UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplinas: Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período E Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: Tema de aula 5: Flambagem de Colunas OBJETIVOS: Determinar carga axial crítica para flambagem de colunas ideais e reais. Discutir métodos para projetar colunas com cargas concêntricas e excêntricas. SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: 5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de Pino 5.2 Colunas com Vários Tipos de Apoio 5.3 Fórmula da Secante 5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade) “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de Pino Elementos compridos e esbeltos, submetidos à uma carga axial crítica de compressão Pcr , estarão em equilíbrio instável, sujeitos à Flambar, e podem falhar subitamente; Definição de Pcr para uma coluna apoiada em pino; Em uma coluna ideal (homogênea, carga no centróide,linear elástica, fletindo em plano único), P aumentaria até escoar longitudinalmente, Se atingido um Pcr ; com qq pequena F lateral ela fletirá, retirando F ela ficará fletida, se ela retornar é pq P<Pcr; A estabilidade depende de M e da deflexão v na seção; Sabemos que (se elástica com pequeno v) e aqui logo (E.D. homog. 2º ordem coef. ctes) Sol. Geral: C.C: Se -> (sol. trivial, coluna reta) Se , ou Pcr será primeira e menor carga (quando n=1); Neste estado teremos; Conclusões; -Pcr aumenta se L diminui ou I aumenta (seção transv. longe do eixo centroidal) -Flambagem ocorre no eixo da seção transversal de menor I. Ex: -Logo sessões circulares e quadradas são ótimos . (Carga de Euler) (p/ elástica com pequeno v) (veja que; vmáx = C1 em x=L/2 )

è conveniente expressar (A= área da seção, r = raio de giração da área) então: , Logo: Resumindo: O denominador (L/r) é denominado índice de esbeltez (mede flexibilidade e classifica como comprida, curta ou média) (veremos melhor à frente). Gráfico tensão crítica x índice de esbeltez; Ex: (Substituindo (σE)aço =36ksi em σcr na fórmula, obtemos o menor índice de esbeltez admíssivel > 89. Para L/r > 89, estamos na região elástica, e podemos usar a fórmula de Euler para obter Pcr de flambagem.

Exemplo: Uma coluna construída com perfil W8 X 31 de aço A-36, deve ser usado como representado. Determinar a maior carga axial que ela suportará antes que a flambagem se inicie ou o aço escoe saben- do que seu comprimento é de 12 pés. Sol: Observando a tabela do Apêndice B temos: Logo a flambagem ocorre em y-y (menor I). Aplicando a fórmula de Euller vemos qual deveria ser a carga crítica para as dimensões dadas; Esta carga daria uma tensão média de; Tensão está acima do do aço (tabela), Então limitamos a carga pelo escoamento na compressão e não pela flambagem na fórmula de Euller (que valeria apenas na região elástica ultrapassada); Obs: Poderíamos obter σcr por com o raio de giração r=2,02pol(tabela), confira!

Fazer: A alavanca de Aço A-36 é usada para operar uma prensa simples que comprime latas. Determinar o menor diâmetro d da haste BC, com aproximação de 1/8 pol, que pode ser usado se a força máxima P aplicada à alavanca é P = 60 lb. A haste está presa por pino nas extremidades.

5.2 Colunas com Vários Tipos de Apoio Vimos, na fórmula de Euler para 2 apoios de pino, que o comprimento total da viga (L) representava a distância entre os pinos (pts onde o Momento fletor é nulo). Para usar Euler em outros tipos de apoio, basta determinar o comprimento efetivo (Le) entre os pts de Momento fletor nulo (vimos no tema 4 que eles ocorrem nos pts de inflexão). Veja; Logo; Mas usa-se um fator de comprimento efetivo (k); Então; e Aqui é o índice de esbeltez efetivo.

As propriedades da seção são; Exemplo: A coluna de tubo de aço A-36 com 12 pés de altura tem diâmetro externo de 3 pol e espessura de 0,25 pol. Determinar a carga crítica supondo que a extremidade inferior esteja engastada e a superior seja presa por pino. Sol: As propriedades da seção são; A fórmula de Euler para apoio pino/engaste será; onde k=0.7. Obtemos a tensão: que não extrapola a tensão de escoamento 36kip do aço A-36. Portanto a análise por Euler é valida e Pcr=58kip.

Fazer: O piso é suportado pelas duas colunas quadradas de 40 mm de lado. A coluna AB está presa por pino em A e engastada em B, enquanto CD está presa por pino em C e D. Supondo que o piso esteja impedido de se movimentar para os lados, determinar a carga mais pesada que pode ser aplicada sobre ele sem provocar flambagem das colunas. O centro de gravidade da carga está localizado em d = 2 m. Ambas as colunas são feitas de abeto Douglas.

5.3 Fórmula da Secante Euler pressupôs P aplicada no centróide, e coluna mantendo-se reta até flambar em Pcr. Considerando; A e B em pinos, elástica e deflexões pequenas. Analisaremos como em 5.1; Temos; (Eq. Dif. ñ Homogênea) Sol. Geral; as C.C fornecem as ctes; ; Fazemos as subst. trig.; , e -> ; Assim escrevemos a equação da deflexão; vmáx ocorre no centro, , então reescrevemos; FÓRMULA DA SECANTE: È sabido que σmáx na seção (fig. (b)) é dada por; Vemos na fig. (b) que Mas na realidade flambagem inicia ao aplicar P (como se P fosse aplicada ‘e’ excêntrica). Portanto; Atenção: quando não há excentricidade (e=0), e sec. tende para infinito, obtemos a carga axial no centróide P=Pcr; (novamente Euler se e=0) Lançando M e vmáx (com I=r2A), na fórmula da tensão normal máx. acima, temos a FÓRMULA DA SECANTE; RESUMINDO;

Exemplo para aço A-36 Graficamente relacionamos (esbeltez relativa) X (tensão média) Para diferentes razões de excentricidade; Note que; Se ‘e’=0 , temos a curva de Euler (P/A=Pcr/A) Estamos na reg. Elástica->gráfico não ultrapassa σE=36ksi. ‘e’ tem efeito mais marcante para esbeltez menor. Mais esbeltos falham próximo à Euler, qq que seja ‘e’. Concluindo para projetar; 1º determinamos , e a σmáx admissível (σE) da coluna. 2º estimamos PE através de P/A por tentativas na fórmula ou no gráfico Atenção; PE=Pcr apenas se e=0 (Euler), caso contrário (carga excêntrica) teremos PE<Pcr. Exemplo para aço A-36

Exemplo: O elemento de aço A-36, perfil W14 X 30, usado como uma coluna de 20 pés engastada na base e no topo. Determine a carga excêntrica máxima P de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar esse valor com uma carga axial crítica P‘ aplicada através do centroide da coluna. Sol: As propriedades da seção são tabeladas; A fórmula de Euler estima a carga crítica quando e=0; (flambagem neste caso ocorre em y-y (menor I obtido)) (engaste/engaste) Euler só vale na região elástica, vamos ver se P’ atinge a tensão de escoamento; (Limite extrapolado (> 36ksi)) Então limitamos P’ pela tensão de escoamento; Considerando a carga excêntrica como mostrada, flamba em x-x, vamos buscar P que admita σmáx= σE=36ksi através da fórmula da secante, ; Resolvendo por tentativa e erro; (limitamos por esta carga excêntrica )

Fazer: O elemento de aço A-36, perfil W14 X 30, usado como uma coluna de 20 pés livre em cima e engastada na base. Determinar a carga excêntrica máxima P de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar esse valor com uma carga axial crítica P‘ aplicada através do centroide da coluna.

5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade) Vimos que colunas longas (esbeltez > (KL/r)lp ) flambam com tensão elástica abaixo de σE (=σlp)(usamos Euler) Colunas intermediárias ou curtas (esbeltez<(KL/r)lp) escoam plasticamente com tensão σD acima de σE (=σlp) (usamos algum Euler “modificado”); EX: Engessener (ou módulo da tangente) -> -> -> Supõe que Et é inclinação no pt D do diag. σ-ε; Projetos concêntricos: Usam normas de associações com fórmulas e fatores de segurança de acordo com o índice de esbeltez, Ex: Col. Alumínio (2014T6) (Aluminum Association), Engessener Projetos excêntricos: (existem vários modelos) O + simples é conservadoramente supor toda a seção submetida à σmax , e analisar se (σadm do projeto concêntrico anterior). Aumentar ‘A’ até satisfazer desigualdade.

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO! Bibliografia: R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!