Teoria da Produção e do Custo Tratamento Algébrico

Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a função de produção descreverá a maior produção que pode ser obtida com as combinações destes insumos Produto Marginal do Capital Produto Marginal do Trabalho Ou seja, iremos supor que ambos insumos possuem produtos marginais positivos e declinantes

Uma empresa competitiva aceita os preços estipulados para o trabalho, w, e o capital, r Problema da minimização do custo (1) sujeito à restrição de que um nível de produção deve ser atingido (2) Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange O lagrangiano do problema é (3)

Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos (4) Combinando as duas primeiras equações acima, obtemos (5) Combinando estas mesmas equações de outra forma, obtemos o multiplicador de Lagrange (6) Medem o custo do insumo adicional para a produção de uma unidade adicional de produto

Taxa Marginal de Substituição Técnica representa uma isoquanta de produção À medida que as combinações de insumos variam ao longo da isoquanta, a variação de produção iguala-se a zero ( ) (7) Reordenando a equação 7, definimos a TMST (8) Reescrevendo a equação 5 como (9) observamos que a TMST é igual a razão entre os preços dos insumos

Combinação ótima de K e L Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equação 5 (5) que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo unitário de cada insumo Dualidade na Teoria da Produção e do Custo A decisão da empresa em relação a insumos é de natureza dual Escolha da mais baixa linha de isocusto tangente à isoquanta de produção Combinação ótima de K e L Escolha da mais alta isoquanta de produção tangente a uma determinada linha de isocusto

Já fizemos a minimização do custo Já fizemos a minimização do custo. Agora vamos à maximização da produção sujeito à restrição (10) O lagrangiano é (11) Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos (12)

Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemos (5) que é exatamente a condição de minimização de custo Função Cobb-Douglas de Custo e Produção ou, em logaritmos, Supomos que de forma que a empresa tenha produtos marginais decrescentes para trabalho e capital Por exemplo, se o produto marginal do trabalho é expresso por a apresenta diminuição à medida que L aumenta

Supondo que a função de produção de uma empresa é a produtividade marginal do trabalho será Mantendo o capital fixo em 9 unidades podemos verificar que a produtividade marginal do trabalho é decrescente

Se rendimentos constantes de escala rendimentos crescentes de escala rendimentos decrescentes de escala Exemplos Empresa Pequena: Como a empresa possui rendimentos constantes de escala Empresa Grande: Como a empresa possui rendimentos crescentes de escala

Para minimizar o custo de produção de uma função Cobb-Douglas, sujeita a uma restrição, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange O lagrangiano é (13) Diferenciando em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos (14) (15) (16) A partir da equação 14, temos (17)

Substituindo a equação 17 na equação 15, obtemos (18) ou então (19) Utilizando a equação 19 para eliminar L da equação 16 (20) Reescrevendo esta equação, temos (21) Assim, encontramos a quantidade ótima de capital (22) e a quantidade ótima de trabalho (23)

Agora vamos determinar a função de custo da empresa Substituindo as equações 22 e 23 em (24) Esta função de custo informa como o custo total da produção aumenta à medida que o nível de produção Q aumenta como o custo varia quando variam os preços dos insumos Quando for igual a 1, a equação 24 pode ser simplificada para (25) Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição