Turbulência II Médias de Reynolds

Introdução Em geral nos fênomenos da atmosfera, torna-se muito complexo a sua descrição, em especial, aqueles que ocorrem em pequena escala de flutuações como por exemplo os aspectos turbulentos de movimento de um fluido. Por isto, é introduzido o conceito de operadores médias ou de primeira aproximação (smoothing operators), para a abordagem dos fenômenos atmosféricos. A obtenção de médias nos leva a introdução de termos adicionais governando quantidades médias. Alguns termos adicionais podem representar efeitos de fluxos de redemoninhos que em geral são desprezados em aproximações. Por exemplo: dependendo do contexto do problema, o procedimento de operadores de médias proposto por Reynolds (1895) e do tipo de operador médio empregado, podemos analisar os fluxos de redemoinhos que surgem a partir da turbulência presentes na convecção de nuvens cumulus ou ondas gravitacionais (ondas em oceanos e mares).

Condições de Reynolds 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝜕(𝑢𝑣) 𝜕𝑥 = 𝑆 𝑢 𝑆 𝑢 é fonte de 𝑢 (1) Consideremos 𝑢 e 𝑣 duas variáveis de escoamento de um fluido, vamos admitir que, 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝜕(𝑢𝑣) 𝜕𝑥 = 𝑆 𝑢 𝑆 𝑢 é fonte de 𝑢 (1) Para cada variável dependente de 𝑆 𝑢 temos A barra denota um operador médio ainda indefinido

Substituindo (2) em (1) Vamos agora impor a condição de operador médio de tal forma que (3) se reduza a: Para satisfazer esta condição

Lembrando que: Obs: as relações 8, 9 e 10 implicam que o operador média é linear. Temos ainda: Temos ainda

As condições de operadores de médias de Reynolds são satisfeitas, ou seja, (3) reduzindo em (4) e (8)-(12) ? Depende de como o operador média é definido!! Consideremos as possibilidades: Avaliação de médias temporais Médias de faixa fixa ou localizadas (grid-cells) Médias de conjuntos (ensemble averages)-amostragem

Caso 1) Médias temporais Seja ( ) a avalição de média temporal, algumas vezes chamado de operador de suavização. T é prescrito como um intervalo de tempo constante, e w(t*) é uma função Peso tal que, A escolha mais simles é fazer 𝑤 𝑡 ∗ =1 ou supor que 𝑤 𝑡 ∗ é uma função simétrica com máximo em 𝑡= 𝑡 ∗ .

Temos a opção de fazer médias espaciais, mas estas são mais complexas de se avaliar. Portanto na prática as médias temporais são as que são aplicáveis. Em geral (4), (5) e (6) não são satisfeitas quando tempos variam em larga escala de flutuações de u. Caso 𝑢 não apresente flutuações então (4), (5) e (6) são satisfeitas. Vamos verificar o resultado (12) para 𝑤 𝑡 ∗ =1. Tem-se

Para a equação (11)

2) Médias de faixa fixa (grid-cells) caso discreto 𝑡 1 é tempo discreto em elemento de controle (célula). A diferença básica neste caso para o caso anterior está nos limites de integração, pois 𝑡 1 𝑒 𝑇 são fixos!! Logo

Esta condição é satisfeita porque os limites de integração não dependem do tempo. E o termo em 𝑡 1 −𝑇 𝑡 1 +𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 pode ser deslocado para fora do integrando. Portanto o método de células satisfaz as condições de Reynolds. 𝑡 1 −𝑇 𝑡 1 +𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

3) Médias de conjuntos (ensemble averages) Neste caso podemos definir médias locais e usar médias ou estatísticas sobre um número grande de amostras e obter 𝑢 𝑒 𝑣 pela média nos conjuntos. Neste caso a média nos conjuntos equivale a uma média em escala r . Assim 𝑢 𝑒 𝑣 não dependem do tempo.

Fim