Matemática Discreta I BCC101 Teoria de Conjuntos

2  A Teoria de Conjuntos é adequada para descrever e explicar todas as estruturas matemáticas.  A Teoria de Conjuntos constitui também a base matemática para a definição de Tipos de Dados em Computação

3 O que é um conjunto?  Um conjunto é uma coleção de objetos  Cada objeto da coleção é dito um elemento do conjunto.  Exemplos: = {0,1,2,3,…} números naturais = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} números inteiros = {n/m | n,m ∈, m≠0 } números racionais números reais

4 Mais exemplos de conjuntos = {T,F} conjunto Booleano C = {a,e,I,o,u} conjunto das vogais D = {(0,0),(1,5),(3,2)} conjunto de pares de números E = {{1,2},{10},{3,3,3}} conjunto de conjuntos F = {3,{2,5},{5,8,2}} - elementos não precisam ser do mesmo tipo - 3 ∈ F - {2,5} ∈ F - 2 ∉ F

5 Cardinalidade Se A é um conjunto finito, a cardinalidade de A é o número de elementos de A  Notação: |A|  Exemplos: -A = {a,b,c,d} |A| = 4 -B = {{1,2}, {1,2,3}} |B| = 2

6 Conjunto Vazio { } conjunto vazio: não possui elementos – 3  { } – x  { } — não importa o que seja x –  = { } — a letra Grega phi denota o conjunto vazio Observação:  ≠ {  } -|  | = 0 -|{  }| = 1

7 Exercício F = { ,{  },{{  }}} 1.Qual é a cardinalidade de F? 2.  ∈ F ? 3.  ∈ {{  }} ?

8 Notação para conjuntos  { x | x  {2, 3, 5, 7, 11}, x  4} – {5, 7, 11}  { x + x | x  {2, 3, 5, 7, 11}, x  3, x  11} – {6, 10, 14}  {f(x) | x  A, p(x)} – Denota o conjunto cujos elementos têm a forma f(x), onde x  A e é tal que p(x) é true  Para evitar contradições: – Deve ser especificado o universo de discurso – Exemplos inválidos: {X | X é um conjunto} {X | X  X} Nestes, o universo de discurso não é especificado

9 Exercícios Listar os elementos dos seguintes conjuntos: 1.{n ∈ | n é primo} 2.{n 2 | n ∈ } 3.{x ∈ | x 2 – 2 = 0} 4.{x ∈ | x 2 – 2 = 0} 5.{x ∈ | |x| < 4} 6.{2x ∈ | |x| < 4} 7.{x ∈ | |2x| < 4} 8.{X | X ∈ {{1,2},{3,4,5,6},{7}}, |X|<3 }

10 Subconjuntos e Igualdade  A é um subconjunto de B – Definição: A  B  para todo x, se x  A então x  B – Exemplos {2, 3, 5, 7}  {2, 3, 5, 7, 11}   A — independentemente do que seja A  Igualdade entre conjuntos – Definição: A = B  (A  B) e (B  A)  A é um subconjunto próprio de B – Definição: A  B  (A  B) e (A  B)

11 Exercícios 1.1 ∈ {1,{1}} 2.1  {1,{1}} 3.{1} ∈ {1,{1}} 4.{1}  {1,{1}} 5.{{1}} ∈ {1,{1}} 6.{{1}}  {1,{1}} 7. ∈ 8.  9.  ∈ 10.   11. ∈ {} 12.  {} 13.  ∈ {} 14.   {} 15.  ∈ { ,} 16.   { ,} 17.{}  { ,} 18.{}  { ,{}} 19.{} ∈ { ,{}} 20.  ∈  Quais afirmações são verdadeiras?

12 Operações: Conjunto Potência  Cojunto Potência de A: P (A) – Definição: P (A) = {S | S  A} – Exemplos P({2, 3, 5}) = { , {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}} P(  ) = {  } – |P (A)| = 2 |A| ( será provado mais tarde, usando indução ) Quantos elementos tem P(P(  ))? – P(P(  )) = { , {  } } Quantos elementos tem P(P(P(  )))? – P(P(P(  ))) = { , {  }, {{  }}, { , {  }} } Quantos elementos tem P(P(P(P(  ))))? – 2 4 = 16 Quantos elementos tem P(P(P(P(P(  )))))? – 2 16 — um bocado! em torno de

13 Exercícios Liste todos elementos de cada conjunto: 1.P({0,1,3}) 2.P({1}) 3.P(  ) 4.P({1,{1,2}}) 5.P({,})

14 Operações: Produto Cartesiano  Produto Cartesiano de A e B: AxB – Definição: A  B = {(a, b) | a  A e b  B} – Exemplos {2, 3}  {3, 5, 7} = {(2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7)} {0, 1, 2, …}  {1, 2, 3, …} = conjunto de todos os pares de números naturais em que o segundo componente ≠ 0 – Notação: A 2 = A x A A 0 = {()} A 1 = A A 2 = AxA A 3 = AxAxA … – |A x B| = |A| x |B|  Exercícios:  A x B = B x A para todo A e B?  Quantos elementos tem A  P(A)?

15 Operações: União e Interseção  União de A e B – Definição: A  B = {x | x  A ou x  B} – Exemplos {2, 3, 5}  {5, 7, 11} = {2, 3, 5, 7, 11}   A = A — independentemente do que seja A { , {  }}  { {{  }}, { , {  }} } = { , {  }, {{  }}, { , {  }} }  Interseção de A e B – Definição: A  B = {x | x  A e x  B} – Exemplos {2, 3, 5, 7}  {2, 7, 11} = {2, 7}   A =  — independentemente do que seja A  Conjuntos disjuntos – Definição: A e B são disjuntos  A  B = 

16 Operações: União Disjunta  União disjunta de A e B – Definição: A + B = {(0,x) | x  A} ∪ {(1,x) | x  B} – Exemplos {2,3,5} + {3,5,7} = {(0,2), (0,3), (0,5), (1,3), (1,5),(1,7)}  + {2,3} = {(1,2),(1,3)} {2,3} +  = {(0,2),(0,3)}

17 Operações: Diferença e Complemento  Diferença A menos B – Definição: A – B = {x | x  A e x  B} – Exemplos {2, 3, 5, 7} – {2, 7, 11} = {3, 5} A –  = A — independentemente do que seja A  – A =  — independentemente do que seja A Complemento de A – Definição: A ’ = U–A onde U é o universo de discurso – Exemplos - universo de discurso = N {2, 3, 4, 5} ’ = {0, 1}  {6, 7, 8, …} {2x | x  {0, 1, 2, …} } ’ = {2x+1 | x  {0, 1, 2, …} }

Exercícios 1.A  B 2.A  B 3.A – B 4.B – A 5.(A-B)  (B-A) 6.A  C 7.A  C 8.A – C 9.(A  C)  (A – C) Sejam A = {a,b,c,d,e} B={d,e,f} C={1,2,3} 10.(A  B) x B 11.(AxC)  (BxC)

19 Álgebra de Conjuntos IdentidadeZero Idempotência Duplo complementoComplementoDe Morgan

20 CommutatividadeAssociatividade AbsorçãoDistributividade

21 Paradoxo de Russel Bertrand Russell ( )  Uma teoria ingênua de conjuntos pode levar a paradoxos. Considere: A = {X | X é um conjunto e X ∉ X} -{1,2} ∈ A - ∈ A -Seja X = {X}. X ∉ A Paradoxo: A ∈ A ?

22 Teoria Axiomática de Conjuntos Para evitar os paradoxos que podem ocorrer em uma teoria ingênua de conjuntos, Georg Cantor (1845–1918) e Ernest Zermelo (1871–1953) formularam teorias axiomáticas de conjuntos, que incluem como axiomas, por exemplo:  Nenhum conjunto não vazio C pode ter a propriedade de que C ∩ x ≠ , para todos os seus elementos x que sejam conjuntos. Isso exclui conjuntos tais como X = {X}.