Matemática – Unidade 3

Educação a Distância – EaD Matemática Professor: Flávio Brustoloni

Matemática Cronograma: Turma ADG0096 Data Atividade 06/10 06/10 20/10 1º Encontro 06/10 1º Encontro 20/10 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 20/10 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 27/10 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 10/11 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

Objetivos desta Unidade: Compreender a importância do uso de modelos matemáticos na área de Administração e Economia, como recurso para tomada de decisões; Reconhecer diferentes tipos de modelos: linear, quadrático, exponencial, bem como algumas de suas aplicações; Identificar as funções custo, lucro e receita, enquanto modelos lineares e polinomiais de grau 2; Reconhecer, sob a ótica matemática, conceitos como depreciação linear e ponto de nivelamento; 1/44

Unidade 3 APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2/44

TÓPICO 1 Modelos Lineares 3/44

(Estamos na página 125 da apostila) 1 Introdução Tópico 1 Os modelos econômicos muitas vezes envolvem questões como fixação de preços, controle de custos e otimização de lucros. O lucro de uma empresa, por exemplo, pode ser expresso em função do preço de venda de um produto, o que nos permite representar algebricamente esta relação, fazendo uso de funções matemáticas. (Estamos na página 125 da apostila) 4/44

2 Vantagens dos Modelos Matemáticos Tópico 1 Os modelos matemáticos servem para representar simplificações da realidade. Sua vantagem reside nisto; manipular simuladamente as complexas e difíceis situações reais através do uso de técnicas matemáticas. (Estamos na página 125 da apostila) 5/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 Função Custo (C): C = CF + CV Onde: C = Custo CF = Custo Fixo CV = Custo Variável (Estamos na página 126 da apostila) 6/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 Função Receita (R): R(x) = p.x Onde: R = Receita R(x) = Função Receita x produtos vendidos p = Preço de mercado x = Quantidade de mercadorias vendidas (Estamos na página 126 da apostila) 7/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 Função Lucro (L): L(x) = R(x) – C(x) Onde: L = Lucro L(x) = Função Lucro x produtos vendidos R(x) = Função Receita x produtos vendidos C(x) = Função Custo x produtos vendidos x = Produtos vendidos (Estamos na página 127 da apostila) 8/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 Exemplo 1: o custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00 e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é dada por: C(x) = 5.000 + 10x (Estamos na página 127 da apostila) 9/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 GRÁFICO 22 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CUSTO C(x) = 5.000 + 10x (Estamos na página 127 da apostila) 10/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 Supondo que este mesmo produto seja vendido a $ 15,00, a função receita será dada por: R(x) = 15x (Estamos na página 127 da apostila) 11/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 GRÁFICO 23 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA R(x) = 15x (Estamos na página 127 da apostila) 12/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 GRÁFICO 24 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA e CUSTO NO MESMO SISTEMA DE EIXOS LUCRO Ponto de Nivelamento PREJUÍZO CUSTO RECEITA (Estamos na página 128 da apostila) 13/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 15x = 5000 + 10x 15x – 10x = 5000 5x = 5000 x = 5000 / 5 x = 1000 (Estamos na página 129 da apostila) 14/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Tópico 1 A função lucro, por sua vez, é determinada através da diferença entre a receita e o custo, ou seja: L(x) = 15x – (5000 + 10x) L(x) = 15x – 5000 – 10x L(x) = 5x - 5000 (Estamos na página 129 da apostila) 15/44

(Estamos na página 129 da apostila) 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo Tópico 1 Nas funções custo, receita e lucro, a variável x geralmente representa a quantidade de determinado produto. Se o produto em questão for divisível (por exemplo, número de camisetas produzidas / vendidas), os valores de x serão 0, 1, 2, 3, ..., e o gráfico será um conjunto de pontos alinhados. (Estamos na página 129 da apostila) 16/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo Tópico 1 FIGURA 8 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO DISCRETO Ct(x) 5000 x (Estamos na página 130 da apostila) 17/44

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo Tópico 1 FIGURA 9 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO CONTÍNUO Ct(x) 5000 x (Estamos na página 130 da apostila) 18/44

4 Depreciação Linear Tópico 1 Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação. Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente. (Estamos na página 130 da apostila) 19/44

(Estamos na página 130 da apostila) 4 Depreciação Linear Tópico 1 Exemplo: O valor de uma máquina hoje é de R$ 10.000,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja R$ 1.000,00. Qual o valor da máquina daqui a x anos? Qual sua depreciação total daqui a x anos? (Estamos na página 130 da apostila) 20/44

(Estamos na página 131 da apostila) 4 Depreciação Linear Tópico 1 Para determinar a expressão que expressa o valor da máquina daqui a x anos, vamos considerar os pontos conhecidos A(0, 10000) e B(6, 1000) e determinar a função dos coeficientes da função y = ax+b. (Estamos na página 131 da apostila) 21/44

(Estamos na página 131 da apostila) 4 Depreciação Linear Tópico 1 y = ax+b 0a = 0, logo b = 10.000 0a + b = 10.000 6a + b = 1.000 6a + 10.000 = 1.000 6a = 1.000 - 10.000 6a - 9.000 a = -9.000 / 6 a = 1.500 V(x) = -1.500x + 10.000 (Estamos na página 131 da apostila) 22/44

(Estamos na página 132 da apostila) 4 Depreciação Linear Tópico 1 A depreciação é resultante da diferença entre o valor inicial do bem e a função que determina sua variação de valor no decorrer do tempo x: D(x) = V0 – V(x) (Estamos na página 132 da apostila) 23/44

(Estamos na página 132 da apostila) 4 Depreciação Linear Tópico 1 D(x) = V0 – Vx D(x) = 10000 – (-1500x + 10000) D(x) = 10000 + 1500x – 10000 D(x) = 1500x Como a variável x é expressa em anos, a função que determina a depreciação D(x) para x anos, apresenta uma desvalorização anual do equipamento correspondente a R$ 1.500,00. (Estamos na página 132 da apostila) 24/44

TÓPICO 2 Modelos Polinomiais 25/44

Função Demanda: p = f(x) 2 Oferta e Demanda Tópico 2 Uma equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a quantidade demandada. O gráfico da equação de demanda é chamado de curva de demanda. Função Demanda: p = f(x) Função Oferta: p = f(x) (Estamos na página 137 da apostila) 26/44

(Estamos na página 137 da apostila) 2 Oferta e Demanda Tópico 2 Uma função demanda p = f(x) onde p mede o preço por unidade e x o número de unidades, é geralmente uma função decrescente de x, enquanto a função oferta é geralmente uma função decrescente de x. (Estamos na página 137 da apostila) 27/44

(Estamos na página 138 da apostila) 2 Oferta e Demanda Tópico 2 (Estamos na página 138 da apostila) 28/44

3 Função Receita e Lucro Quadráticas Tópico 2 Exemplo: “A função de demanda de um produto é p(x) = 10 – x, e a função custo é c(x) = 20 – x. Vamos obter: A função receita e o preço que a maximiza; A função lucro e o preço que a maximiza. (Estamos na página 139 da apostila) 29/44

3 Função Receita e Lucro Quadráticas Tópico 2 y = ax + b a = -1, b = 10 R(x) = p . x R(x) = (10-x) . x R(x) = 10x – x2 Xv = -(b / 2a) Xv = -(10 / 2.(-1)) Xv = 5 (Estamos na página 139 da apostila) 30/44

3 Função Receita e Lucro Quadráticas Tópico 2 p(x) = 10 – x x = 5 p(x) = 10 – 5 p(x) = 5 (Estamos na página 139 da apostila) 31/44

3 Função Receita e Lucro Quadráticas Tópico 2 L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 10x – x2 – (20 + x) L(x) = 10x – x2 – 20 – x L(x) = -x2 + 9x - 20 (Estamos na página 139 da apostila) 32/44

3 Função Receita e Lucro Quadráticas Tópico 2 Xv = -(b / 2a) Xv = -(9 / 2.(-1)) Xv = 4,5 p(x) = 10 – 4,5 p(x) = 5,5 (Estamos na página 139 da apostila) 33/44

TÓPICO 3 Modelos Exponenciais 34/44

(Estamos na página 143 da apostila) 1 Introdução Tópico 3 O modelo exponencial se apresenta como alternativa para descrição ou previsão de determinados fenômenos. A função exponencial é uma das funções matemáticas mais utilizadas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes. (Estamos na página 143 da apostila) 35/44

2 Modelo de Crescimento Exponencial Tópico 3 Exemplo 1: Suponhamos que uma população tenha hoje 40.000 habitantes e que haja um crescimento populacional de 2% ao ano. Assim: Daqui a 1 ano o número de habitantes será: y1 = 40.000 + (0,02) . 40.000 = 40.000 . (1 + 0,02) Daqui a 2 anos o número de habitantes será: y2 = y1 + (0,02).y1 = y1.(1 + 0,02) = 40.000 . (1 + 0,02)2 Daqui a 3 anos o número de habitantes será: y3 = y2 + (0,02).y2 = y2.(1 + 0,02) = 40.000 . (1 + 0,02)3 (Estamos na página 143 da apostila) 36/44

2 Modelo de Crescimento Exponencial Tópico 3 Quantidade inicial de habitantes Taxa de crescimento anual (2%) Taxa de crescimento da cidade Podemos concluir que: Variável Tempo (anos) y = 40.000. (1,02)x y = y0. (1 + k)x (Estamos na página 144 da apostila) 37/44

2 Modelo de Crescimento Exponencial Tópico 3 Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a taxa de crescimento anual? (Estamos na página 144 da apostila) 38/44

2 Modelo de Crescimento Exponencial Tópico 3 Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a taxa de crescimento anual? A taxa de crescimento será de 4,14% para que daqui a 10 anos, a população desta cidade seja de 30.000 habitantes. (Estamos na página 144 da apostila) 39/44

(Estamos na página 145 da apostila) 3 Juros Compostos Tópico 3 Exemplo 1: Consideremos um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao ano. Significa que: Ano Capital Juros Montante 01 1.000,00 100,00 1.100,00 02 1.100,00 110,00 1.210,00 03 1.210,00 121,00 1.331,00 (Estamos na página 145 da apostila) 40/44

(Estamos na página 145 da apostila) 3 Juros Compostos Tópico 3 Taxa de Juros Capital inicial Podemos concluir que: Montante Variável Tempo M = C.(1 + i)n (Estamos na página 145 da apostila) 41/44

(Estamos na página 146 da apostila) 3 Juros Compostos Tópico 3 Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual a taxa mensal de juros desta aplicação? (Estamos na página 146 da apostila) 42/44

(Estamos na página 146 da apostila) 3 Juros Compostos Tópico 3 Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual a taxa mensal de juros desta aplicação? A taxa mensal de juros será de 1,5% para que, daqui a 4 meses, o montante seja de R$ 1.061,36. (Estamos na página 146 da apostila) 43/44

4 Decaimento Exponencial de Vendas Tópico 3 Se S0 é o número de vendas no último mês após a interrupção dos esforços promocionais, então um bom modelo matemático para S(t) é: (Estamos na página 147 da apostila) 44/44

Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

4º Encontro da Disciplina 3ª Avaliação da Disciplina (AVALIAÇÃO FINAL) Matemática PRÓXIMA AULA: 4º Encontro da Disciplina 3ª Avaliação da Disciplina (AVALIAÇÃO FINAL)