Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Castelo Branco Crescer com a… Matemática Encontro de Educadores e Professores do 1º Ciclo Paulo Afonso Francisco Costa Contextualização José Filipe Padrões geométricos Padrões Numéricos Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Castelo Branco Triângulo Mágico Multiplicação Egípcia Multiplicação Russa Tomar, 12 de Setembro de 2006

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Um exercício de adição: adicionar todos os números de 1 a 1000 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 997 + 998 + 999 + 1000 A resposta foi breve: 500500. 1 + 1000 = 1001 2 + 999 = 1001 3 + 998 = 1001 4 + 997 = 1001 5 + 996 = 1001 … 500 + 501 = 1001 Trata-se portanto de parcelas de 1001. Então: Um professor para manter os alunos ocupados passou um exercício de adição. Somar todos os números de 1 a 100. Mas para o aluno que costuma ser mais rápido a adição seria de todos os números de 1 a 1000. 500 x 1001 = 500500 500

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Nascido(a): 30 de Abril de 1777 , Braunschweig Falecido(a): 23 de Fevereiro de 1855 , Göttingen Era conhecido como o príncipe dos matemáticos. Muitos consideram-no o maior génio da história da Matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240. Um professor para manter os alunos ocupados passou um exercício de adição. Somar todos os números de 1 a 100. Mas para o aluno que costuma ser mais rápido a adição seria de todos os números de 1 a 1000. Carl Friedrich Gauss

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Se a sequência for… 8, 9, 10, 11, 12, 13 10+11= 21 9 + 12 = 21 8 + 13 = 21 Para saber a soma de todos os seus termos: Adiciona-se o 1º termo com o último: 8 + 13 = 21 6 E multiplica-se por metade das parcelas: A sucessão dada é uma progressão aritmética porque se passa de um termo ao termo seguinte adicionando um valor que é constante. 21 x = 21 x 3 = 63 2

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 E se o padrão numérico for… 6, 8, 10, 12, 14, 16 10 + 12 = 22 8 + 14 = 22 6 + 16 = 22 Será que se verifica o mesmo fenómeno? A soma de todos os seus termos é 22 x 3 = 66 A sucessão dada é uma progressão aritmética porque se passa de um termo ao termo seguinte adicionando um valor que é constante. Tratando-se de um padrão numérico idêntico mas com um número ímpar de termos … 10, 13, 16 A soma dos seus termos será, da mesma forma: (10 + 16) x 1,5 = 39

__ + __ + __ + __ + __ + __ + __ = 91 Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 O próprio conceito de média também poderá aqui ser explorado: Neste verão, o Gustavo começou a dedicar-se ao ciclismo. Em sete dias percorreu 91km. O Gustavo em cada dia andou mais 1 quilómetro do que no dia anterior. Quantos quilómetros fez por dia? Em média, por dia é percorrido 91:7 =13, isto é: - 1 - 1 - 1 +1 +1 +1 10 13 11 13 12 13 13 14 13 15 13 16 13 __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ = 91 A sucessão dada é uma progressão aritmética porque se passa de um termo ao termo seguinte adicionando um valor que é constante. O valor central, mantém-se

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Num encontro de 6 amigos, quantos apertos de mão poderemos contar, sabendo que todos se cumprimentam desta forma? F 1 E 5 A 2 D + B 4 3 C  Pela noção de média: 3 x 5 = 15 Uma situação da vida real: Quantos apertos de mão são dados quando 6 amigos se encontram num jantar?  Pela soma da progressão: (1 + 5) x 2,5 = 15

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Para o mesmo problema, poder-se-ia recorrer a outro esquema: Nº de apertos de mão Nº de amigos A B C D E F A B C 6 15 Uma situação da vida real: Quantos apertos de mão são dados quando 6 amigos se encontram num jantar? D E F 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 E se em vez de 6, fossem 5 amigos. Quantos apertos de mão seriam dados? Nº de apertos de mão Nº de amigos A B C D E A B 5 10 C 6 15 Uma situação da vida real: Quantos apertos de mão são dados quando 6 amigos se encontram num jantar? D E 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Caso fossem 4 amigos. Quantos apertos de mão seriam? Nº de apertos de mão Nº de amigos A B C D 2 1 3 3 A 4 6 B 5 10 C 6 15 Uma situação da vida real: Quantos apertos de mão são dados quando 6 amigos se encontram num jantar? D 7 21 1 + 2 + 3 = 6 Números triangulares p

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 25 + 4 + 3 + 2 + 1 5 5 5 5 1 + 2 + 3+ 2 + 1 = 9 = 3 x 3 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4 x 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5 x 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 = 6 x 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 49 = 7 x 7 Números quadrados C

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 Fazendo as contagens…

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Adicionando n termos desta sequência, o que se obtém? Qualquer número quadrado, resulta da soma de números ímpares.

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 1 + 2 = 3 4 + 5 = + 6 7 + 8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 1 + 3 = 4 5 + 7 + 9 = 10 + 11 12 + 14 + 16 + 18 = 19 + 20 + 21 22 + 24 + 26 + 28 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34

Considerando que temos: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Considerando que temos: 8 notas de 5 euros. É fácil reconhecer que a mesma quantia se pode obter com metade das notas mas, com o dobro do seu valor. Isto é, 4 notas de 10 euros. Ou ainda, 2 notas de 20 euros. Portanto: 8 x 5 x2 :2 4 x 10 x2 :2 2 x 20

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Então, se quisermos multiplicar 32 por 13, poderemos pensar: Em 32 grupos de 13 elementos cada um. 32 Grupos de 13 elementos x

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Grupos elementos 32 x 13 ou 16 26 ou 8 52 ou 4 104 ou 2 208 …ou, finalmente: 1 416 …então, 32 x 13 = 416 Neste caso foi fácil, porque 32, é uma potência de base 2 e, portanto, é sempre possível as sucessivas divisões por 2. Vejamos então um caso em que isso não acontece:

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 42 x 13 :2 x2 21 26 :2 x2 10 ? 21 não se deixa dividir exactamente por 2. 52 :2 x2 5 104 Então, uma vez que se trata de 21 grupos de 26 elementos, consideramos apenas 20 grupos, e guardamos 1 grupo de 26 elementos. :2 x2 2 ? 5 não se deixa dividir exactamente por 2. 208 :2 x2 Então, uma vez que se trata de 5 grupos de 104 elementos, consideramos apenas 4 grupos, e guardamos 1 grupo de 104 elementos. 1 416

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 42 x 13 21 26 10 52 5 104 2 208 1 416 …então, 42 x 13 = 416 + 104 + 26 = 546

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Sistematizando, podemos recorrer ao algoritmo da multiplicação russa (105 x 12), aplicando as seguintes regras: 105 x 12 A coluna da esquerda é preenchida com metade do valor da linha superior até encontrar o valor 1. Caso não seja um número inteiro, considera-se apenas a parte inteira. 52 24 26 48 A coluna da direita é preenchida com o dobro do valor da linha superior, até ter correspondência com os valores da coluna da esquerda. 13 96 6 192 A soma dos valores da coluna da direita que têm correspondentes ímpares é o produto procurado. 3 384 Explicar que ao considerar a parte inteira da divisão por dois é o mesmo que metade do valor pretendido menos1 1 768 + 105 x 12 = 1260

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 É do conhecimento de todos que qualquer número inteiro ou é potência de base dois ou então, é possível decompô-lo numa soma de potências de base dois. Senão, vejamos: 1 = 20 2 = 21 3 = 1 + 2 = 20 + 21 4 = 22 5 = 1 + 4 = 20 + 22 6 = 2 + 4 = 21 + 22 7 = 1 + 2 + 4 = 20 + 21 + 22 8 = 23 9 = 1 + 8 = 20 + 23 10 = 2 + 8 = 21 + 23 + 2 1 11 = 8 20 23 21 8 12 22 + = 23 4 … …

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Então, se quisermos multiplicar 24 por 17, poderemos pensar: Em 24 grupos de 17 elementos cada um. 24 Grupos de 17 elementos x

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Grupos elementos 24 x 17 1 17 (1 grupo tem 17 elementos) 2 34 (2 grupos têm 34 elementos) 4 68 (4 grupos têm 68 elementos) 8 136 (8 grupos têm 136 elementos) 16 272 (16 grupos têm 272 elementos)

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Grupos elementos 24 x 17 Então os valores correspondentes a 24 grupos são: 1 17 2 34 4 68 8 136 16 272 + + 24 408 Já não interessa duplicar mais, porque as potências de base 2 já são suficientes para formar 24 grupos. Então 24 grupos de 17 elementos são: 408 24 x 17 = 408

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo disponível apenas uma cor? 1 - Podemos pintar todos os triângulos. 2 - Podemos pintar três triângulos. 3 - Podemos pintar dois triângulos. 4 - Podemos pintar apenas um triângulo. 5 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 1 – Pintando quatro triângulos, temos 1 solução. 2 – Pintando três triângulos, temos 4 soluções. 3 – Pintando dois triângulos, temos 6 soluções. 4 – Pintando um triângulo, temos 4 soluções. 5 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 O total de soluções é: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 Observemos o triângulo numérico seguinte: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 … … … … … … … …

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo disponível apenas uma cor? 1 - Podemos pintar todos os triângulos. 2 - Podemos pintar dois triângulos. 3 - Podemos pintar um triângulo. 4 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 1 - Pintando todos os triângulos, temos uma solução. 2 – Pintando dois triângulos, temos 3 soluções. 3 – Pintando um triângulo, temos 3 soluções. 4 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 O total de soluções é: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 No mesmo triângulo numérico: 1 = 20 1 2 = 21 1 1 4 = 22 1 2 1 8 = 23 1 3 3 1 1 16 = 24 4 6 4 1 32 = 25 1 5 10 10 5 1 64 = 26 1 6 15 20 15 6 1 … … … … … … … …

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 E M E 0 6 -  4 A 7 DE JUNHO 2.º ENCONTRO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA ELEMENTAR Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Utilizando os números naturais até 9, inclusivé, completar o triângulo seguinte de forma a obter-se uma soma mágica de 10 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). C (a) 1 + 2 + 7 = 10 (b) 1 + 3 + 6 = 10 (c) 1 + 4 + 5 = 10 (d) 2 + 3 + 5 = 10 (a) + (b) + (c) (a) + (b) + (d) (a) + (c) + (d) (b) + (c) + (d) 1 1 1 7 6 7 4 6 4 2 5 3 2 3 5 3 2 5

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). C (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 Iniciando com a adição A ABC ACD ADE AEF AFG AGH ABD ACE ADF AEG AFH   ABE ACF ADG AEH ABF ACG ADH ABG ACH ABH Iniciando com a adição B BCD BDE BEF BFG BGH BCE BDF BEG BFH   BCF BDG BEH BCG BDH BCH Iniciando com a adição C CDE CEF CFG CGH CDF CEG CFH   CDG CEH CDH 15 10 21

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). P C (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 Iniciando com a adição D DEF DFG DGH DEG DFH   DEH Iniciando com a adição E EFG EGH EFH   Iniciando com a adição F FGH 1 3 6

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 a + b + c a + b + d a + b + e a + b + f a + b + g a + b + h 1 9 5 2 8 6 4 a + c + d a + c + e a + c + f a + c + g a + c + h

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 a + d + e a + d + f a + d + g a + d + h a + e + f a + e + g a + e + h

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 a + f + g a + f + h a + g + h

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 b + c + d b + c + e b + c + f b + c + g b + c + h b + d + e b + d + f b + d + g b + d + h 5 4 6 1 8 2 7

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 b + e + f b + e + g b + e + h b + f + g b + f + h b + g + h 2 5 8 1 6 7

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 c + d + e c + d + f c + d + g c + d + h c + e + f c + e + g c + e + h 4 3 8 5 2 9 6 7

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 c + f + g c + f + h c + g + h

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 d + e + f d + e + g d + e + h d + f + g d + f + h 2 8 5 3 7 6 4 d + g + h

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 e + f + g e + f + h e + g + h f + g + h 5 4 6 2 7 3 8

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos possíveis). (a) 1 + 9 + 5 = 15 (b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15 (e) 2 + 7 + 6 = 15 (f) 3 + 8 + 4 = 15 (g) 3 + 7 + 5 = 15 (h) 4 + 6 + 5 = 15 a + b + d a + b + h a + c + d a + c + h b + d + e b + d + h 1 9 5 2 8 6 1 9 5 4 6 8 2 4 9 1 5 8 9 2 4 6 5 1 2 5 8 1 6 7 5 4 6 1 8 2 b + g + h c + d + f c + d + h c + e + h d + e + g d + e + h 2 5 8 1 6 7 2 9 4 5 6 7 2 8 5 3 7 6 2 8 5 4 6 7 4 3 8 5 2 9 2 9 4 6 5 8 d + f + g d + f + h e + g + h f + g + h 3 7 5 2 8 4 4 6 5 2 8 3 5 4 6 2 7 3 3 8 4 6 5 7

Transforme o triângulo seguinte num triângulo mágico de soma 21: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Transforme o triângulo seguinte num triângulo mágico de soma 21: 9 4 5 8 6 7 (a) 9 + 8 + 4 = 21 (b) 9 + 7 + 5 = 21 (c) 8 + 7 + 6 = 21

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 v

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Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 No famoso triângulo de Pascal também os números triangulares não estão esquecidos. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … … … … … v

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Números triangulares 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … … … … … v

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 “parece não ser polémica a ideia de que muita da matemática que se ensina nas nossas escolas não é compreendida. Muitos são os alunos que não compreendem o que fazem, limitam-se a escolher fórmulas e/ou outros algoritmos para darem respostas a questões rotineiras cujo enunciado é que vai variando e, como tal, desmotivadoras...” (Fernandes, 1989, p. 4). Que Ensino? Que Avaliação?

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 - Perspectivas Actuais de Ensino-Aprendizagem da Matemática - PENSAR CONHECER CONCEITOS COMPETÊNCIAS ATITUDES RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: CONTEÚDO SOBRE METODOLOGIA ATRAVÉS OBJECTIVO PARA

ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Situação A: “Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. Cada participante necessita 3 bolas. Quantas bolas serão distribuídas?” 92 x 3 = 276

ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: 46 D Situação B: “Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. Uma das regras deste torneio é que joguem dois participantes de cada vez, sendo eliminado imediatamente do torneio o jogador que perder. Quantos jogos será necessário organizar para se conhecer o vencedor dos vencedores?” 23 D 92 P 46 J 46 V 23 J 23 V 11 D 6 D 11 J 22 V 6 J 12 V 11 V campeão 6 V 1 J 3 D vice-campeão 1 D 3 J 3 V 2 V 1 J 1 V 2 V

ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Situação B: “Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. Uma das regras deste torneio é que joguem dois participantes de cada vez, sendo eliminado imediatamente do torneio o jogador que perder. Quantos jogos será necessário organizar para se conhecer o vencedor dos vencedores?” 46 J 23 J 46 J 23 J 11 J 6 J 11 J 3 J 6 J 1 J + 1 J 1 J 91 J 3 J 1 J j = p - 1

ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: SITUAÇÃO A: SITUAÇÃO B: Rotina Novidade Mecanização Desafio Desmotivação Motivação Ausência de Dificuldade Existência de Alguma Dificuldade Resolução Imediata Resolução Não Imediata Conhecimento do Processo de Resolução Necessidade de se Procurar a Resolução EXERCÍCIO PROBLEMA

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 PROBLEMA: “Um indivíduo está perante um problema quando encontra uma questão à qual não consegue responder ou uma situação que não é capaz de resolver usando o conhecimento imediatamente disponível. Tem que pensar num caminho de combinação da informação de que dispõe, no sentido de poder chegar à solução do problema” (Kantowski, 1974, p. 1).

SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: PROBLEMAS DE: Diferença entre Problema e Exercício Modelos de Resolução de Problemas 1 Passo Tipos de Problemas 2 ou mais Passos Processo Tipo Puzzle Aplicação Conteúdo

SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: ESTRATÉGIAS: Diferença entre Problema e Exercício Fim para o início Modelos de Resolução de Problemas Dedução Lógica Tipos de Problemas Descoberta de um Padrão Estratégias de Resolução Recorrer a Problemas mais Simples Esquema ou Figura Tentativa e Erro ...

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Qual dos círculos deves seleccionar para envolver as peças azuis? Porquê? E qual deves seleccionar para envolveres as peças vermelhas? Porquê? (Classificação simples).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Em que lugar vais colocar o círculo amarelo? Porquê? E onde vais colocar o triângulo vermelho? Porquê? (Classificação simples).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Quanto à cor, faz corresponder cada elemento da coluna da esquerda a um e um só elemento da coluna da direita. Porque é que fizeste assim? (Correspondência termo a termo).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Em qual das filas existem mais triângulos? (Conservação da quantidade).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 É fácil de ver que o rectângulo verde é mais pequeno que o rectângulo vermelho. Por sua vez, também é fácil ver que o rectângulo vermelho é mais pequeno que o rectângulo azul. Qual será o rectângulo mais pequeno, o verde ou o azul? (Transitividade).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Dá seguimento à seguinte sequência de figuras geométricas. Explica como fizeste. (Seriação).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Ordena, de forma crescente, os seguintes círculos, atendendo ao tamanho. (Ordenação).

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa tijolo e meio? 1kg 1kg 1kg

Quantos são os triângulos desta figura? Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Quantos são os triângulos desta figura? 10 individuais 1 2 3 10 4 10 de dois: [1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10]; [10,1] 9 5 6 8 7 5 de três: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9]; [9,10,1] 5 de quatro, envolvendo o pentágono: [1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8]; [4,8,9,10] 5 de dois, envolvendo o pentágono: [2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10]; [6,10]

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Uma criança vai passar o fim-de-semana com os pais a uma aldeia, a casa de uns familiares e propõe-se contar as cabeças e as patas de todas as galinhas e coelhos que os tios têm. O resultado é 30 cabeças e 100 patas. Quantas galinhas e quantos coelhos têm os tios da criança? C G Pc Pg Tcb Tpt 15 15 60 30 30 90 16 14 64 28 30 92 18 12 72 24 30 96 20 10 80 20 30 100

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Que Ensino? Cinco amigos: Pedro, André, Cláudio, Dinis e Bernardo – estão preparando uma peça de teatro, em que os personagens são: um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro. - Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis; - nos intervalos, o soldado joga cartas com o Dinis; - Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda; - o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o Bernardo, mas detesta ver o soldado. Qual é o papel desempenhado por cada um? Pedro André Cláudio Dinis Bernardo Rei Soldado Bobo Guarda Prisioneiro

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Dois amigos pretendem jogar o jogo do 30, para verem qual deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes: ganha quem conseguir dizer o número 30. Os jogadores vão intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério que garante vencer este jogo? A B A B Critério vencedor: 3n 2 3 17 18 5 6 20 21 7 9 23 24 11 12 26 27 13 15 28 30

Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Dois amigos pretendem jogar o jogo do 20, para verem qual deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes: ganha quem conseguir dizer o número 20. Os jogadores vão intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério que garante vencer este jogo? A B A B Critério vencedor: 3n - 1 1 2 15 17 4 5 19 20 7 8 10 11 13 14

Números Triangulares e Números Quadrados Crescer com a... MATEMÁTICA - Tomar 2006 Números Triangulares e Números Quadrados 1 3 6 10 15 4 9 16 25 22 = 2 x 2 32 = 3 x 3 42 = 4 x 4 52 = 5 x 5 V