INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Prof. Elionaro Rochelly

O QUE É UM CONJUNTO? Não existe uma definição formalizada do que vem a ser um conjunto. O que temos é uma ideia ou uma noção do que vem a ser um conjunto. De uma maneira geral, temos que um conjunto é tudo aquilo que nos dá uma ideia de coleção ou de agrupamento.

POR EXEMPLO: Conjunto de políticos? É uma quadrilha. Melhores jogadores do mundo Conjuntos de times de futebol.

De maneira geral indicamos um conjunto por uma letra maiúscula. Todo conjunto é formado por um ou vários objetos que são denominados elementos. De maneira geral indicamos um conjunto por uma letra maiúscula. PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura relacionar um elemento com um conjunto. Para representar um elemento pertencente a um conjunto usamos o símbolo  e para indicar um elemento que não pertence a um conjunto usamos o símbolo ∉. CONCEITOS IMPORTANTES

Exemplo: Seja o conjunto M = {2;4;6;8;10}, complete com  ou ∉ as lacunas abaixo. 2__ M 5__M 10__M Brasil__M  ∉  ∉

SUBCONJUNTO Esse conceito visa estabelecer uma relação entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A também é um elemento do conjunto B. Indica-se por: A  B (lê-se A está contido em B)

Exemplos: PARELHAS

Relação de Inclusão Quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os símbolos de ⊂ está contido e  ⊄  não está contido . Por Exemplo: {1,2,3}  ⊂ {1,2,3,4,5,6} {1,2,0}  ⊄ {1,2,3,4,5,7}

IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.

Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um tipo particular de conjunto, já que ele não possui elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma situação impossível de ocorrer. Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou  Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que possui apenas um elemento. Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso estudo.

CONJUNTO DAS PARTES O conjunto das partes de um conjunto é formado por todos os subconjuntos de A. Ou seja: ℙ (A) = {x / {x} A} Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo: A = {0, 1} é: ℙ (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}} Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes será ℙ (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}

PROPRIEDADES IMPORTANTES a) Ø  ℙ (A) b) A  ℙ (A) c) Se A possui n elementos, ℙ (A) possui elementos

Operações com conjuntos: União: Os elementos pertences aos dois conjuntos. A  B = {x/xA ou x  B} (União) Intersecção: Os elementos que pertencem simultaneamente a dois ou mais conjuntos. A  B = {x/xA e x  B} Diferença: Os elementos pertences aos conjunto A, mas não pertence ao conjunto B. A - B = {x/xA e xB}

Diagrama de Venn B - A A - B B A A  B A  B

Exemplo: Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, encontre: A) A B B) AUB c) A-B A B 0 2 1 3 4 5 6

Problemas com operações de conjuntos Numa sala de aula: 85 alunos jogam basquete; 75 jogam futebol; 17 praticam duas atividades: basquete e futebol. Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo menos por um dos dois esportes?

Diagramas de Venn com três conjuntos A  B  C A B C

Exemplo: . Observe o diagrama e responda: Vamos responder o que se pede abaixo: a) A = b) B = c) C = d) (A∩B)U(B∩C) = e) (A∩C) U B=

Questões 1)Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: a) ( ) A ⊂ B b) ( ) {1} ⊂ A c) ( ) A ⊂ C d) ( ) B ⊄ C e) ( ) B ⊂ C f) ( ) {0;2}  B

3(Unifap)O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.  

2) Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão?

4 (FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.  (Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5 772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México.  No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui- se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como (A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. (C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.  (D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. (E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

5) Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias aos 3 programas. Com base nesses dados, determine: a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas? b) quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C? c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos espectadores assistem somente a esse programa?

6. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Nessas condições, o fabricante, para a montagem dos três catálogos, necessitará de quantos originais de impressão?

Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números naturais Medida unitária

Propriedades dos Nº Naturais 1) A soma de dois números naturais é um número natural. 2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural. 3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o antecessor de n+1

Conjunto dos números inteiros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Números opostos Inteiros não nulos: * = {..., −2, −1, 1, 2, ...} Inteiros não negativos: + = {0, 1, 2, 3, ...} Inteiros não positivos: — = {..., −3, −2, −1, 0}

Propriedades dos Nº Inteiros 1) Todo número natural é um número inteiro. 2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um outro número inteiro. 3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um número inteiro.

Conjunto dos números racionais . 8 25 = –2 – 2 1 . = 0,333… 1 3 . 10 . = 0

Propriedades dos Nº Racionais 1) Todo número natural e todo número inteiro é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em um outro número racional. 3) O produto entre dois números racionais é um número racional. 4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.

Conjunto dos números irracionais Exemplo A medida da diagonal (d) de um quadrado de lado 1 = 1,414213562... é um número cuja representação decimal tem infinitas casas não periódicas depois da vírgula. Qual o outro irracional que você conhece?

Propriedades dos Nº Irracionais 1) Um número irracional não é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional. 3) A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional. 4) O quociente entre um número irracional e número racional , diferente de zero, é um número irracional.

Conjunto dos números reais Reunião do conjunto dos números racionais com o dos irracionais = conjunto dos números reais (Conjunto dos números irracionais)

Questões. 1) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

2) Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um número natural (a adição é fechada no conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural). Assinale a afirmação verdadeira: a) Os números naturais são fechados em relação à divisão. b) Os números inteiros são fechados em relação à adição. c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão. d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.