Contagem Aula 2, ciclo 1

Exemplo 1. João está em duvida de como se vestir para sair, após um tempo pensando ele ficou em dúvida entre 2 blusas e 2 calças, de quantas formas diferentes ele pode combinar essas peças ? Calça 1 ( B1 ,C1 ) Blusa 1 Calça 2 ( B1 ,C2 ) João Calça 1 ( B2 ,C1 ) blusa 2 Calça 2 ( B2,C2 )

Exemplo 2. UMA BANDEIRA COM A FORMA ABAIXO VAI SER PINTADA UTILIZANDO DUAS DAS CORES DADAS. a) Listes todas as possíveis bandeiras, quantas são elas?

Escolher a cor a ser utilizada na parte externa; No caso deste problema, uma forma natural de planejar o preenchimento da bandeira é: Escolher a cor a ser utilizada na parte externa; A seguir, escolher a cor para o circulo interno. Cor externa vermelha Cor externa azul Cor externa amarela 6 bandeiras diferentes Note que a primeira decisão (cor externa) pode ser feita de 3 maneiras diferentes, já que a cor externa por ser qualquer uma das cores disponíveis. Uma vez tomada a decisão, a cor escolhida não pode ser mais utilizada, restando então 2 cores.

Principio fundamental da contagem (PFC) se uma decisão d1 pode ser tomada de x modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão d2 pode ser tomada de y modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões d1 e d2 é igual ao produto x.y

b) Quantas são as bandeiras possíveis no caso em que 4 cores estão disponíveis? E 5 cores? Neste caso o princípio é o mesmo do anterior. Para 4 cores, temos agora 4 possibilidades para a cor externa, uma vez escolhida a cor para está nos restam então 3 possibilidades para a cor do circulo interno. Sendo então 4 x 3 = 12 Para 5 cores, temos então 5 possibilidades para a cor externa, uma vez escolhida a cor para está nos restam então 4 possibilidades para a cor do circulo interno. Sendo então 5 x 4 = 20

Exemplo 3. Considere três cidades A, B e C, de forma tal que existem três estradas ligando A à B e dois caminhos ligando B à C, como ilustrado na figura abaixo. A B C De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B? De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B, e voltar para A novamente, passando por B? De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B, e depois voltar para A sem repetir estradas e novamente passando por B?

Podemos ir de A para C de 6 formas diferentes. Note que para a primeira escolha temos 3 possibilidades, e em seguida, para segunda escolha temos 2 possibilidades, portanto usando o pfc, o número de formas que podemos ir de a até c é representado por: A 3 B 2 C 3 x 2 = 6 Podemos ir de A para C de 6 formas diferentes.

Podemos ir de A para C e depois voltar para A de 36 formas diferentes. b) Neste caso a resolução é semelhante a anterior, porem devemos adicionar a volta a partir de c, até a. A 3 B 2 C 2 B 3 A Podemos ir de A para C e depois voltar para A de 36 formas diferentes. 3 x 2 x 2 x 3 = 36

c) Neste ultimo caso note que devemos ter cuidado na hora da volta, pois não podemos repetir as estradas já utilizadas. A 3 B 2 C 1 B 2 A ENTÃO NA HORA DE VOLTAR DE C PARA B SÓ NOS RESTA UMA ESCOLHA DAS DUAS POSSIVEIS, POIS UMA JÁ UTILIZAMOS PARA CHEGAR A C. E NA HORA DE VOLTAR DE B PARA A SÓ NOS RESTAM DUAS ESCOLHA DAS TRÊS POSSIVEIS, POIS UMA JÁ UTILIZAMOS PARA IR DE A ATÉ B. Podemos ir de A para C e depois voltar para A sem repetir estradas de 12 formas diferentes. 3 x 2 x 1 x 2 = 12

x x = 448 números. 7 escolhas 8 escolhas 8 escolhas Exemplo 4. Quantos números de três algarismos podemos formar com (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7) ? (1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7) Aqui não podemos usar o 0 Aqui podemos usar todos os disponíveis Aqui podemos usar todos os disponíveis 7 escolhas x x = 448 números. 8 escolhas 8 escolhas