Lei de Gauss José Roberto

Pouca ou nenhuma simetria Elevado grau de simetria 1. Uma nova formulação para a Lei de Coulomb Na Física faz sentido, sempre que possível, tentarmos expressar as suas leis em formas que nos permitam tirar o máximo de proveito das simetrias existentes. A Lei de Coulomb não está expressa numa forma que possa simplificar o trabalho em situações que envolvem simetrias. A Lei de Gauss é uma nova formulação da Lei de Coulomb. Ela pode facilmente tirar vantagens das simetrias existentes. Lei de Coulomb Lei de Gauss Pouca ou nenhuma simetria Elevado grau de simetria

2. Do que trata a Lei de Gauss A figura principal da Lei de Gauss é uma superfície fechada imaginária, chamada de superfície gaussiana. A Lei de Gauss relaciona os campos na superfície gaussiana e as cargas no interior dessa superfície. A partir da lei de Gauss podemos calcular com precisão a quantidade de carga líquida que está no interior da superfície.

3. Fluxo Consideremos que se dirija uma corrente de ar de velocidade constante para uma pequena malha quadrada de área A, e seja Φ a vazão volumétrica. 1º Caso: 2º Caso:

3. Fluxo A equação para o segundo caso pode ser reescrita por: Obs.: O Φ na equação acima pode ser interpretado como o fluxo do campo de velocidade através da área A. Neste caso, o fluxo significa a quantidade de um campo que uma área intercepta

Consideremos um campo atravessando um volume, como mostra a figura. 4. Fluxo do campo elétrico Consideremos um campo atravessando um volume, como mostra a figura.

4. Fluxo do campo elétrico Uma definição provisória para o fluxo do campo através da superfície, de área A, é: (1) A definição exata é obtida quando aproxima-se de . Neste caso, a expressão acima torna-se: (2) Obs.: 1) O círculo na integral indica que a integração é feita sobre uma superfície fechada. 2) A unidade de fluxo, no S.I., é: Nm2/C.

4. Fluxo do campo elétrico Exemplo: A figura abaixo mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio R imerso num campo elétrico uniforme , com o eixo do cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície fechada?

ε0 = 8,85 x 10-12 C2/Nm2 – constante de permissividade. 5. Lei de Gauss A lei de Gauss diz que: (3) Ф – fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada, onde: q – carga líquida envolvida por esta superfície, ε0 = 8,85 x 10-12 C2/Nm2 – constante de permissividade. Podemos ainda escrever a Lei de Gauss como (4)

5. Lei de Gauss Carga líquida é a soma de todas as cargas dentro da superfície (positivas e negativas). Quando q > 0 o fluxo está saindo; quando q < 0 o fluxo está entrando. O campo elétrico na equação (4) é o campo elétrico resultante de todas as cargas (internas e externas à superfície gaussiana).

5. Lei de Gauss Exemplo: A figura abaixo mostra cinco pedaços de plástico carregados e uma moeda eletricamente neutra. A seção transversal da superfície gaussiana S está indicada. Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície S? Suponha q1 = 3,1nC, q2 = - 5,9nC, q3 = - 3,1nC, q4 = 1nC e q5 = - 2nC.

6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb A figura abaixo mostra uma carga puntiforme positiva q, em torno da qual desenhamos uma superfície gaussiana esférica de raio r. + Superfície gaussiana Obs.: O ângulo entre e o campo elétrico é nulo.

A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb 6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb De acordo com a figura, podemos escrever a Lei de Gauss como: (5) Embora o campo varie com a distância medida a partir de q, ele tem o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (5) obtemos o seguinte resultado: (6) A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb

7. Um condutor carregado isolado A Lei de Gauss nos permite mostrar o seguinte teorema: Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do corpo condutor. Prova: Condutor com uma carga q suspenso por um fio isolante Carga sobre a superfície

7. Um condutor carregado isolado Campo elétrico externo a um condutor Consideremos uma seção da superfície do condutor que seja suficientemente pequena para que possamos desprezar qualquer curvatura e considerá-la plana. Além disso, consideremos uma superfície gaussiana conforme mostra a figura abaixo.

7. Um condutor carregado isolado Neste caso, o fluxo através da superfície gaussiana é: (7) onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e externa, respectivamente. O campo elétrico é nulo na superfície S2, paralelo à superfície S1 e perpendicular a S3. Além disso, como a base S3 é pequena, podemos considerar que o campo é constante em todos os seus pontos. Assim, (8)

7. Um condutor carregado isolado Então, substituindo este resultado na Lei de Gauss, obtemos: (9) onde σ é a densidade superficial de cargas. Exemplo: O campo elétrico normalmente presente na atmosfera terrestre, imediatamente acima da superfície da Terra, tem módulo aproximadamente igual a 150 N/C e aponta diretamente para baixo. Qual é a carga total líquida na superfície da Terra? Considere a Terra como um condutor com densidade superficial de carga uniforme.

8. Lei de Gauss com simetria cilíndrica + + + + + + + + + + + + + + + Consideremos uma barra fina de plástico, infinitamente longa, carregada uniformemente, com densidade de carga λ. Devido a simetria do problema, vamos escolher uma superfície gaussiana conforme mostra a figura. Aplicando a lei de Gauss, temos: (10) onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e externa, respectivamente.

Mesmo resultado que seria obtido a partir da Lei de Coulomb 8. Lei de Gauss: simetria cilíndrica Nas superfícies S2 e S3, o campo elétrico é perpendicular ao elemento de área . Por outro lado, na superfície S1 o campo é perpendicular. Então, da equação (10), temos: (11) Embora o campo varie com a distância medida a partir da barra, ele tem o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (11) encontramos o seguinte resultado: (12) Mesmo resultado que seria obtido a partir da Lei de Coulomb

9. Lei de Gauss: simetria plana Chapa não-condutora Consideremos uma chapa fina, isolante e infinita, com densidade superficial de carga constante σ. Além disso, consideremos uma superfície gaussiana conforme mostra a figura. De acordo com a Lei de Gauss, temos: onde q é a carga elétrica contida no interior da superfície gaussiana.

9. Lei de Gauss: simetria plana Assim, (13) onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases do cilindro. O campo elétrico é paralelo à superfície S1 e perpendicular às superfícies S2 e S3. Então, da equação (13), temos: (14) O campo possui módulo constante sobre a superfície A, pois a distribuição é uniforme. Portanto, da equação (14), obtemos: (15)

9. Lei de Gauss: simetria plana Placa condutora Consideremos duas placas finas condutoras e infinitas carregadas positivamente e negativamente, com densidade superficial σ, conforme mostram as figuras abaixo. Como sabemos, o campo elétrico gerado por cada placa possui módulo dado por: (16)

9. Lei de Gauss: simetria plana Colocando as duas placas como na figura abaixo, as cargas se reorganizarão e a densidade superficial nas faces internas das placas será σ = 2σ1. Com isso, o campo elétrico entre as placas terá módulo (17)

9. Lei de Gauss: simetria plana Exemplo: A figura abaixo mostra partes de duas chapas grandes, não-condutoras, cada uma delas com carga uniformemente distribuída sobre um lado. Os módulos das densidades superficiais de carga são σ(+) = 6,8 μC/m2 para a chapa carregada positivamente e σ(-) = 4,3 μC/m2 para a chapa carregada negativamente. Determine o campo elétrico (a) à esquerda das chapas, (b) entre as chapas e (c) à direita das chapas.

10. Lei de Gauss: simetria esférica Uma casca uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse situada no centro. Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme de cargas, a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula. Consideremos uma casca esférica carregada de carga total q e raio R e duas superfícies concêntricas, S1 e S2. Aplicando a lei de Gauss para S2, onde r ≥ R, temos: (18) Aplicando a lei de Gauss para S1, onde r < R, temos: (19)

10. Lei de Gauss: simetria esférica Na figura ao lado, parte (a), temos que todas as cargas estão no interior de uma superfície gaussiana, r > R, então: (20) Na parte (b) da figura, temos que nem todas as cargas estão no interior da superfície gaussiana, r < R, então: (21)

10. Lei de Gauss: simetria esférica Substituindo q’ na eq. (21), temos: (22)