Decomposição em frações parciais Caso 2 – O polinômio do denominador possui fatores lineares repetidos Decomposição em frações parciais

Referencial teórico Considere 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 uma função racional própria onde Q(x) possui fatores lineares repetidos. Se (𝑥− 𝑥 𝑖 ) possuir “r” cópias, então 𝑥− 𝑥 𝑖 𝑟 produzirá uma soma na forma: 𝐴 1 𝑥− 𝑥 𝑖 + 𝐴 2 𝑥− 𝑥 𝑖 2 +⋯ 𝐴 𝑟 𝑥− 𝑥 𝑖 𝑟 Para os fatores lineares que não repetem usamos o que foi discutido no Caso 1.

Exemplos sobre a forma da decomposição 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 4𝑥−3 𝑥−2 2 𝑥+5 3 = 𝐴 𝑥−2 + 𝐵 𝑥−2 2 + 𝐶 𝑥+5 + 𝐷 𝑥+5 2 + 𝐸 𝑥+5 3 2 𝑥 2 +5𝑥+7 𝑥+1 𝑥−1 𝑥+3 2 = 𝐴 𝑥+1 + 𝐵 𝑥−1 + 𝐶 𝑥+3 + 𝐷 𝑥+3 2

Exemplo 1 – Decompor em frações parciais a função racional dada Qual o significado das estrelas? 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 Precisamos encontrar os valores das constantes A, B e C. 𝐴= 2 𝑥−3 2 𝑥=0 = 2 9 𝐶= 2 𝑥 𝑥=3 = 2 3 Ao clicar nas interrogações (?) você terá a oportunidade de ver uma explicação detalhada. Use se precisar.

como encontrar a outra constante? Para encontrar a outra constante não podemos usar o mesmo método que usamos para encontrar os valores de A e C. Para isso, partiremos do princípio que a igualdade seguinte 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 Deve valer para TODOS os valores de “𝑥” que não anulam o denominador. Assim, exceto 𝑥=0 e 𝑥=3 poderá fazer com que “𝑥” assuma qualquer outros valores. Por exemplo: podemos fazer com que 𝑥=4 na igualdade acima (poderia ser outro valor qualquer – que não torne o denominador nulo. Ficará assim 2 4. 4−3 2 = 𝐴 4 + 𝐵 4−3 + 𝐶 4−3 2 Hmmm... E por que será que não posso usar o mesmo método aqui?

como encontrar a outra constante? 2 4. 4−3 2 = 𝐴 4 + 𝐵 4−3 + 𝐶 4−3 2 De onde virá o seguinte: 1 2 = 1 4 .𝐴+𝐵+𝐶 Como 𝐴= 2 9 e 𝐶= 2 3 então, substituindo, ficaremos com: 1 2 = 1 4 . 2 9 +𝐵+ 2 3 Não terá dificuldade em perceber que 𝐵=− 2 9 . Desse modo 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 2/9 𝑥 + −2/9 𝑥−3 + 2/3 𝑥−3 2

E como usar o maxima para checar se o cálculo está correto?

partfrac(f, variável) Comandos do MAXIMA f : expressão (atribui à letra “f” a expressão a ser decomposta). partfrac(f, variável) (comando para decomposição em frações parciais).

Fim Prof. Luís Cláudio LA

O que significam as estrelas? As estrelas estão sendo usadas para mostrar a você quais constantes podemos encontrar pelo método rápido. As que não têm estrela são aquelas que irá encontrar o valor dela atribuindo um valor qualquer (que não anule o denominador) para a variável “x”, estabelecendo uma relação entre todos os parâmetros que se encontram nos numeradores. Daí, usando os valores já conhecidos, você descobrirá o valor das constantes sem a estrela. Isso ficará claro com os exemplos. Voltar...

Ficou com dúvida? Na igualdade 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 Multiplicando ambos os membros por “ 𝑥−3 2 ” ficaremos com 2. 𝑥−3 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴. 𝑥−3 2 𝑥 + 𝐵. 𝑥−3 2 𝑥−3 + 𝐶. 𝑥−3 2 𝑥−3 2 Depois de simplificar ficará assim: 2 𝑥 = 𝐴. 𝑥−3 2 𝑥 +𝐵.(𝑥−3)+𝐶 Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador. Em particular, se 𝑥=3 a primeira e a segunda parcela do segundo membro serão anuladas e ficaremos com 𝐶= 2 𝑥 𝑥=3 = 2 3 Voltar...

Ficou com dúvida? Na igualdade 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 Multiplicando ambos os membros por “𝑥” ficaremos com 2.𝑥 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴.𝑥 𝑥 + 𝐵.𝑥 𝑥−3 + 𝐶.𝑥 𝑥−3 2 Depois de simplificar ficará assim: 2 𝑥−3 2 =𝐴+ 𝐵.𝑥 𝑥−3 + 𝐶.𝑥 𝑥−3 2 Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador. Em particular, se 𝑥=0 a segunda e a terceira parcela do segundo membro se anularão e ficaremos com 𝐴= 2 𝑥−3 2 𝑥=0 = 2 9 Voltar...

Por que não podemos usar o mesmo procedimento para encontrar “B”? Na igualdade 2 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥−3 + 𝐶 𝑥−3 2 Multiplicando ambos os membros por “ 𝑥−3 ” ficaremos com 2. 𝑥−3 𝑥. 𝑥−3 2 = 𝐴. 𝑥−3 𝑥 + 𝐵. 𝑥−3 𝑥−3 + 𝐶. 𝑥−3 𝑥−3 2 Depois de simplificar ficará assim: 2 𝑥. 𝑥−3 = 𝐴. 𝑥−3 𝑥 +𝐵+ 𝐶 𝑥−3 O natural aqui era fazer 𝑥=3, mas não podemos pois esse valor anula o denominador. Por isso não é possível encontrar o valor de B diretamente. Voltar...