Relação Tensão-Deformação Mecânica dos Materiais 2 Universidade de Brasília – UnB Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

ÍNDICE Curva Tensão Deformação Lei de Hooke – – Solicitação Uniaxial – Solicitação Biaxial Lei de Hooke Generalizada - Material Isotrópico Energia de Deformação Critério da Máxima Energia de Distorção

Curva Força versus Deslocamento Área A Curva Força versus Deslocamento

Curva Tensão Deformação Área A Tensão Atuante Deformação Atuante  

Curva Tensão Deformação – Pontos Notáveis Área A Tensão Atuante Deformação Atuante   yy uu 1 E  u  Tensão Resistência  y  Tensão de Escoamento Domínio Linear Elástico Domínio Elasto-plástico E  Módulo de Elasticidade

Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Uniaxial Área A  A-dA = Coeficiente de Poisson  n  Deformação Longitudinal  n  Deformação Transversal

Área A  A-dA = Coeficiente de Poisson  n  Deformação Longitudinal  n  Deformação Transversal Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Uniaxial

Área A  A-dA Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Uniaxial

Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Biaxial yy A x +dA x b h e b+db h+dh e+de A x = h  e x z y A y = b  e A x +dA y PxPx PyPy xx + Estado de Tensões Estado de Deformações

Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Biaxial A x +dA x b+db h+dh e+de A x +dA y PxPx PyPy + Estado de Deformações

Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Generalizada zz xx yy

Um elemento cúbico submetido a uma tensão cisalhante assumirá uma forma distorcida. De forma semelhante aos esforços normais. Se plotarmos uma curva correlacionando a tensão cisalhante, , com a deformação cisalhante, , será verificado que, para pequenas deformações e dentro do regime elástico linear, essas duas quantidades pode ser representada pela seguinte relação: onde G é chamado de módulo de rigidez ou de cisalhamento.

Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Generalizada  xy  xz  zy

Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Generalizada  xy  xz  zy

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Área A Curva Força versus Deslocamento  P W  Trabalho Executado pela Força P

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Área A Curva Tensão versus Deformação w  Densidade de Energia de Deformação  

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Curva Tensão versus Deformação w  Densidade de Energia de Deformação   Domínio Linear-Elástico

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Curva Tensão versus Deformação w  Densidade de Energia de Deformação   Domínio Linear-Elástico

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Contexto Tri Dimensional

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Contexto Tri Dimensional

Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Contexto Tri Dimensional  xy  xz  zy

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Verificação Experimental: Corpos Submetidos a Pressões Hidrostáticas se Deformam Muito, Mas Não Falham por Escoamento !!! P1P1 P 2 > P 1 P 3 > P 2 P 4 > P 3

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Análise da Situação : aa bb cc p p p  b -p  a - p  c - p = + Tensor Hidrostático Tensor Desviador Tensor Genérico

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Situação 1 Tensor Hidrostático Tensor Desviador

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Situação 2 – Aumento da Pressão em 100 MPa Tensor Hidrostático Tensor Desviador

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Tensor Hidrostático Tensor Desviador Situação 3 – Aumento da Pressão em 300 MPa

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Tensor Hidrostático Tensor Desviador Situação 4 – Aumento da Pressão em 600 MPa

Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Conclusão: Aumento da Pressão Hidrostática Não Conduz à Elevação da Tensão Cisalhante Máxima !!! Informações Importantes Sobre a Condição de Falha por Escoamento Estão Contidas no Tensor Desviador !!!

Critério da Máxima Energia de Distorção Metodologia de Construção do Modelo de Análise aa bb cc p p p  b -p  a - p  c - p = + w = = + + wHwH wDwD

Critério da Máxima Energia de Distorção Metodologia de Construção do Modelo de Análise aa bb cc  w = + wHwH wDwD = 11 22 33  P A wDwD = - wwHwH w = + wHwH wDwD wDwD = - wwHwH Comparação das Energias Estado Geral de Tensões Condição Uniaxial de Tensões Ensaio de Tração

Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Deformação Associada ao Estado Geral de Tensões w = + wHwH wDwD 11 22 33 wDwD = - wwHwH

Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Deformação Associada ao Estado de Tensões Hidrostáticas w = + wHwH wDwD wDwD = - wwHwH p p p

Critério da Máxima Energia de Distorção Cálculo da Energia de Distorção Associada ao Estado de Tensões Principais w = + wHwH wDwD wDwD = - wwHwH p p p

Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Distorção Associada ao Estado de Tensões Principais 11 22 33

Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Distorção Associada ao Estado Uniaxial de Tensões  1 =  adm P A

Critério da Máxima Energia de Distorção aa bb cc  = 11 22 33  adm P A Estado Geral de Tensões Condição Uniaxial de Tensões Ensaio de Tração =

Critério da Máxima Energia de Distorção aa bb cc  = 11 22 33  adm P A Estado Geral de Tensões Condição Uniaxial de Tensões Ensaio de Tração

Critério da Máxima Energia de Distorção – Von Mises Estado de Tensões Principais: 11 22 33 Estado de Geral de Tensões:  yx  yz  zx  xx  yy  zz

Critério da Máxima Energia de Distorção – Von Mises Representação Gráfica: bb aa cc aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb  adm  adm

Critério da Máxima Energia de Distorção – Von Mises Comparação com Tresca: bb aa cc aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb  adm  adm  b >  a  a >  b

Exemplos 1 – Demonstrar a relação: Relações Conhecidas Para demonstrar a relação determinaremos as tensões e deformações cisalhantes máximas relacionados ao seguinte estado de tensões:  

Exemplos 2 - A peça esquematizada, com uma geometria complicada, é fabricada em latão (E = 105 GPa e G = 39 GPa) e submetida um sistema complexo de esforços. Pede-se determinar as tensões máximas de tração/compressão e cisalhamento no ponto da superfície assinalado, onde foi montada uma roseta e foram medidas as seguintes deformações nas direções indicadas:  a = +400µStrain; ε b = +800µStrain; ε c = +450µStrain Faça os cálculos utilizando as fórmulas e confira através da análise feita através dos círculos de Mohr. Considere tratar-se de um estado triplo de tensões, sendo nula a tensão no 3º plano (o da superfície onde foi montada a roseta).

Exemplos 2 – Solução Representação esquemática do sistemas de extensômetros: +400µStrain (c) (b) (a) Configuração Padrão Roseta Retangular x y +800µStrain +450µStrain

Exemplos 2 – Solução Representação Tensorial +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.3 – Deformações Principais – Eq. Transformação

Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.4 – Deformações Principais – Teorema de Cauchy (Prob. Autovalor/Autovetor)

Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.4 – Deformações Principais (Círculo de Mohr)

Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.4 – Deformações Principais (Círculo de Mohr)  R R R  a b c d

Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.5 – Deformações Principais (Círculo de Mohr) x (800, 150) x y y (400,-150)

Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.6 – Estado de Tensões – Base : x-y Prop. Material: E = 105 GPa G = 39 GPa = 0,346

Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.6 – Estado de Tensões Principais Prop. Material: E = 105 GPa G = 39 GPa = 0,346

Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm E al = 70 GPa = 0,3

Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm 19º l 

Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm

Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm X (63,85; -14,96) Y (115,7; +14,96) MPa

Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm

Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm MPa