Algoritmos e Estrutura de Dados: Uma pequena motivação Luiz Gonzaga da Silveira Jr lgonzaga@unisinos.br

Cenário visionário Suponha que os computadores fossem infinitamente rápidos, com memória infinita. Você precisaria estudar algoritmos?! Me dê 2 razões... Demonstrar que o método de sua solução termina, e, o faz com a resposta correta! Se todos os métodos estivessem corretos, você escolheria o método mais fácil de implementar... Mas o mundo perfeito não existe: velocidade infinita e memória grátis...

Eficiência: Caso Computador A: 1 bilhão de instruções/sec Computador B: 10 milhões de instruções/sec Conclusão: CompA é 100x mais rápido do que CompB Programador mais ansioso do mundo: Ordenação (inserção) 2n2 instruções para ordenar n números no CompA Programador mais relaxado do mundo: Ordenação (intercalação) 50 n log n instruções para ordenar n números no CompB Para ordenar 01 milhão de números: CompA: ~2000 segundos CompB: ~100 segundos CompB executou 20x mais rápido do que o CompA

Alguns problemas Ordenação Busca Armazenamento Compressão Transmissão Descompressão Parâmetros de qualidade Corretude (depuração) Desempenho (perfilação)

Ordenação Ordenar buscar! Exercício 1: Uma função que verifique se um vetor v[0..n- 1] está em ordem crescente. Exercício 2: Uma função que busque a ocorrência de um valor em um vetor v[0..n-1] Exercício 3: Uma função que ordene um vetor com N elementos. Comparação http://cg.scs.carleton.ca/~morin/misc/sortalg/

Qual a complexidade destas funções para as soluções encontradas?! Melhor caso? Pior caso? Caso médio?

Um pouco de noção de complexidade Ao ver uma expressão como n+10 ou n2+1, a maioria das pessoas pensa automaticamente em valores pequenos de n, valores próximos de zero. Testar: para n=2, n=3,n=4, n=10, n=100 A análise de algoritmos faz exatamente o contrário: ignora os valores pequenos e concentra-se nos valores enormes de n.

Algumas funções Observemos as seguintes funções: n2 , (3/2)n2,9999n2, n2/1000, n2+100n  Quem cresce mais rápido?! (claro, para valores enormes de n): vamos experimentar! Resposta: Todas têm crescimentos equivalentes Crescimento assintótico! Nessa “matemática”, as funções são classificadas em ORDENS. Funções de mesma ordem são ditas equivalentes. As funções acima pertencem a mesma ordem

Ordem O (Big-Oh) Segundo Knuth, “O” trata-se do ômicron grego maiúsculo. Definição: Dadas funções assintoticamente não-negativas f e g, dizemos que f está na ordem O de g,  e escrevemos f = O(g),  se   f(n)  ≤  c · g(n)   para algum c positivo e para todo n suficientemente grande.  Em outras palavras, existe um número positivo c e um número N tais que f(n) ≤ c · g(n) para todo n maior que N. Exemplo: Se f(n) ≤ 9999 g(n) para todo n ≥ 1000 então f = O(g).  (Mas cuidado: a recíproca não é verdadeira!)

Exemplo Dadas as funções: f(n) = (3/2)n2 + (7/2)n – 4 e que g(n) = n2. n f(n) g(n) 0 –4 0 1 1 1 2 9 4 3 20 9 4 34 16 5 51 25 6 71 36 7 94 49 8 120 64 A tabela sugere que f(n) ≤ 2g(n) para n ≥ 6 e portanto parece que f(n) = O(g(n)).

Bubblesort: intuitivo, porém...! bubbleSort( A : lista ) do swapped := false for each i in 0 to length( A ) - 2 do: if A[ i ] > A[ i + 1 ] then swap( A[ i ], A[ i + 1 ] ) swapped := true end if end for while swapped end

Implementação Alternativa bubbleSort( A : lista ) n := length( A ) - 1 do swapped := false n := n - 1 for each i in 0 to n do: if A[ i ] > A[ i + 1 ] then swap( A[ i ], A[ i + 1 ] ) swapped := true end if end for while swapped end Qual a diferença entre as duas implementações?

Análise de complexidade Para uma lista de n elementos Pior caso: O(n2) Melhor caso: O(n) Posição dos elementos na lista define eficiência do algoritmo  Para grande quantidade de dados: ineficiente! Na prática: Simples (entender e implementar) Aceitável para n pequeno!

Inserção Analogia: cartas do baralho! Funcionamento: mão esquerda vazia...cartas pra baixo, retira carta da mesa e vai inserindo Complexidade Melhor caso:O(n)! Pior caso:O(n2) 5 2 4 6 1 3 2 5 4 6 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 1 3 1 2 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6

Implementação void insercao (int n, int v[]) { int j, i, x; for (j = 1; j < n; j++) x = v[j]; for (i = j-1; i >= 0 && v[i] > x; --i) v[i+1] = v[i]; v[i+1] = x; }

Exercício Que acontece se trocarmos  "for (j = 1"  por "for (j = 0"  no código da função inserção? Que acontece se trocarmos  "v[i+1] = x"  por "v[i] = x"  no código da função inserção?

Observação sobre estabilidade Um algoritmo de ordenação é estável (= stable) se não altera a posição relativa de elementos com mesmo valor. Por exemplo: se o vetor v[0..n-1] tiver dois elementos iguais a 222, um algoritmo de ordenação estável mantém os valores nas posições originais. O algoritmo de inserção é estável? Senão como torná-lo estável.

Algoritmo de seleção void selecao (int n, int v[ ]) { int i, j, min, x; for (i = 0; i < n-1; ++i) min = i; for (j = i+1; j < n; ++j) if (v[j] < v[min]) min = j; x = v[i]; v[i] = v[min]; v[min] = x; } Ele seleciona o menor elemento do vetor, depois o segundo menor, e assim por diante Complexidade: O(n2)

Quicksort Inventado por C.A.R. Hoare , em 1962. Estratégia: dividir e conquistar! Idéia: Dividir a lista em 2 sublistas Atividade: Pesquisar o funcionamento do algoritmo! Implementar para um conjunto de valores inteiros contidos no site Medir tempo!

Complexidade na prática Considerações: Tamanho do conjunto Considerar usar algoritmos mais eficientes para grandes conjuntos Natureza dos dados (repetidos, já ordenados ou praticamente ordenados,…) Se 2 algoritmos tem mesma complexidade, qual utilizar?!

Busca

Problema Determinar se um dado número está ou não está em um dado vetor ordenado.   Mais precisamente, dado um número x e um vetor crescente  v[0..n-1],  encontrar um índice  m  tal que  v[m] == x. É claro que o problema pode não ter solução.  Este é o caso, por exemplo, se o vetor é vazio, ou seja, se n vale 0. Ex: 111 222 444 555 666 888 999

Solução 1: óbvia e lenta Comecemos com um algoritmo simples e óbvio: A função abaixo recebe um número x e um vetor // crescente v[0..n-1]. Ela devolve um índice m // em 0..n-1 tal que v[m] == x. Se tal m não existe, // a função devolve -1. int buscaSequencial (int x, int n, int v[]) { int m = 0; while (m < n && v[m] < x) ++m; if (m < n && v[m] == x) return m; else return -1; }

Busca seqüencial int buscaSequencial (int x, int n, int v[]) { Comecemos com um algoritmo simples e óbvio: // A função recebe um número x e um vetor // crescente v[0..n-1]. Ela devolve um índice m tal que v[m] == x. Se tal m não existe, a função devolve -1. int buscaSequencial (int x, int n, int v[]) { int m = 0; while (m < n && v[m] < x) ++m; if (m < n && v[m] == x) return m; else return -1; }

Busca binária Condição: Vetor ordenado! Info importante int buscaBinaria (int x, int n, int v[]) { int e, m, d; e = 0; d = n-1; while (e <= d) { m = (e + d)/2; if (v[m] == x) return m; if (v[m] < x) e = m + 1; else d = m - 1; } return -1; Condição: Vetor ordenado! Info importante Diminuição o espaço de busca!

Outros Pesquisar e mostrar! Ver página do curso! Vou colocar um algoritmo para cada aluno estudar e explicar na próxima aula!

Falamos sobre estruturas… Listas, vetores…indistintamente Qual o papel destas estruturas nos processos de ordenação e busca?! Java: Vector, ArrayList, LinkedList,…