Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303 Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013

Blaise Pascal ( ) Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas. O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome. Versão de Pascal do triângulo

“O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, contém tantas ligações com tantos aspectos aparentemente não relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções Matemáticas.” Martin Gardner

Linha n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 … … … … n

Todas as linhas começam e acabam em 1. Efetivamente, 2. O triângulo é simétrico, uma vez que, em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais. 3.A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte: 4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com é 5. O número de elementos de uma linha n, com, é n+1.

E S CASA DA ANA ESCOLA C B AQuantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre apenas apenas para Este (E) ou para Sul (S)? Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A ! (clica em A) E para chegar à esquina B ?... (clica em B) E até à esquina C ?... (clica em C) E se fosse para chegar à esquina B' ?... B’ E, finalmente, até à Escola ?... (clica na “Escola”)

Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A! (S, E) (E, S) E S A Número de maneiras diferentes de: Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul! (clica aqui)

Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B (S, S, E) (E, S, S) (S, E, S) B E S Número de maneiras diferentes de: Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)! ou (clica aqui)

E S C E até à esquina C! (E, E, S, S) (E, S, E, S) (E, S, S, E) (S, E, E, S) (S, E, S, E) (S, S, E, E) Número de maneiras diferentes de: Dos 4 troços troços a percorrer, escolher 2desvios para Este Este (e os 2 restantes para Sul)! (clica aqui)

Sintetizando, sabemos que: Sintetizando, sabemos que: 2 1 C C 4 2 C 1 1 C 1 0 C 0 0 C 2 0 C 2 2 C 3 2 C A B C

E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos conjeturar: CASA DA ANA ESCOLA 0 0 C 1 0 C 1 1 C 2 0 C 2 1 C 2 2 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3 C 4 0 C 4 1 C 4 2 C 4 3 C 4 4 C 5 0 C 5 1 C 5 2 C 5 3 C 5 4 C 5 5 C 6 0 C 6 1 C 6 2 C 6 3 C 6 4 C 6 5 C 6 6 C 7 0 C 7 1 C 7 2 C 7 3 C 7 4 C 7 5 C 7 6 C 7 7 C 8 0 C 8 1 C 8 2 C 8 3 C 8 4 C 8 5 C 8 6 C 8 7 C 8 8 C A Ana tem caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).

N S W E A RG O Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos W  E e S  N. R – Casa do Rui A – Casa da Ana G – Ginásio O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é: E se a situação fosse esta: A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade. ou

Números Naturais =2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8= =21 Números Triangulares Sucessão de Fibonacci Triângulo de Pascal

70 Somas “rastejantes”! Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado

Números ímpares & Números pares Todos diferentes, todos iguais Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo que os caminhos tomados sejam consideravelmente diferentes. 1º caminho diferente

Considera um triângulo equilátero qualquer e une os pontos médios dos lados. Obténs quatro triângulos mais pequenos. Em cada um dos triângulos exteriores repete o procedimento (isto é, só não fazes mais nada no triângulo que está no meio). Em cada grupo de quatro triângulos que obtiveres, repete o procedimento nos três triângulos exteriores. Todos diferentes, todos iguais 2º caminho diferente

Que padrão observas? Todos diferentes, todos iguais

Retoma o processo a partir de X 2. Vai assinalando sempre os pontos médios obtidos X 3, X 4, etc. Repete o procedimento uma boa vintena de vezes. Se tiveres um computador ou uma calculadora gráfica podes programá-los para eles te traçarem os pontos médios sucessivos. Todos diferentes, todos iguais Considera três quaisquer pontos do plano A, B e C. Marca numa folha de papel esses três pontos assim como um quarto ponto X 1. Pega num dado normal e lança o dado. Se obtiveres 1 ou 4, une X 1 com A e toma X 2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 2 ou 5, une X 1 com B e toma X 2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 3 ou 6, une X 1 com C e toma X 2 como o ponto médio desse segmento. 3º caminho diferente O jogo do Caos A B C X1X1 X2X2 A B C A B C

Que padrão observas?

Todos iguais Triângulo de Sierpinski O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada). Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos. Assim se vê a beleza e poder da Matemática. Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)

1. a b c d e g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Qual das seguinte igualdades é verdadeira? (A) (B) (C) (D) 2.Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa linha? (A) (B) (C) (D) 3.A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior? (A) (B) (C) (D) Aplicações ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS

Aplicações 4.No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma Quantos elementos dessa linha são menores do que ? (A) 8(B) 6(C) 5(D) 3 5.O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é A soma dos quatro primeiros números dessa linha é Qual é o terceiro número da linha seguinte? (A) 1275(B) 1581(C) 2193(D) Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão? (A) 2004(B) 2005(C) 2006(D) 2007

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso. óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó (O vento lá fora.) Álvaro de Campos

Caso notável da multiplicação de polinómios Calculemos:..…. ?

Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de são os números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal. A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n. Podemos escrever..…. e observar que: concluindo que (pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução Matemática) :

Repara: O termo de ordem p+1, designado por com do desenvolvimento de, é dado pela expressão

Aplicações ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS 1.Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação (A) (B) (C) (D) 2.Quantas são as soluções da equação ? (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4 3.Um dos termos do desenvolvimento de é Indique o valor de n? (A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 21

Maria José Guimarães Vaz da Costa Bibliografia:  Infinito 12 Matemática A -12º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões  Novo Espaço Matemática A -12º ano Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues  Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) Página pessoal do autor:  The joy of mathematics Theoni Pappas Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências