Transformações Na Física Clássica, utilizamos as Transformações de Galileu para passar de um referencial para outro. Considerando apenas a velocidade em x, temos: x' = x – v.t y’ = y z’ = z t’ = t Só que na Relatividade, sabemos que as coisas funcionam um pouco diferente: o tempo dilata e o espaço contrai

Transformações As transformações relativísticas de coordenadas são conhecidas como Transformações de Lorentz, já que Lorentz realizou a dedução mesmo antes do advento da relatividade. Faremos uma dedução simplificada da mesma, usando as Transformações de Galileu com velocidade apenas em x Analisaremos uma coordenada de cada vez, mas levaremos em conta o que já vimos de Relatividade. Transformações de Lorentz

No eixo x, a Transformação de Galileu leva em conta o Intervalo de Espaço percorrido em um dado tempo ΔS = x – v.t Mas o intervalo de espaço contrai na direção do movimento, conforme a regra ΔS’= γ.ΔS Logo: x’ = γ.(x – v.t)

Transformações de Lorentz Mas como fazemos pra passar de x’ para x? Lembremos que existe uma simetria entre as conversões, logo a velocidade entre os referenciais é a mesma, mudando apenas pelo sentido, que é inverso: v’= – v Portanto, como x’ = γ.(x – v.t), temos : x = γ.(x’ + v.t’)

Transformações de Lorentz Nos eixos y e z as coisas são bem mais simples. Devemos lembrar que ambos estão perpendiculares ao movimento, ou seja, não sofrem efeito relativístico mas evidenciam a simetria entre os referenciais! logo: y = y’ z = z’

Transformações de Lorentz Agora só falta a coordenada temporal! Porém, vimos que na Relatividade o tempo não é mais absoluto, logo: t ≠ t’ Entretanto, é importante lembrar que não se trata de um intervalo de tempo, e sim o valor da coordenada temporal. Com isso, diferente do eixo x, NÃO podemos aplicar Δt’= Δt/γ

Transformações de Lorentz Contudo, como vimos na coordenada x, tanto t quanto t’ aparecem nas equações x’=γ.(x – vt) e x =γ.(x’ + vt’) Logo, basta isolar o t’ e trabalhar com as duas equações para encontrar a transformação relativística. Na segunda equação podemos isolar v.t’ x =γ(x’ + vt’) x/γ = x’ + vt‘ x/γ – x’= vt‘ v.t’= x/γ – x’

Transformações de Lorentz Podemos substituir x’ em v.t’= x/γ – x’ por x’=γ.(x – vt) v.t’ = x/γ – γ(x – v.t) v.t’ = x/γ – γ.x + γ.v.t Isolar t’ t’ = x/v.γ – γ.x/v + γ.t e colocar γ em evidencia t’ = γ(x/v.γ 2 – x/v + t)

Transformações de Lorentz Como 1/γ 2 = 1 – v 2 /c 2 em t’ = γ(x/v.γ 2 – x/v + t), temos: t' = γ [x/v(1 – v 2 /c 2 ) – x/v + t] t' = γ (x/v – v.x/c 2 – x/v + t) t' = γ (– v.x/c 2 + t) Portanto: t' = γ (t – v.x/c 2 )

Transformações de Lorentz Mas como fazemos pra passar de t’ para t? Faremos algo similar ao que fizemos com o eixo x! Temos que lembrar que a velocidade tem sentido inverso, logo: v’= – v Portanto, se t' = γ (t – v.x/c 2 ): t = γ (t’ + v.x’/c 2 )

Transformações de Lorentz Com isso, pudemos obter as Transformações de Lorentz: x’ = γ.(x – v.t)x = γ.(x’ + v.t’) y’ = yy = y’ z’ = zz = z’ t' = γ (t – v.x/c 2 )t = γ (t’ + v.x’/c 2 ) Aqui é possível perceber como a simetria se evidencia mesmo nas equações matemáticas que regem a cinemática relativística. Que divergem apenas por um sinal, consequência da simetria entre a velocidade dos referenciais.