UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA CURSO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Prof. Ilydio Pereira de Sá www.magiadamatematica.com

Por que aprender Matemática? Algumas perguntas que nossos alunos fazem ... Professor, para que serve toda essa Matemática que estamos estudando? Todas esses números e fórmulas não são para mim... não tenho cabeça para isso! Qual o verdadeiro papel da Matemática na formação do aluno? Como fazer para motivá-los para o estudo da Matemática? 2

o que nem sempre é verdadeiro, todos sabemos. Respostas, às vezes evasivas ... “Tudo isso você vai precisar para o que vai aprender mais tarde” ... o que nem sempre é verdadeiro, todos sabemos. 3

Muito do que ainda restou e que se ensina no modo tradicional, descontextualizado, está lá por mesmice. Ninguém tem coragem de tirar dos programas. A única razão é de natureza histórica – há tempo se ensina isso. E o professor infere: "se me ensinaram é porque era importante, portanto...ensino o que me ensinaram". (D’AMBROSIO)

Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom, um dos mais importantes matemáticos do século, ao divulgar um poema de um sábio chinês, que diz: "Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu tudo que possuía para se aperfeiçoar na arte. Depois de três anos ele se achava perfeitamente preparado mas, que frustração, não encontrou oportunidades de praticar sua habilidade." (Dschuang Dsi) "Como resultado ele resolveu ensinar como matar dragões." (René Thom)

Existem saídas? Ajudaria bastante se os professores da Escola Básica, trouxessem para a sala de aula questões práticas interessantes, histórias, desafios, jogos, curiosidades, que sirvam de fatores de motivação e investigação. Usando atividades lúdicas, problemas heurísticos (desafiadores), curiosidades, histórias, tecnologias, etc, os educadores matemáticos têm um poderoso auxílio para a sua prática docente cotidiana. 6

O importante é que tais atividades sejam trabalhadas e investigadas, resistindo à tentação inicial de buscar “regras decoradas” e sem significado.

A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem. Numa atividade de investigação matemática o resultado é importante, mas, muito mais importante que a resposta é o caminho percorrido para encontrá- la.

[...]Toda experiência de aprendizagem se inicia com uma experiência afetiva. É a fome que põe em funcionamento o aparelho pensador. [...] [...] conhecimentos que não são nascidos do desejo são como uma maravilhosa cozinha na casa de uma pessoa que sofre de anorexia. Pessoa sem fome: o fogão nunca será aceso. O banquete nunca será servido. [...] (Rubem Alves – 2002)

O enfoque progressista que ampara a Educação Matemática concebe o ensino de Matemática integralmente comprometido com a transformação social, desenvolvendo estratégias que solicitam maior participação do aluno, de modo que a Matemática seja atraente, prazerosa, lúdica e útil, tanto quanto instrumento para a vida e para o trabalho.

PARTE 1: MATEMÁTICA COMBINATÓRIA

SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA COMBINATÓRIA Não faça fórmulas demais ou casos particulares demais. Isso obscurece as idéias gerais e torna as coisas mais complicadas. Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros. É importante, diante de uma solução errada, analisar o motivo do erro. Combinatória não é difícil. Resista aos truques imediatos. Devemos procurar métodos mais gerais e não truques específicos para determinados formatos de problemas. Resista às enfadonhas listas de exercícios que ninguém saber resolver e que só fazem com que os alunos se desinteressem cada vez mais pelo tema.

1) Princípio Básico (Multiplicativo) O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente ou simultaneamente as decisões D1 e D2 é xy.

Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? SOLUÇÃO: Formar um casal equivale a tomar as decisões: D1 : Escolha do homem (5 modos). D2 : Escolha da mulher (5 modos). Há 5 × 5 = 25 modos de formar um casal.

Exemplo 2: Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é 3 × 26 = 192 modos.

Exemplo 3: Quantos são os números de três dígitos distintos? Solução: O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos. A resposta é 9 × 9 × 8 = 648 números.

Exemplo 4: O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse? Solução: Há 2 palavras de uma letra; há 2 × 2 = 4 palavras de duas letras, pois há dois modos de escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra; analogamente, há 2×2×2 = 8 palavras de três letras e 2 × 2 × 2 × 2 = 16 palavras de 4 letras. O número total de palavras é 2 + 4 + 8 + 16 = 30.

Exemplo 5: Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Solução: 360 = 23 × 32 × 51. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2x × 3y × 5z, com x ∈ {0, 1, 2, 3} (4 possibilidades); y ∈ {0, 1, 2} (3 possibilidades) e z ∈ {0, 1} (2 possibilidades). Há 4 × 3 × 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes x, y e z. Há, portanto, 24 divisores positivos.

Exemplo 6: Qual o número máximo de veículos que podem ser emplacados no Brasil, com o atual sistema de três letras e quatro algarismos? Solução: Como o alfabeto utilizado tem 26 letras e o nosso sistema de algarismos é decimal (10 símbolos), teremos: 263 x 104 = 175 760 000 veículos

IMPORTANTE ! Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória: Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No Exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no Exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; etc.

Mas será que recaímos sempre em multiplicação ? Ou existem outros casos? Observe o próximo exemplo: Usando as frutas Maçã (M), Banana (B), Abacaxi (A) e Pêra (P), quantos tipos distintos de saladas de frutas, com três dessas frutas, podem ser formadas? Agora temos uma novidade, que não ocorria nos casos anteriores. É que se escolhermos uma opção (B, A, M), por exemplo, e mexermos nessa ordem (A, B, M), não teremos uma salada de frutas diferente, será exatamente a mesma. A ordem de escolha das frutas não influi no resultado final. Como faremos nesses casos?

Vamos escrever todas as opções, como se fossem distintas ao mudarmos a ordem das frutas: A B M A B P A M P B P M A M B A P B A P M B M P B A M B A P M A P P B M B M A B P A M P A P M B M A B P A B P A M M B P M B A P B A P M A M P B A resposta do problema está representada em apenas um dos grupos acima (4 tipos de saladas de frutas). Se calculássemos como nos casos anteriores, teríamos um total de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 tipos (que estão representados acima). Como a resposta se repetiu 6 vezes, é claro que o resultado teve que ser dividido por 6. Por que será? Como podemos generalizar esse fato?

Vejamos um outro exemplo: Uma famosa sorveteria anuncia 31 diferentes sabores de sorvete. O número possível de casquinhas com três bolas sem nenhuma repetição de sabor é, portanto, 31 x 30 x 29 = 26 970; qualquer um dos 31 sabores pode vir em cima, qualquer um dos 30 restantes no meio, e qualquer um dos 29 que sobraram embaixo. Se não estamos interessados no modo como os sabores são dispostos na casquinha, mas simplesmente em quantas casquinhas com três sabores há, teremos que dividir 26 970 por 6, obtendo então 4 495 casquinhas. Por que será que, novamente, dividimos por 6? A razão por que dividimos por 6 é que há 6 = 3 x 2 x 1 diferentes maneiras de dispor os sabores escolhidos numa casquinha. Vamos supor que os sabores escolhidos seja: morango-baunilha-chocolate. Teríamos as seguintes ordenações possíveis: MBC, MCB; BMC; BCM, CBM e CMB. Uma vez que o mesmo se aplica a cada casquinha com três sabores, o número dessas casquinhas é (31 x 30 x 29) / (3 x 2 x1) = 4 495 casquinhas com 3 sabores, escolhidos dentre os 31 oferecidos (sem importar a ordem de colocação desses 3 sabores na casquinha).

Um exemplo menos “engordativo” é fornecido pelas muitas loterias existentes em nosso país. A mega-sena, por exemplo cujo jogo mínimo consiste na escolha de 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis. Caso a ordem de escolha dos números fosse importante na escolha do apostador, teríamos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distintos, com seis dezenas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses números não é importante, temos que dividir esse resultado por 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720, já que qualquer uma das seqüências de seis números pode ser decomposta em 720 outras apostas iguais. Teremos, portanto 50 063 860 possibilidades de escolha das 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis na Mega-sena. Verifique que uma pessoa que escolher apenas uma dessas apostas (6 dezenas) terá uma possibilidade em 50 063 860 de ser o ganhador do prêmio. Agora já estamos falando em probabilidades...que será um outro capítulo do nosso curso.

Observe que a forma do número obtido é a mesma nesses 3 últimos exemplos: (4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1) diferentes tipos de salada de frutas. (31 x 30 x 29) /(3 x 2 x1) diferentes casquinhas com três sabores. (60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) maneiras de escolher seis números entre os sessenta da mega-sena. Números obtidos desta forma são chamados coeficientes combinatórios ou combinações. Eles surgem quando estamos interessados no número de maneiras de escolher R elementos a partir de N elementos e não estamos interessados na ordem em que os R elementos são escolhidos.

Tente resolver: Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam sempre palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

SOLUÇÃO: 24 x 23 x 22 = 12 144 tampinhas distintas, já que a ordem de colocação dos nomes dos países é importante (define a sua classificação na copa) 2) Quantos são os triângulos que podem ser construídos a partir de 10 pontos marcados sobre uma circunferência? SOLUÇÃO: Neste caso, a ordem de disposição dos elementos de cada coleção não importa ao problema, isto é, o triângulo ABC é o mesmo do triângulo ACB, por exemplo. Logo, como na questão da Mega-Sena, teremos que a quantidade de triângulos será dada por: A B C