Buscas em Grafos Prof. André Renato 1º Semestre/2012 Algoritmos em Grafos Buscas em Grafos Prof. André Renato 1º Semestre/2012

Buscas em Grafos Uma das operações mais comuns em estruturas de dados consiste em listar os elementos armazenados de acordo com a estruturação utilizada. Em listas, é possível imprimir os elementos um após o outro, na mesma ordem em que se encontram na lista.

Buscas em Grafos Em árvores binárias, existe três formas de se imprimir todos os elementos: em ordem, em pré-ordem e em pós-ordem. 20 15 40 19 32 45 8

Buscas em Grafos Os algoritmos são simples e utilizam eficientemente a estrutura recursiva da árvore. Além disso, existe um nó que é diferente dos demais e através do qual é possível o percorrimento atingindo todos os demais nós: nó raiz.

Buscas em Grafos Em grafos, qual o nó raiz? Como é feita a estruturação recursiva do grafo? A segunda pergunta é de difícil resposta, pois nem sempre o grafo apresenta uma estruturação bem-definida (na verdade, quase nunca). A primeira pergunta é mais simples: não existe uma raiz natural em um grafo.

Buscas em Grafos Como fazer então o percorrimento? O primeiro passo consiste em escolher um nó aleatoriamente para ser o ponto inicial do algoritmo. Deve-se então adotar uma política para o processamento do nó inicial e, sucessivamente, dos seus adjacentes. Existem duas políticas mais usuais, que dão origem às duas formas de buscas mais utilizadas.

Buscas em Grafos Busca em largura A idéia consiste em, partindo de um nó inicial v, armazenar todos os nós u adjacentes a ele. Escolher um nó u e armazenar todos os adjacentes; Passar para o segundo nó u e repetir o processo até que todos os nós imediatamente adjacentes a v sejam tratados. O procedimento se repete para os nós adjacentes aos nós u armazenados.

Buscas em Grafos Além do próprio grafo, é necessário armazenar os nós que estão sendo processados em outra estrutura de dados. Qual???

Buscas em Grafos Ainda existe um problema: normalmente é possível partir de um nó v e atingir um nó u de duas ou mais formas diferentes. Como evitar que este tipo de processamento repetido seja evitado sem excluir previamente nenhuma possibilidade de acesso aos nós?

Buscas em Grafos Uma idéia é colocar nos nós um tipo de marcação que servirá para identificar se o nó já foi processado ou ainda não. Um atributo booleano (ou inteiro) é suficiente para cada nó. Inicialmente, todos os nós são marcados como “não-visitado”. O nó inicial é colocado na fila e marcado como visitado. O algoritmo prossegue como descrito anteriormente.

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Buscas em Grafos Busca em profundidade: A idéia agora é partir de um nó inicial v e encontrar um primeiro nó adjacente u. Ao invés de enfileirar o nó u e buscar outro adjacente a v, mudamos imediatamente para o primeiro nó u encontrado e repetimos as operações.

Buscas em Grafos Busca em profundidade: Quando um nó u for totalmente explorado, voltamos o fluxo do algoritmo para o nó que alcançou u primeiramente. Prosseguimos, então, com outro nó adjacente ainda não explorado até que todos os nós adjacente ao nó inicial tenham sido explorados. Neste ponto, o fluxo do algoritmo volta para o inicial encerrando sua execução.

Buscas em Grafos A estrutura de fila utilizada na busca em largura não faz mais sentido, pois os nós vão sendo processados à medida em que são encontrados. No entanto, por precisar mudar constantemente o nó corrente e depois voltar por todos os nós processados até o nó inicial, outra estrutura é necessária.

Buscas em Grafos Qual???? Se vamos utilizar uma pilha, é possível pensar no algoritmo através de uma abordagem recursiva?

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Buscas em Grafos Os algoritmos de busca podem revelar informações importantes sobre os vértices, as arestas e o próprio grafo como todo. Para conseguir isto, precisamos alterar levemente os algoritmos, fazendo-os armazenar informações extras durante suas execuções.

Buscas em Grafos Busca em largura: Distância entre os vértices: pode ser entendida como a quantidade mínima de arestas adjacentes entre dois vértices; Para calcular a distância e quais arestas estão envolvidas, adicionaremos duas informações aos vértices: a distância corrente d e o vértice que o precede na busca pred. Vale lembrar que a distância não leva em conta o peso das arestas.

Buscas em Grafos As arestas indicadas pelo valor de pred formam uma estrutura de dados conhecida. Qual? Por que isso acontece?

Buscas em Grafos Busca em profundidade: Quando um nó é visitado, não temos a menor idéia de quando o fluxo do algoritmo voltará para ele. Isto depende da quantidade de nós que serão alcançados através dele. Se imaginarmos que o algoritmo é executado de acordo com horizonte de tempo fictício onde cada visita a um nó demora uma unidade de tempo, podemos anotar quando o nó é começa a ser visitado e quando termina.

Buscas em Grafos Busca em profundidade: Se imaginarmos que o algoritmo é executado de acordo com horizonte de tempo fictício onde cada visita a um nó demora uma unidade de tempo, podemos anotar quando o nó é começa a ser visitado e quando termina. Teremos então duas informações além de pred: o tempo de descoberta do nó desc e o tempo de finalização do nó fim.

Buscas em Grafos Os tempos de descoberta e finalização apresentam uma estrutura de parênteses. Se representarmos a descoberta do nó u pelo símbolo “(u” e a finalização pelo símbolo “u), a sequência de descobertas e finalizações gera uma expressão bem formada, onde os parênteses estão corretamente aninhados.

Buscas em Grafos Exemplo de estrutura de parênteses y z s t x w v u s 1 (s 2 (z 3 (y 4 (x 5 x) 6 y) 7 (w 8 w) 9 z) 10 s) 11 (t 12 (v 13 v) 14 (u 15 u) 16 t)

Buscas em Grafos Classificação de arestas: Pode trazer informações importantes sobre o grafo, como a existência de ciclos (que será visto posteriormente). Arestas de árvore: são as arestas obtidas pela relação de precedência direta entre vértices do u e v do grafo, ao final da busca. A aresta (u,v) é de árvore, se v for descoberto por esta mesma aresta.

Buscas em Grafos Classificação de arestas: Arestas de retorno: são as arestas (u,v) que conectam um vértice u a um vértice v já visitado anteriormente. Arestas de avanço: são as arestas (u,v) que conectam um vértice u a um vértice v descendente não-imediato. Arestas de cruzamento: são as demais arestas do grafo.

Buscas em Grafos y z s t x w v u s t z v u y w x

Buscas em Grafos Ordem topológica: pode ser vista como o posicionamento dos vértices numa linha horizontal, onde todas as arestas estão da esquerda para a direita. A ordem topológica é aplicada a grafos direcionados que não possuam ciclos.

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Buscas em Grafos Algoritmo para ordem topológica: Executar a busca em profundidade; Conforme os vértices são finalizados, colocá- los na frente de uma lista encadeada*; Retornar o início da lista; *Pode ser utilizada uma pilha.

Buscas em Grafos Componentes fortemente conexos: são subconjuntos maximais de vértices, onde para cada par de vértices (u,v), existe uma forma de chegar de u até v e vice- versa. Não faz sentido em grafos não- direcionados. Por quê?????

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Buscas em Grafos Algoritmo para gerar os componentes: Executar a busca em profundidade, anotando os tempos de finalização de cada vértice; Calcular o grafo transposto; Aplicar a busca em profundidade no grafo transposto: Considerar os vértices em ordem decrescente de seus tempos de finalização; Mostrar os vértices de cada árvore como um componente fortemente conexo;

Buscas em Grafos Colocar grafos de exemplo e pseudo- codigo no final