Matemática Profª Daniela Freitas

Trigonometria

Triângulo Retângulo → 3 lados e 3 ângulos , sendo um deles de 90° Trigonometria → é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos dos triângulos. Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, geografia, astronomia, medicina, engenharia, dentre outras. Triângulo Retângulo → 3 lados e 3 ângulos , sendo um deles de 90° 𝐴𝐵 →cateto −medida 𝒄 𝐴𝐶 → cateto – medida b 𝐵𝐶 → hipotenusa - lado oposto ao ângulo de 90° - medida a 𝐴𝐷 → altura relativa a hipotenusa – medida h 𝐵𝐷 → projeção do cateto c sobre a hipotenusa – medida m 𝐶𝐷 → projeção do cateto b sobre a hipotenusa – medida n

Relações métricas no triângulo retângulo cateto ² = hipotenusa. projeção → 𝒃 𝟐 =𝒂 . 𝒏 𝒄 𝟐 =𝒂 . 𝒎 altura² = projeção . projeção → 𝒉 𝟐 =𝒎 . 𝒏 hipotenusa² = cateto² + cateto² → 𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 Teorema de Pitágoras cateto . cateto = hipotenusa . altura → 𝒃 . 𝒄=𝒂 . 𝒉

Relações trigonométricas no triângulo retângulo 𝒔𝒆𝒏 𝜶= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 = 𝒃 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝜶= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 = 𝒄 𝒂 𝒕𝒈𝜶= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒃 𝒄 𝑩 + 𝑪 =𝟗𝟎° 𝒔𝒆𝒏 𝑩 =𝒄𝒐𝒔 𝑪 𝒄𝒐𝒔 𝑩 =𝒔𝒆𝒏 𝑪 𝒕𝒈 𝑩 = 𝟏 𝒕𝒈 𝑪 sendo 𝒕𝒈 𝑪 ≠𝟎

Valores notáveis 1 , 2 , 3 3 , 2 , 1 Tudo sobre 2 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒕𝒈 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 1 , 2 , 3 3 , 2 , 1 Tudo sobre 2 A raiz vai no 2 e também no 3 A tangente é diferente Veja que legal Raiz de 3 sobre 3 1 Raiz de 3

Relações métricas em um triângulo qualquer Teorema dos Cossenos Teorema dos Senos 𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 −𝟐 . 𝒃 . 𝒄 . 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒃 𝒔𝒆𝒏 𝜷 = 𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝜸 =𝟐 𝑹

Arcos trigonométricos Em trigonometria utilizamos o rad como unidade de medida, logo substituiremos o ângulo dado em graus em uma circunferência, pelo respectivo valor em radianos 𝟐𝝅=𝟑𝟔𝟎° 𝝅=𝟏𝟖𝟎 ° 1 rad ≈𝟓𝟕° 𝜋 4 𝜋 2 3𝜋 4 5𝜋 4 7𝜋 4 𝜋 0=2𝜋 3𝜋 2 1° quadrante 0 <𝒙 < 𝝅 𝟐 2° quadrante 𝝅 𝟐 <𝒙 <𝝅 1° quadrante 𝝅 <𝒙 < 𝟑𝝅 𝟐 4° quadrante 𝟑𝝅 𝟐 <𝒙 <𝟐𝝅

Cosseno → abscissa – eixo x Seno → ordenada – eixo y Cosseno → abscissa – eixo x 𝜋 4 𝜋 2 3𝜋 4 5𝜋 4 7𝜋 4 𝜋 0=2𝜋 3𝜋 2 1 -1 𝜋 4 𝜋 2 3𝜋 4 5𝜋 4 7𝜋 4 𝜋 0=2𝜋 3𝜋 2 -1 1

Tangente → paralela ao eixo y 𝟎° 𝝅 𝟔 𝝅 𝟒 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 −𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒕𝒈 𝟑 𝟑 𝟑

Relação Trigonométrica Fundamental Outras razões trigonométricas 𝒔𝒆𝒄 𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙= 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙= 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏 𝒕𝒈 𝒙 𝒔𝒆 𝒏 𝟐 𝒙+𝒄𝒐 𝒔 𝟐 𝒙=𝟏 𝒔𝒆 𝒄 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝒄𝒐 𝒔 𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐 𝒔 2 𝒙+𝒔𝒆 𝒏 2 𝒙 𝒄𝒐 𝒔 2 𝒙 =𝟏+𝒕 𝒈 2 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆 𝒄 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆 𝒏 2 𝒙+𝒄𝒐 𝒔 2 𝒙 𝒔𝒆𝒏 2 𝒙 =𝟏+𝒄𝒐𝒕𝒕 𝒈 2 𝒙

Relações entre a soma, diferença e o dobro de um ângulo 𝑠𝑒𝑛 𝑎+𝑏 =𝑠𝑒𝑛 𝒂 . cos 𝒃+𝑠𝑒𝑛 𝒃 . cos 𝒂 𝑠𝑒𝑛 𝑎−𝑏 =𝑠𝑒𝑛 𝒂 . cos 𝒃−𝑠𝑒𝑛 𝒃 . cos 𝒂 𝑠𝑒𝑛 2 𝑎 =2 . 𝑠𝑒𝑛 𝒂 . cos 𝒂 𝑐𝑜𝑠 𝑎+𝑏 =𝑐𝑜𝑠 𝒂 . cos 𝒃−𝑠𝑒𝑛 𝒂 . sen 𝒃 𝑐𝑜𝑠 𝑎−𝑏 =𝑐𝑜𝑠 𝒂 . cos 𝒃+𝑠𝑒𝑛 𝒂 . sen 𝒃 cos (2𝑎) =𝑐𝑜 𝑠 2 𝒂 −𝑠𝑒 𝑛 2 𝒂 𝑡𝑔 𝑎+𝑏 = 𝑡𝑔 𝒂+𝑡𝑔 𝒃 1 −𝑡𝑔 𝒂 . 𝑡𝑔 𝒃 𝑡𝑔 𝑎−𝑏 = 𝑡𝑔 𝒂−𝑡𝑔 𝒃 1+𝑡𝑔 𝒂 . 𝑡𝑔 𝒃 𝑡𝑔 2𝑎 = 2𝑡𝑔 𝒂 1 −𝑡𝑔² 𝒂

+ + - - Função seno → 𝑓 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 -1 𝜋 2 3𝜋 4 𝜋 4 0=2𝜋 𝜋 5𝜋 4 7𝜋 4 3𝜋 2 1 -1 + + - -

+ - - + Função cosseno → 𝑓 𝑥 =𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 -1 𝜋 2 3𝜋 4 𝜋 4 0=2𝜋 𝜋 5𝜋 4 7𝜋 4 3𝜋 2 -1 1 + - - +

Função tangente → 𝑓 𝑥 =𝑡𝑔 𝑥 - + + -

1-) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá́ Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscos, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o comprimento do tempo previsto de medição. Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um angulo de 60º ; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê̂ na figura, e o avistou sob um angulo de 30º . Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a-) 1,8 km b-) 1,9 km c-) 3,1 km d-) 3,7 km e-) 5,5 km

2-) (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α . A figura ilustra essa situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α=30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB=2000m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:   a-) 1000 m b-) 1000 3 m c-) 2000 3 3 m d-) 2000 m e-) 2000 3 m

3-) (ENEM 2006 – adaptada) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a-) 1,8m b-) 1,9m c-) 2,0m d-) 2,1m e-) 2,2m

a-) 7,5 e 14,5 b-) 9 e 16 c-) 9,3 e 16,3 d-) 10 e 17 e-) 13,5 e 20,5 4-) (ENEM 2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.  Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a  a-) 7,5 e 14,5 b-) 9 e 16 c-) 9,3 e 16,3 d-) 10 e 17 e-) 13,5 e 20,5

5-) (UNESP) O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangente do ângulo do vértice desse triângulo é igual a: a-) − 13 2 b-) 13 5 c-) − 15 3 d-) 14 7 e-) − 15 7  

6-) (UNICAMP – adaptada) Analise as afirmações abaixo.: cossec 45º = 2 2 sec 30º = 2 cotg 30º = 3 sec ( 𝜋 2 ) = 0 sen ( 55𝜋 2 )= 1   a-) existe apenas uma alternativa correta b-) todas estão corretas c-) todas estão incorretas d-) existem duas alternativas corretas e-) existe apenas uma afirmativa falsa

7-) (MACKENZIE) Observando o triângulo da figura, podemos afirmar que cos 𝛼−𝑠𝑒𝑛 𝛼 1−𝑡𝑔 𝛼 é igual a :

8-) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im=[-1, 1] e período 𝝅 que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir: a) y = 1 + cos x. b) y = 1 - sen x. c) y = sen (-2x). d) y = cos (-2x). e) y = - cos x.

9-) (FUVEST) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a) sen x b) 2 sen 𝑥 2 c) 2 sen x d) 2 sen 2x e) sen 2x

10-) (FEI) Sabendo que tg(x) = 12 5 e que 𝜋 < x < 3𝜋 2 , podemos afirmar que: a) cotg(x) =− 5 12 b) sec(x) = 13 5 c) cos(x) = − 5 13 d) sen(x) = 12 13 e) nenhuma anterior é correta 11- (VUNESP) Se 𝑠𝑒𝑛 𝑥= 2 3 , o valor de 𝑡 𝑔 2 𝑥 é: a) 0,6 b) 0,7 c) 0,8 d) 0,9 e) 1

12-) (Fuvest) Qual das afirmações a seguir é verdadeira ? a) sen 210° < cos 210° < tg 210° b) cos 210° < sen 210° < tg 210° c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210° d) tg 210° < cos 210° < sen 210° e) sen 210° < tg 210° < cos 210°

13-) A função f(x) = sen x, x Æ IR, tem como gráfico a senóide que, no intervalo [0,2𝜋], está representada na figura Se g(x) = a sen 3x, onde a Æ IR e a · 0, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. ( ) O domínio da função g é igual ao domínio da função f, independente do valor de a. ( ) Para todo a, o conjunto imagem da função f está contido no conjunto imagem da função g. ( ) O período da função g é maior que o período da função f. A sequência correta é a) V - F - F. b) V - V - F. c) F - V - V. d) V - F - V. e) F - V - F.

14-) A soma dos números correspondentes às medidas a, b, c e h no triângulo da figura abaixo formam uma senha que abre o cofre. Qual a senha que abre o cofre ? a) 124 b) 134 c) 174 d) 144 e) 154

15-) (FATEC-SP) Se os catetos de um triângulo retângulo T, medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é: a) 12/5 m             b) 5/13 m           c) 12/13 m           d) 25/13 m             e) 60/13 m