LES 470 – MERCADO DE CAPITAIS Os Modelos de Markowitz e Sharpe O CAPM Prof. Dr. Roberto Arruda de Souza Lima Baseado em SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996. Outubro 2013

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco Considere uma carteira de investimentos composta dos ativos A1, A2 e A3, nas proporções w1, w2 e w3, respectivamente. São conhecidos os retornos médios Im1, Im2 e Im3, bem como os desvios IS1, IS2 e IS3, respectivamente. As covariâncias dos retornos dos ativos são dadas por: cov(I1, I2 ), cov(I1, I3) e cov(IS2, IS3).

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco Retorno: ImC Fronteira Eficiente de Ativos com Risco ISC: Risco

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco No plano variância-retorno: Retorno: ImC ISC: Risco

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco Retorno: ImC r1 P a1 Dentre todas as retas que têm um único ponto em comum com a curva, a equação da reta tangente deverá ter o mínimo valor para o termo independente a. a

Diversificação do Risco de uma Carteira Equações das retas que passam por P: Condição para que seja tangente à curva: Ponto P: Em termos de variância retorno Em termos de composição da carteira

Diversificação do Risco de uma Carteira Assim, o ponto P deve satisfazer às seguintes condições: e Em que e

Diversificação do Risco de uma Carteira Obtidos os pontos que serão pontos da fronteira eficiente de investimentos dos ativos com risco, ambos definidos pela mesma composição Pode-se obter os pontos das carteiras. Próximo passo: obter a composição da carteira que dá os pontos tipo P.

Diversificação do Risco de uma Carteira Obter tais que: com Ou seja Função a ser minimizada: submetida à restrição Pelo método do multiplicador de Lagrange, tem-se a função objetivo dada por:

Diversificação do Risco de uma Carteira Deve-se resolver o sistema: Deve-se resolver o sistema:

Diversificação do Risco de uma Carteira Substituindo os valores de tem-se: (PAG.195)

Diversificação do Risco de uma Carteira Reescrevendo o sistema:

Diversificação do Risco de uma Carteira Que escrito na forma matricial: Que pode ser indicado por: M.W = U Resolvendo obtém-se: W =M-1 U O que possibilita obter (w1, w2, w3) em função do coeficiente b.

Diversificação do Risco de uma Carteira Que escrito na forma matricial: Deve-se verificar se a condição 0 ≤ w1, w2, w3 ≤ 1) está satisfeita. (o método não capta se ocorre ou não esta condição). Que pode ser indicado por: M.W = U Resolvendo obtém-se: W =M-1 U O que possibilita obter (w1, w2, w3) em função do coeficiente b.

Modelo de Markowitz – caso geral Que pode ser indicado por: M.W = U Resolvendo obtém-se: W =M-1 U O que possibilita obter (w1, w2, ..., wn) em função do coeficiente b.

Modelo de Markowitz – caso geral Exemplo: Im1 = 0,15; IS1 = 0,05 cov(I1,I2) = 0,00245 Im2 = 0,25; IS2 = 0,07 cov(I1,I3) = 0,00100 Im3 = 0,35; IS3 = 0,10 cov(I2,I3) = 0,00350

Modelo de Markowitz – caso geral Resolvendo:

Modelo de Markowitz – caso geral Questões: Verifique se w1 + w2 + w3 = 1 Qual é a equação do retorno médio da carteira? Qual é a equação do risco da carteira? Qual o retorno no ponto de mínimo risco? (dica: pense em qual deve ser o valor de b no vértice da parábola) Qual é o valor do desvio no ponto de risco mínimo? Qual é a composição da carteira no ponto de risco mínimo? Para quais valores de b são obtidos os pontos da fronteira eficiente?

Modelo de Markowitz – caso geral Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco A3 A Hipérbole nos dá uma carteira alavancada. Retorno: Im Risco: IS

Modelo de Markowitz – caso geral Fronteira Eficiente Geral de Investimento Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco C* Considerando que o investimento livre de risco tenha retorno IF = 0,07 Retorno: Im 0,07 Risco: IS

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade Conforme a definição de Sharpe, a razão recompensa-variabilidade de um ativo A, indicada por RVA, é dada por: Estendendo o conceito para uma carteira C, tem-se:

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade Fronteira Eficiente Geral de Investimento Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco C* ImC C Retorno: Im IF ISC Risco: IS

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade Fronteira Eficiente Geral de Investimento Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco C* ImC C Retorno: Im Quando se obtém a reta tangente à fronteira eficiente de investimentos com risco, passando por IF, obtém-se a carteira C* que dá a máxima razão recompensa-variabilidade IF ISC Risco: IS

Carteira de Risco Mínimo para um Retorno Fixado Ver item 6.4 (p.207) de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996.

Modelo de SHARPE Dificuldade no modelo de Markovitz: Estabelecer as covariâncias entre os retornos dos ativos que iriam compor as várias carteiras que seriam analisadas (grande número de cálculos). Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que

Modelo de SHARPE Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que: Até aqui, poucas vantagens, apenas trocou o cálculo das covariâncias pelo cálculo dos coeficientes de correlação... Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A1, A2, ..., An, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações?

Modelo de SHARPE Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A1, A2, ..., An, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações? Se tivéssemos este ativo padrão poderíamos comparar o retorno de cada ativo com o retorno desse ativo padrão e examinar o grau de correlação linear. IBOVESPA, por exemplo.

Modelo de SHARPE Ver itens 6.5 e 6.6 de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996.

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses: Os investidores preocupam-se apenas com o valor esperado e com a variância (ou o desvio padrão) da taxa de retorno. Os investidores têm preferências por retorno maior e risco menor. Os investidores desejam ter carteiras eficientes:aquelas que dão o máximo retorno esperado, dado o risco, ou mínimo risco, dado o retorno esperado. Os investidores estão de acordo quanto à distribuição de probabilidades das taxas de retorno dos ativos, o que assegura a existência de um único conjunto de carteiras eficientes. Aceitação da relação risco-retorno

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses: Os ativos são perfeitamente divisíveis. Há um ativo sem risco, e os investidores podem comprá-lo e vendê-lo em qualquer quantidade. Não há custo de transação ou impostos, ou, alternativamente, eles são idênticos para todos os indivíduos. As hipóteses implicam em condições de mercado perfeito.

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Seja M a carteira de mercado (todos ativos do mercado), em que seu retorno RM apresenta média RmM e risco/desvio RSM. Considere um ativo de risco A com retorno IA, de média RmA e risco/desvio RSA. F é um ativo livre de risco com retorno IF. Deseja-se montar uma carteira C composta pelo ativo A e por M.

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Pode-se examinar o que ocorre com o risco e o retorno à medida que variamos a proporção w do ativo A na carteira, calculando:

Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole: CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole:

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Se w  0, a composição de M é alterada. Assim, a condição de equilíbrio de mercado ocorre para w = 0, ou seja, quando não há procura do ativo A em proporções maiores do que sua participação na carteira de mercado M.

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Para w = 0:

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Para as carteiras C, formadas pelos ativos A e M (w  0), a razão recompensa-variabilidade é: Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

Máxima razão recompensa-variabilidade da carteiras C CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole definida pelas carteiras do tipo C Máxima razão recompensa-variabilidade da carteiras C

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Em condição de equilíbrio, w = 0, ou seja, C = M:

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Retorno Carteiras do tipo C’, formadas pelos ativos F e M M Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M F Risco

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Retorno Carteiras do tipo C’, formadas pelos ativos F e M M Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M Igualando as expressões que nos dão o coeficiente angular da reta tangente à hipérbole: F Risco

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros

CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Esta expressão, obtida por Sharpe, é a equação fundamental do CAPM, caracterizando que o preço de um ativo A, ou seja, seu retorno médio ImA, é formado por duas parcelas:

Preço do ativo livre de risco CAPM – Capital Asset Pricing Model Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Ganho básico dado por (RmM-IF) do qual o ativo recebe uma proporção que caracteriza o nível de risco do ativo em relação ao mercado Preço do ativo livre de risco