Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS

Simulação e Otimização Simulação é o processo de representar matematicamente um sistema, e realizar experimentações para prever seu comportamento quando sujeito a determinadas condições. Ex: Modelos chuva-vazão, modelo de reservatórios, modelos de redes hidráulicas, modelos de redes de fluxo... Otimização é a determinação das condições que resultam no melhor desempenho do sistema. Normalmente envolve a execução de diversas simulações. Exemplos de algoritmos: programação linear, não-linear, dinâmica, técnicas de inteligência artificial... Em ambos os caso podem ser necessários mais de um modelo para representar o sistema. Muitas vezes o modelo de otimização está inserido no modelo de simulação.

Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Simplificação Definição e Descrição do Problema Modelo Matemático Revisão Solução do Modelo Decisão Teórica x Política Implementação da Solução

Elementos de um modelo matemático de otimização DECISÕES Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema. O que não conhecemos no problema? RESTRIÇÕES Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar OBJETIVOS Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

Ex.: Ajuste de modelo hidrologico Encontrar o valor dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados. Gupta et al.

Otimização Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função

Cálculo analítico Encontrar pontos da função em que a derivada é zero. Vantagens: pode ser rápido, é mais elegante) Desvantagens: problemas de recursos hídricos apresentam funções de picos múltiplos, funções descontínuas, ausência da forma analítica da função, por exemplo

Otimização de Sistemas de Recursos Hídricos Superfícies de resposta complexas Pontos extremos mal definidos Regiões planas Muitos ótimos locais Ótimo global apenas pouco melhor do que os ótimos locais

Técnicas de otimização Cálculo analítico Técnicas numéricas Busca aleatória Busca direta Mistos

Técnicas numéricas - Busca Aleatória Vantagens: funções descontínuas; picos múltiplos Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global “Ótimo”

Técnicas numéricas - Busca direta Estratégia de caminhar “morro acima”

Função objetivo: F(x1,x2) Máximo local Máximo global x1

Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias X2=valor aleatório entre c e d X1=valor aleatório entre a e b

Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1 Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

...e muda a direção de busca. F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

E assim segue até encontrar um ponto em que não existe direção de busca que melhore o valor da FO

Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO

Limitação da busca direta: Ótimos locais Região que atrai solução para o ótimo local

Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhor solução testada. Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais

Modelos de Otimização Programação linear (Simplex) Programação não-linear Programação dinâmica Algoritmos genéticos Caminhos de formiga …

Algoritmos Genéticos Definição da faixa de validade dos parâmetros geração aleatória de pontos (conjuntos de parâmetros) avaliação das funções objetivo para cada ponto reprodução, evolução conjuntos com melhores F.O. têm maior chance de contribuir na reprodução Inspiração na natureza

Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos Conceitos de população, reprodução e gerações Filhos são semelhantes aos pais Os pais mais “adaptados” tem maior probabilidade de gerar filhos Os filhos não são completamente iguais aos pais

Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos (sobrevivência do mais apto = seleção natural) Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução. No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Passo 8

Passo 9

Passo 10

Passo 20

Otimização multi-objetivo Considerar mais de uma FO. Calibração de modelos hidrológicos distribuídos Otimização de sistemas de reservatórios de usos múltiplos (controle de cheias x regularização de vazão) Vazão e evapotranspiração

Novos métodos evolutivos Colônia de formigas Enxame de abelhas ...