soluções são introduzidas, enquanto os dominados são removidos para que seu tamanho se mantenha fixo as restrições de armazenamento. A seleção de uma dentre duas igualmente boas soluções não dominadas, dependeria de definir um critério de seleção. – Este caso está relacionado as particularidades de cada problema e deve ser analisada caso a caso.

22 Importantes Questões sobre Aplicações Pseudo código do MO PSO Begin Initialize swarm, velocities and best positions. Set an empty set as the external archive. While (stopping criteria not satisfied) Do For each particle of the swarm Select a leader from the external archive (if applicable). Update particle velocity and position. Evaluate new particle position. Update best position and external archive. End For End While End

23 Importantes Questões sobre Aplicações Pseudo código do MO PSO Begin Initialize swarm, velocities and best positions. Set an empty set as the external archive. While (stopping criteria not satisfied) Do For each particle of the swarm Select a leader from the external archive (if applicable). Update particle velocity and position. Evaluate new particle position. Update best position and external archive. End For End While End O “pulo do gato”, está em realizar estas duas etapas de maneira “ótima”

24 Importantes Questões sobre Aplicações Select a leader from the external archive 1.Determinar medidas de qualidade para cada membro do arquivo. 1.nearest neighbor density estimator (Deb et al., 2002) 2.kernel density estimator(Deb & Goldberg, 1989) Ambos são capazes de estimar a quantidade e a distância dos vizinhos dado um ponto.

25 Importantes Questões sobre Aplicações Update best position and external archive. – Se a nova solução for não dominada por todos os membros incluir no arquivo. Se algum membro do arquivo for dominado pela nova solução – Retirar membro

26 Importantes Questões sobre Aplicações Update best position and external archive. – IMPORTANTE – Deve-se atentar ao tamanho dos arquivos – Os arquivos crescem rapidamente – Os testes de dominância são computacionalmente custosos – Considerar sempre o tamanho do arquivo para evitar longas esperas em cada iteração do algoritmo

27 Importantes Questões sobre Aplicações Update best position and external archive. – Depende de qual variação do algoritmo PSO está sendo utilizada. MO PSO – cada função objetivo é calculada separadamente MO PSO – abordagem de Pareto

28 Importantes Questões sobre Aplicações Update best position and external archive. MO PSO – cada função objetivo é calculada separadamente – Nesta situação a atualização é realizada da mesma forma que o PSO padrão.

29 Importantes Questões sobre Aplicações Update best position and external archive. MO PSO – abordagem de Pareto Se a nova posição domina a posição atual – Substituir melhor posição Se a nova solução for não dominada – Substituir melhor posição Este ultimo passo gera diversidade no enxame

30 Importantes Questões sobre Aplicações Considerações – Até o momento não existe evidencia experimental de qual variação e topologia do PSO é a melhor para resolver os problemas MO.

31 Estado da Arte Neste momento serão abordados o estados da arte das duas variações dos MOPSO PSO por cada função objetivo separada PSO pela abordagem de Pareto

32 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

33 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Combina todas as funções objetivo em uma, ou Considera separadamente cada uma das funções Atualização das partículas e da melhor posição é realizada pelo método do PSO padrão Arquivos externos são utilizados para armazenar soluções não dominadas Sua principal desvantagem é a dificuldade de definir um algoritmo para manipular adequadamente as funções objetivo para que estas convirjam para o Pareto front (Jin et al., 2001).

34 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

35 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Nesta categoria encontram-se: 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação da função objetivo 3.Abordagem Não-Pareto

36 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Agregação de Peso – Esta abordagem combina todas as funções objetivo agregando um peso a cada uma delas. – Então, o problema MO foi transformado em um problema com apenas uma função objetivo e pode-se realizar um PSO padrão. Peso não negativo

37 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Agregação de Peso – Caso o peso mantenha-se constante durante a execução denomina-se conventional weighted aggregation (CWA) Possui muitas deficiências devido sua simplicidade Ex.: O algoritmo tem que ser aplicado várias vezes, mudando apenas o valor do peso, para alcançar um número razoável de soluções não dominadas. Já que uma única solução é calculada por rodada. Não consegue detectar soluções em regiões côncavas de Pareto Front (Jin et al., 2001).

38 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Agregação de Peso – Ajuste dinâmico do Peso bang-bang weighted aggregation (BWA) – Ex: Para problemas bi-objetivo o peso se adapta segundo (Jin et al., 2001): – Onde a é a frequência de adaptação definida pelo usuário, e t o número de iterações. – sign – 1 para x >0 ; -1 para x < 0 e 0 para x = 0

39 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Agregação de Peso – Ajuste dinâmico do Peso dynamic weighted aggregation (DWA) – Ex: Para problemas bi-objetivo o peso se adapta segundo: – Onde a é a frequência de adaptação definida pelo usuário, e t o número de iterações.

40 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Agregação de Peso – Ajuste dinâmico do Peso » Em ambas as abordagens a variação do peso força o algoritmo mover-se na direção do Pareto front. » Claro que as mudanças são mais acentuadas em BWA, do que em DWA » Experimentos com GA revelaram superioridade do DWA em Pareto fronts convexo » No caso de Pareto fronts côncavo os resultados foram os mesmos.

41 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente

42 Definições dos problemas

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45 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Parâmetros

46 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Resultados - Parsopoulos and Vrahatis (2002a, 2002b) para CWA

47 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Resultados - Parsopoulos and Vrahatis (2002a, 2002b) para CWA Apenas dois pontos foram detectados Apenas a parte convexa foi detectada Como já mencionado, CWA não é capaz de detectar regiões côncavas.

48 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Resultados - Parsopoulos and Vrahatis (2002a, 2002b) para BWA e DWA Ambas abordagens foram capaz de detectar o Pareto front.

49 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente

50 Baumgartner et al. (2004) Propôs uma abordagem similar com a apresentada anteriormente. Cada swarm é dividido em subswarms, cada um utilizando ajuste específico de peso. A melhor partícula de cada subswarm é indicada como líder do conjunto.

51 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Baumgartner et al. (2004) Uma preliminar decisão de Pareto é definida para investigar soluções candidatas ótimas de Pareto. Para cada partícula, x, tem-se: – t = número de iterações – Se a relação é verdadeira x, pode ser um ótimo de Pareto – Então é calculado o gradiente das funções objetivo fi, i = 1, 2,…, k, no ponto x + Δx.

52 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Baumgartner et al. (2004) – t = número de iterações – Se a relação é verdadeira x, pode ser um ótimo de Pareto – Então é calculado o gradiente das funções objetivo fi, i = 1, 2,…, k, no ponto x + Δx. – Se a função objetivo não melhora seu resultado – Então x é um ótimo de Pareto e é removido do swarm Apesar de apresentar bons resultados em test problems, o algoritmo não foi completamente calculado e comparado com outras abordagens de PSO

53 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Mahfouf et al. (2004) – Propôs uma abordagem dinâmica de peso modificada. – O decrescimento linear do peso foi modificado pela incorporação operador de mutação para aliviar a estagnação do enxame. – Transformando a atualização da velocidade em:

54 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Mahfouf et al. (2004) – Transformando a atualização da velocidade em: – Onde a é a aceleração Dependente do número atual da iteração. Entre 0.5 e 1.0

55 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Mahfouf et al. (2004) – Após computar a nova posição da partícula – Ambas posições, nova e antiga, são inseridas em uma lista. – É aplicada à lista o non-dominated sorting technique (Li, 2003) Seleciona as partículas não dominadas. – Estas partículas sofrem uma mutação e formam o próximo enxame na próxima iteração do algoritmo.

56 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Mahfouf et al. (2004) – Aplicado em um problema da indústria de aço – Apresentou resultados promissores – Seu desempenho competitivo pode ser atribuído Operador de mutação, que preserva a diversidade do enxame. A técnica de seleção das partículas, que permite uma abordagem direta dos pontos próximos ao Pareto front

57 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

58 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Ordenação – Classificam as funções objetivo de acordo com sua importância. – A minimização ocorre para cada função separadamente, a partir do mais importante. – Hu and Eberhart (2002) propuseram um esquema de ordenação. O algoritmo mantém a função objetivo mais simples fixa e minimiza as demais. Utilizou-se uma variação do PSO com um vizinho mais próximo dinâmico. As soluções não dominadas são armazenadas como melhores posições das partículas Não é necessário utilizar arquivo externo.

59 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem por Ordenação – Bons resultados para problemas com duas funções objetivo. – Hu et al. (2003a) – adicionou um arquivo externo » Armazenar as soluções não dominadas e reduzir o custo computacional.

60 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

61 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem Não-Pareto – Parsopoulos e Vrahatis (2002a, 2002b) – VEPSO – cap. 4 » Um enxame por função objetivo » As melhores posições são utilizadas para atualizar as velocidades de outra função objetivo que corresponda a outro enxame.

62 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem Não-Pareto – Parsopoulos e Vrahatis (2002a, 2002b)

63 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente Abordagem Não-Pareto – Chow and Tsui (2004) – Multi-species PSO – Conjunto de subswarms, cada calculado com uma função objetivo – A informação da melhor partícula é informada aos vizinhos do subswarm, para a atualização da velocidade. – A velocidade da i-ésima partícula e do k-ésimo swarm é atualizado por:

64 Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente

65 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

66 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Determina os leaders para guiar o enxame durante a busca. Durante a busca devem ser considerados: – Diversidade do enxame. – Espalhamento do Pareto front.

67 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Coello Coello et al., 2004 Uma das primeiras abordagens baseadas em Pareto As soluções não dominadas são armazenadas em um arquivo – repositório O espaço de busca é dividido em hipercubos. Para cada hipercubo é determinado um valor de capacidade, inversamente proporcional ao número de partículas que contém. O hipercubo e seu leader é selecionado utilizando o método roullette wheel selection.

68 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Coello Coello et al., 2004 A velocidade da i-ésima partícula é atualizada pesoMelhor posição Leader selecionado do arquivo A melhor posição é atualizada a cada iteração, caso ela seja dominada pela nova posição.

69 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Coello Coello et al., 2004 retention criterion – determina o limite do repositório – Permite que novas soluções sejam inseridas, mesmo que o repositório esteja lotado. – Soluções localizadas em áreas menos populosas do espaço objetivo, tem prioridade sobre as demais. – Mostrou-se competitivo quando comparado com o NSGA-II e PAES.

70 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Fieldsend et al., 2003 árvore dominada (dominated tree) – Estrutura em árvore – Trunca os limites dos arquivos – Mantendo sem restrições o processo de arquivamento – Craziness – insere uma mutação na velocidade, preservando a diversidade do enxame – Competitivo com o PAES

71 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Bartz-Beielstein et al. (2003) DOPS – método de arquivamento elitista F sel – mede a influência da partícula no Pareto front. A melhor posição é selecionada por uma roulette wheel selection. F del – deleta um membro do arquivo, quando o tamanho máximo é alcançado.

72 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Mostaghim and Teich (2003a, 2003b,2004) MOPSO com novos métodos de seleção e atualização da posição da partícula.

73 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Mostaghim and Teich (2003a) MOPSO combinado com método sigma Atribuí um valor numérico a cada partícula e membro do arquivo. Superou o algoritmo SPEA2 para funções bi- objetivo. Funções com 3 objetivos o SPEA2 obteve resultados melhores.

74 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Mostaghim and Teich (2003b) Combinou MOPSO com conceitos de ε-dominance Foco – metodologia de arquivamento Resultados promissores quando comparado com abordagens baseadas em clusterização.

75 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Mostaghim and Teich (2004) Converge para o Pareto front usando sub- enxames e arquivo externo ilimitado. Os resultados superaram o Hybrid-MOEA Bom desempenho para problemas com vária funções objetivo.

76 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Toscano Pulido e Coello Coello(2004) AMOPSO – another MOPSO O espaço de busca é divido em sub-enxames. Cada sub-enxame possuí um grupo de líderes, formado por um grande número de soluções não dominadas. O líder é selecionado aleatoriamente do grupo e servirá como guia do sub-enxame. Não utiliza arquivo externo.

77 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Reyes-Sierra e Coello Coello(2005) OMOPSO – Utiliza dois arquivos externos – Em um armazena a melhor posição da iteração atual. – Em outro as soluções não dominadas. – Metodologia eficiente de remoção de líderes, quando o limite é ultrapassado. – Desempenho superior comparado com MOPSO, NSGA-II e SPEA2.

78 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Raquel e Naval (2005) MOPSO-CD – crowding distance – Selecionar a melhor partícula global – Deletar soluções não dominadas do arquivo externo

79 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Raquel e Naval (2005) MOPSO-CD – Para cada solução não dominada é calculada CD – f1, f2,...,fk – funções objetivos – AR – arquivo externo – As soluções não dominadas no AR com maior CD, são definidas como líderes do enxame. – Resultados superiores quando comparado com MOPSO

80 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Alvarez-Benitez et al. (2005) Rounds, Random e Prob – Selecionar líderes do arquivo externo – Rounds – Determina como guia global a solução não dominada, que domina um conjunto de soluções do enxame. – Random – Seleciona probabilisticamente a solução não dominada que servirá como guia. – Prob - Favorece a escolha da solução que domina um pequeno número de partículas.

81 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Salazar Lechuga e Rowe (2005) MOPSO-fs – A cada partícula, p i é atribuído um valor de fitness: Distância definida pelo usuário Distância entre as soluções não dominadas p i e p j. Os líderes são selecionados de acordo com seu valor de fitness, através de roulette wheel selection

82 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Salazar Lechuga e Rowe (2005) MOPSO-fs – A cada partícula, p i é atribuído um valor de fitness: Competitivo quando comparado com, MOPSO, NSGA-II e PAES.

83 Variantes Baseadas no Domínio de Pareto Reyes-Sierra e Coello Coello (2006b) Estudaram a adaptação online dos parâmetros do MOPSO w – peso inercial c 1 e c 2 – coeficientes de aceleração P s – método de seleção probabilístico (dominance ou crowding). Valores elevados de w, P s e c 2 obtiveram melhores resultados. c 1 – afeta regularmente o desempenho do algoritmo

84 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

85 Aplicações em otimização Constrained Definido no capítulo 1 (CO) capítulo 5 – Aplicando funções de penalidades, isto é, penalidades são adicionadas conforme as restrições vão sendo violadas.

86 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A)

87 Problemas CO

88 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A) Função original penalidade Fator de penalidade Função multi-estágio Max{0,C i (x)} Potencia da penalidade

89 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A)

90 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A)

91 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A)

92 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A) Conclusões – “O peso inercial produz soluções com soma de restrições menores do que os coeficientes de restrição.” – Somente em dois casos esta conclusão pode ser observada.

93 Aplicações em otimização Constrained Parsopoulos e Vrahatis (2002c) PSO [co] – coeficiente de restrição PSO [in] – peso inercial Problemas TP CO-1 ao TP CO-6 (anexo A)

94 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

95 Aplicações em otimização Minimax Problemas minimax:

96 Aplicações em otimização Minimax Bandler & Charalambous (1974) Pode ser abordado como problema CO Pode ser reescrito implicitamente na forma minimax: Para C j ≤ 0 e a j muito grande. O ótimo do problema minimax, irá coincidir com o ótimo do problema CO.

97 Aplicações em otimização Minimax Algoritmos clássicos de otimização Todas as funções são combinadas em uma única função de penalidades. Pode ser resolvido por gradiente. Exponential penalty function ou aggregation function. Xu (2001) – propôs uma abordagem utilizando programação quadrática e gradiente. – SQP –Sequential Quadratic Programming

98 Aplicações em otimização Minimax Laskari et al. (2002) Comparou o desempenho entre SQP, PSO [co] e PSO [in] TP MX-1 ao TP MX-6

99 Problemas minimax

100

101 Aplicações em otimização Minimax Laskari et al. (2002) Comparou o desempenho entre SQP, PSO [co] e PSO [in] TP MX-1 ao TP MX-6

102 Aplicações em otimização Minimax Laskari et al. (2002) PSO detectou o mínimo global é praticamente todos os experimentos PSO [co] superou PSO [in] SQP – resultados completamente imprevisível. Vai do melhor desempenho até a falha total. Demonstra dependência do tipo de problema e das condições iniciais. As funções de penalidade, muitas vezes viola as restrições implícitas dos problemas minimax. Prejudicando seu desempenho. PSO é uma alternativa promissora para a resolução de problemas minimax.

103 Agenda 1.Aplicação em Otimização Multiobjectivo 1.Conceitos fundamentais 2.Importantes questões sobre aplicações 3.Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente 1.Abordagem agregação de Peso 2.Abordagem ordenação 3.Abordagem Não-Pareto 4.Variantes baseadas no domínio de Pareto 2.Aplicações em otimização Constrained 3.Aplicações em otimização Minimax 4.Conclusões 5.Referências

104 Conclusões Problemas multiobjetivo – Na abordagem com funções objetivo separadas, para as três abordagens, mostrou-se no mínimo competitivo em comparação com outras técnicas. – Na abordagem de pareto, os resultados não demonstraram superioridade, apenas que as técnicas tem bom potencial para a resolução dos problemas, mas ainda precisa mais estudos

105 Conclusões Problemas CO Os resultados foram semelhantes quando comparados com outras técnicas de PSO. Eficiência na resolução deste tipo de problema.

106 Conclusões Problemas minimax Os resultados foram superiores quando comparados com a técnica SQP. Boa alternativa na resolução destes problemas.

107 Referências Konstantinos E. parsopoulos & Michael N. Vrahatis – Particle Swarm Optimization and Intelligence