Análise Combinatória                 Alice Ahlert Vanessa Paula Reginatto Bernadete adaptado por José Camilo Chaves

ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento. Exemplo I João e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as seguintes regras: I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou três em qualquer ordem. II - em caso de empate, o vencedor será declarado através sorteio. O número de resultados possíveis nesta competição é:

Árvore de possibilidades Legenda V_P vitória Paula V_A vitória Ana Árvore de possibilidades 2 jogo 3 jogo 4 jogo 5 jogo 1 jogo V_P V_P V_P V_P V_P V_A V_A V_A V_A 1 jogo 2 jogo 3 jogo 4 jogo 5 jogo V_A V_A V_A V_A V_P V_P V_A V_P V_P

Exemplo II ANÁLISE COMBINATÓRIA Uma Pessoa quer pintar os 4 cômodos de uma casa, com as cores vermelho e amarelo. Quantas são as possibilidades de pintar esses quatros cômodos.

Desenhando as possibilidades do Exemplo II

ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento. Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem.

Princípio fundamental da contagem .Se um acontecimento A pode ocorrer de “m” maneiras diferentes, um acontecimento B pode ocorrer de “n” maneiras diferentes e um acontecimento C pode ocorrer de “p” maneiras diferentes, o número total de ocorrência desses acontecimento e representado por: m . n. p O mesmo se aplica a mais de 3 ocorrências

Exemplo 1 Carlos tem 2 calças diferentes e 3 camisas diferentes.De quantas maneiras diferentes você pode se vestir usando uma calça e uma camisa?

Resolvendo o problema através da árvore das possibilidades(método direto) Escolha da camisa Escolha da calça 3 possibilidades 3 possibilidades Total de possibilidades 6

Resolvendo o problema da escolha das calças e das camisas através do princípio multiplicativo ( método indireto) Escolha da calça Escolha da camisa 2 possibilidades 3 possibilidades Total de possibilidades ( 2 . 3) = 6

Exemplo 2 Em uma escola, haverá um torneio de futsal do qual tomarão partes 3 classes. Apenas as duas primeiras colocadas(1º e 2º lugar) participarão dos jogos regionais. Determine quantas possibilidades existem para essa classificação Time 1A Time 2B Time 3A

Desenhando as possibilidades do exemplo 2 2º lugar Time 1A 1º lugar Time 2B Time 2B Time 1A Time 3A Time 1A Time 3A Time 2B Time 3A Time 1A Time 2B Time 3A

Utilizando o princípio multiplicativo para resolver esse problema 1º lugar 2º lugar Time 1A Time 2B ou Time 3A Time 2B Time 1A ou Time 3A Time 2B ou Time 1A Time 3A 3 possibilidades x 2 possibilidades = 6

Há 3 linhas de ônibus ligando as cidades A e B , e 2 linhas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A até C, passando por B 3 possibilidades x 2 possibilidades = 6

Para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 2 tipos de teclados, e 2 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças utilizamos o princípio multiplicativo: CPU Teclados Monitores 2 x 3 x 2 = 12

Combinação Simples   Combinação simples é o tipo de agrupamento em a mudança da ordem de um grupo não diferente um grupo do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.  Cn,p = n! / p!.(n-p)!

Exemplo Carlos quer presentear sua namorada, com dois presentes entre três que ele comprou. Quantas são as possibilidades da escolha dos presentes para sua namorada Observamos que nessa situação proposta, se a namorada de Carlos receber de presente um livro e depois um celular e a mesma situação que ela receber um celular e depois um livro. A ordem de receber o presente não altera o grupo

Escolhendo o 1º Presente Livro, Bombom Livro, Celular Bombom, Celular Carlos tem três possibilidades de escolha para presentear sua namorada

FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES: No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta Aplicar a fórmula: Cn,p = n! /p!.(n-p)! O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é: C n, p = n ! p! .( n – p)! C 3, 2 = 3 ! = . 3. 2. 1 2! (3– 2) ! 2! 1! C 3 2 = 6 = 3 => C3,2 = 3 2.1 n= elementos distintos, quantidades de coisas ex: 3 presentes (livro, bombom, celular) p= agrupamentos possíveis dois presentes ex: duplas ou tomados dois a dois.  

Quantas diagonais tem um hexágono Regular (figura de 6 lados) Utilizando fórmula da combinação temos: C n, p = n ! p! .( n – p)! C 6, 2 = 6! 2! .( 6 – 2)! C 6, 2 =720 2 .24 =15-6 =9

PERMUTAÇÃO SIMPLES   Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.  Pn = n!   

Num consultório estão três pessoas para ser atendidas por ordem de chegada. Quantas são as possibilidades dessas três pessoas serem atendidas

Desenhando as possibilidades pela ordem de chegada 1° a chegar 2° a chegar 3° a chegar

Utilizando o princípio multiplicativo pela ordem de chegada 1° a chegar 2° a chegar 3° a chegar 3 x 2 x 1 = 6

– Quantos são os anagramas da palavra BOLA? EXEMPLO 2 – Quantos são os anagramas da palavra BOLA?  BOLA BOAL BLOA BLAO BALO BAOL OBAL OBLA OLBA OLAB OABL OALB LOBA LOAB LBAO LBOA LABO LAOB ABLO ABOL ALOB ALBO AOLB AOBL P 4 = 4! = 24 permutações ou anagramas                                    

ARRANJOS SIMPLES   Arranjos simples é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. An,p = n! /(n-p)!

Um ladrão esquecido pretende arrombar um cofre, mas esqueceu a combinação da senha. Ele sabe que a senha é formada por três números diferentes, entre os números 3,4,7,9 Após quantas tentativas ele poderá abrir o cofre? 1º número 2º número 3º número 4 x 3 x 2 = 24

Utilizando a fórmula do arranjo simples temos An,p = n! /(n-p)! A4,3 = 4! /(4-3)! A4,3 = 24 /1 A4,3 = 24 possibilidades de abrir o cofre

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* pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma­dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5? Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:   * pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)   Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12

Idéia do trabalho: Alice Ahlert Vanessa Paula Reginatto Bernadete Estudantes do curso de Ciências Exatas – UNIVATES Lajeado - RS Adaptado por José Camilo Chaves em 01/09/2007 Prof. de Matemática da E.T.E João Gomes de Araújo Pindamonhangaba-SP