Prof. Wellington D. Previero Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br www.pessoal.utfpr.edu.br/previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. 1

Sites de Buscas 2

Sites de Buscas Objetivo dos sites de buscas: atribuir a uma página uma nota com relação a uma dada consulta, bem como retornar os resultados com as páginas com notas maiores em primeiro lugar. 3

Classificação Baseada em Conteúdos Frequência de palavras Quantidade de vezes que uma determinada palavra aparece em uma página Web. Aquelas com frequência maior são consideradas mais relevantes. . Essa abordagem, baseada exclusivamente nas palavras-chave, mostrou-se frágil para editores mais afoitos por boas posições no ranking que passaram a construir páginas recheadas de palavras-chave repetidas de forma a burlar os sistemas. Além desse problema, o critério de palavra-chave somente não oferecia uma avaliação precisa do valor de uma página, pois embora uma página possa estar fortemente associada a uma palavra-chave, isso não significa necessariamente que ela tenha um conteúdo de qualidade.  4 4

Classificação Baseada em Conteúdos . Essa abordagem, baseada exclusivamente nas palavras-chave, mostrou-se frágil para editores mais afoitos por boas posições no ranking que passaram a construir páginas recheadas de palavras-chave repetidas de forma a burlar os sistemas. Além desse problema, o critério de palavra-chave somente não oferecia uma avaliação precisa do valor de uma página, pois embora uma página possa estar fortemente associada a uma palavra-chave, isso não significa necessariamente que ela tenha um conteúdo de qualidade.  5 5

Classificação Baseada em Conteúdos Posição no documento classificar páginas com notas maiores se os termos aparecerem mais próximo do topo da página. Localização é uma métrica mais difícil de ser enganada do que frequência de palavras, já que os autores de página podem colocar somente uma palavra na posição inicial num documento, e repetí-la não afetará os resultados das buscas. 6 6

Classificação Baseada em Links Externos levar em consideração as informações que outras páginas fornecem a respeito de uma determinada página (quem criou o link e o que disseram a respeito dela); páginas com conteúdos duvidosos provavelmente não serão mencionadas (não terão links externos). As métricas de avaliação discutidas se baseiam todas no conteúdo da página. Os sistemas de buscas podem ser melhorados ainda mais considerando informações que outros fornecem a respeito de uma página em questão, especificamente, quem criou os links que apontam para essa página e o que disseram a respeito dela. Isso é particularmente útil quando indexamos páginas de valor duvidoso ou outras que podem ter sido criadas por pessoas que distribuem spams. É improvável que essas páginas recebam menções além das que tenham conteúdo verdadeiro. 7

Classificação Baseada em Links Externos Contagem Simples de Links usar como critério de classificação o número total de links que apontam para uma página em questão. problema: alguém pode criar diversos sites apontando para uma página que queira promover. o usuário pode estar interessado em resultados que tenham atraído a atenção de páginas populares. Artigos acadêmicos são frequentemente avaliados usando-se esse critério, com sua importância associada ao número de outras páginas que fazem referência a ele. Essa métrica sozinha retornaria todas as páginas contendo os termos pesquisados, numa ordem ditada simplesmente por quantos links apontam para as páginas listadas. 8

Classificação Baseada em Links Externos O Filipe é um excelente jogador de futebol! Esse tem futuro! Imagina que o Pelé fale que você joga bem futebol. Muito bom! Agora todo mundo irá te respeitar com relação ao futebol. 9

Classificação Baseada em Links Externos O Renan também tem futuro. O Israel, o Sandro e Wellington então, entende Jô? Alex, o que você colocou na caneca? Mas IMAGINE que ele comece a falar que seus amigos, tios e vizinhos também jogam bem futebol. A credibilidade que você tinha ganho outrora com o comentário do Pelé, agora é muito menor, porque as pessoas já não sabem mais se podem acreditar nos comentários do mesmo. O primeiro, é ter uma grande quantidade de links de outros sites. O segundo, é que esses links sejam de keywords importantes, geralmente palavras que precisam de definição, e não um “call to action” ou artigos relacionados E o terceiro, é que a maioria destes link são de sites relacionados 10

Classificação Baseada em Links Externos Google - Pagerank desenvolvido por Larry Page e Sergey Brin; é um método que classificada documentos da web por sua importânca ou relevância através de um número; essa importância dá pelo número de votos (links) que uma página recebe; também analisa a página que envia o voto. O sistema PageRank é usado pelo motor de busca Google para ajudar a determinar a relevância ou importância de uma página. Foi desenvolvida pelos fundadores do Google, Larry Page e Sergey Brin enquanto cursavam a Universidade de Stanford em 1998. Durante a indexação é calculado o PageRank de cada página. A proposta de Brin e Page foi pública e fez parte dos seus trabalhos de Doutoramento. Ainda hoje se pode encontrar o seu artigo “The anatomy of a large- -scale hypertextual Web search engine” no servidor de artigos da Universidade de Stanford, em http:// infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf. A Essa importância se dá pelo número de votos que uma página recebe. Um voto é um link em qualquer lugar da Internet para aquela página. Votos de páginas mais importantes valem mais do que votos de páginas menos importantes. o Google tem em conta uma série de outros fatores além do número de votos, ou links que uma página recebe; por exemplo, também analisa a página que envia o voto. Os votos que são enviados por páginas de maior relevância, apresentam um peso maior para quem os recebe. O próprio Google já admitiu que o seu ranking não está apenas dependente do algoritmo PageRank, o que é sem dúvida bastante interessante, na medida em que a grande maioria das pessoas fixa-se unicamente nesse algoritmo e esquece todas as outras ferramentas e formas de melhorar o seu ranking privado. Nessa ilustração, uma simplificação do sistema do PageRank, cada bola representa uma página e o tamanho de cada uma a sua importância (PageRank). Quanto maior a bola, mais valor tem seu voto: repare que a bola superior vermelha é grande mesmo recebendo só um voto, pois o voto que ela recebe, da bola maior amarela, tem mais valor. 11

Classificação Baseada em Links Externos Google – Pagerank fórmula: PR(P) = pagerank da página P Pi = página Pi que tem link para a página P c(Pi) = número de links da página Pi p = fator de amortecimento (damping) O próprio Google já admitiu que o seu ranking não está apenas dependente do algoritmo PageRank, o que é sem dúvida bastante interessante, na medida em que a grande maioria das pessoas fixa-se unicamente nesse algoritmo e esquece todas as outras ferramentas e formas de melhorar o seu ranking privado. 12

Classificação Baseada em Links Externos Exemplo: p=0.85 Sistema com três incógnitas: PR(A), PR(B) e PR(C). Solução: PR(A) = 1,16 PR(B) = 0,64 PR(C) = 1,19 13

Classificação Baseada em Links Externos O sistema pode ter milhões ou bilhões de variáveis; Métodos para resolução de sistemas lineares: Métodos diretos: Método de Eliminação de Gauss e Fatoração LU Métodos iterativos 14

Sistemas Lineares Considere o sistema linear Onde: aij são os coeficientes do sistema xj são as incógnitas bj são as constantes . 15

Sistemas Lineares Podemos escrever o sistema na forma matricial (Ax=b) 16

Método de Eliminação de Gauss Teorema: Seja Ax=b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações descritas abaixo, obtemos um novo sistema A’x=b’ equivalente ao sistema Ax=b. a) trocar duas linhas;

Método de Eliminação de Gauss b) multiplicar uma equação por uma constante não nula; c) adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação; +

Método de Eliminação de Gauss Considere o sistema

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=0 onde:

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=1 Linha 2 + Linha 1 L11= L01

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=1 Linha 3 +

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=1 Linha 4 +

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=2 Linha 3 + Linha 1 L21= L11 Linha 2 L22= L12

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=2 Linha 4 +

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=3 Linha 4 + Linha 1 L31= L21 Linha 2 L32= L22 Linha 3 L33= L23

Método de Eliminação de Gauss Assim, o sistema original é equivalente

Método de Eliminação de Gauss Exercício 1: Resolva o sistema linear utilizando o método de Eliminação de Gauss.

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=0 Etapa k=1 . .

Método de Eliminação de Gauss Etapa k=2 Etapa k=3 . . Solução:

Método de Eliminação de Gauss Algoritmo Qual o papel de cada etapa k no método de Eliminação de Gauss? Quantas etapas são necessárias no método de Eliminação de Gauss num sistema nxn? Laço de Repetição: k variando de 1 até n-1

Método de Eliminação de Gauss Algoritmo Em cada etapa k, as linhas abaixo da diagonal principal são atualizadas. Numa etapa k, quais linhas serão atualizadas? Laço de repetição: i variando de (k+1) até n. Para cada linha i, deve-se calcular o multiplicador m para que todos os elementos j sejam atualizados, coluna por coluna. Para a linha i, quais colunas serão atualizadas? Laço de repetição: j variando de k até n.

Método de Eliminação de Gauss Resumo: k = quantidade de etapas (de 1 até n-1) i = linhas alteradas na etapa k (de k+1 até n) Para cada linha deve ser calculado o multplicador m j = elementos que serão alterados na linha i na etapa k (de k até n) Atualizar o coeficiente aij Atualizar a constante bi Algoritmo Para k=1 até n-1 Para i=k+1 até n m=aik/akk Para j=k até n aij = aij - m* akj Fim bi = bi – m* bk

Método de Eliminação de Gauss Vamos agora desenvolver o algoritmo para resolver o sistema triangular superior:

Método de Eliminação de Gauss

Método de Eliminação de Gauss

Método de Eliminação de Gauss Assim temos:

Sistema Triangula Superior De modo geral, num sistema nxn o valor de xi é determinado por:

Sistema Triangular Superior Algoritmo xn = bn/ann Para i = n-1 até 1 soma = 0 Para j = i+1 até n soma = soma + aij* xj Fim xi = (bi-soma)/aii . .

Método de Eliminação de Gauss Estratégia de Pivotamento O algoritmo para o método de Eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores em cada iteração. O termo akk é denominado pivô. O que acontece se o pivô for nulo?

Método de Eliminação de Gauss Pivotamento Parcial no início de cada etapa k, escolher como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes aik, i=k,...,n; trocar as linhas k e i se for necessário.