PROGRAMAÇÃO INTEIRA 27 de maio de 2014

PROGRAMAÇÃO INTEIRA É um caso particular da Programação Linear em que todas as variáveis são restritas a valores inteiros. 1 2 3 4 5 x1 x2 Aplicações em problemas envolvendo número de itens, como televisores, automóveis, número de estágios...

Condições de Integralidade Na resolução desses problemas, além da Função Objetivo e das restrições, são acrescentadas Condições de Integralidade Max f = 3 x1 + 4 x2 s.a.: 2 x1 + x2  6 2 x1 + 3 x2  9 x1 ≥ 0 (inteiro) x2 ≥ 0 (inteiro) Há problemas, no entanto, em que apenas algumas variáveis são restritas a valores inteiros. Nesse caso, as condições de integralidades são acrescentadas apenas para estas. Max f = 3 x1 + 4 x2 s.a.: 2 x1 + x2  6 2 x1 + 3 x2  9 x1 ≥ 0 (inteiro) x2 ≥ 0 Temos, então a Programação Linear com Inteiros

A estratégia de resolução consiste em: No decorrer da resolução dos problemas de Programação Inteira, aparecem os seguintes tipos de soluções intermediárias: - soluções inteiras: todas as variáveis exibem valores inteiros. - soluções não-inteiras: pelo menos uma variável exibe um valor não-inteiro. As soluções não-inteiras são eliminadas passo-a-passo restando ao final a solução inteira ótima. A estratégia de resolução consiste em: 1. Aplicar o SIMPLEX ao problema original com as condições de integralidade relaxadas Se coincidir desta solução ser inteira, ela é a solução do problema. 2. Formular e resolver sucessivos problemas de Programação Linear. Em cada problema é acrescentada um nova restrição a uma variável não-inteira, convergindo-se, assim, para a solução inteira ótima.

bifurcação (“branch”) e limitação (“bound”). Essa estratégia pode ser aplicada com o auxílio do Método de Branch-and-Bound, que consta de duas operações básicas: bifurcação (“branch”) e limitação (“bound”). P xj SP1 xj  [xj*] SP2 xj ≥ [xj*] + 1 100 80 inteira Guardada 70 não-inteira não bifurcável A bifurcação gera novos problemas restritos. A limitação evita a resolução de problemas cujas soluções se mostram, antecipadamente, piores (economiza esforço computacional).

Eliminação de Intervalo Numa solução intermediária não-inteira, deve haver pelo menos uma variável xj cujo valor xj* é não-inteiro. Seja [xj*] a parte inteira de xj. Então, a condição necessária para que xj seja inteiro é xj  [xj*] ou xj ≥ [xj*] + 1 Ou seja: o intervalo [xj*] < xj < [xj*] + 1 deve ser eliminado da busca 1 2 3 4 5 x1 x2 Exemplo: x2* = 2,6 [x2*] = 2 Intervalo eliminado 2 < x2 < 2 + 1

Eliminação de Intervalo: Bifurcação (“branch”) Ao dar continuidade à resolução, parte-se da solução intermediária não-inteira P xj SP1 xj  [xj*] SP2 xj ≥ [xj*] + 1 FP Problema de Máximo FSP1 < FP FSP2 < FP e criam-se dois sub-problemas (bifurcação) com as devidas restrições: Sub-problema 1: xj  [ xj* ] Sub-problema 2: xj ≥ [ xj* ] + 1 A solução de qualquer Sub-Problema é mais restrita do que a do Problema que a originou. Portanto, a sua solução é necessariamente pior do que a do Problema. Este fato não preocupa porque faz parte do caminho de busca de uma solução inteira. Heurística: havendo mais de uma variável com valor não-inteiro, deve-se selecionar, para bifurcação, aquela mais afastada do valor inteiro (mais próxima de 0,5).

LIMITAÇÃO (“Bound”) Ao se chegar a uma primeira solução inteira, esta não é necessariamente a ótima porque outras soluções inteiras ainda podem ser encontradas no processo de bifurcação. O valor (F) da Função Objetivo desta primeira solução inteira serve de limite (“bound”) para as soluções seguintes. Em Problemas de Mínimo  limite superior. Em Problemas de Máximo  limite inferior. Qualquer outra solução inteira posteriormente encontrada com um valor melhor do que F, deve ser adotada como solução ótima provisória. Se pior, deve ser descartada. Qualquer solução não-inteira com um valor pior do que F, não deve ser bifurcada: as soluções bifurcadas são necessariamente piores. Exemplo Problema de Máximo P xj SP1 xj  [xj*] SP2 xj ≥ [xj*] + 1 100 80 inteira Guardada 70 não-inteira não bifurcável xj P SP1 xj  [xj*] SP2 xj ≥ [xj*] + 1 FP FSP1 < FP inteira FSP2 < FSP1 não-inteira não bifurcável

EXEMPLO

1 2 3 4 5 x1 x2 Max f = 3 x1 + 4 x2 s.a.: 2 x1 + x2  6 2 x1 + 3 x2  9 x1 ≥ 0 (inteiro) x2 ≥ 0 (inteiro) inviável Problema Relaxado 1 f = 12,75 x1 = 2,25 x2 = 1,50 Duas soluções piores... x2  1 x2  2 2 f = 11,50 x1 = 2,5 x2 = 1 3 f = 12,5 x1 = 1,5 x2 = 2 x1  2 x1  1 Não-inteira não-bifurcável: pior que a outra 4 f = 12,33 x1 = 1 x2 = 2,33 5 inviável x2  3 x2  2 6 f = 11,00 x1 = 1 x2 = 2 7 f = 12,00 x1 = 0 x2 = 3 SOLUÇÃO

PROGRAMAÇÃO 0 - 1 Caso particular da Programação Inteira em que as variáveis inteiras só podem assumir os valores 0 e 1. É a parte da Programação Inteira de interesse na Engenharia de Processos.

Min f = 2 x1 – 3 y1 – 2y2 – 3y3 s.a.: x1 + y1 + y2 + y3 ≥ 2 f= -6,8 [0,6; 1; 1] 2 1 f= - 6,667 f= -5 [0; 1; 1] [1; 0,333; 1] y1 = 0 y1 = 1 3 4 f= - 6,5 [1; 1; 0,5] y2= 0 y1 = 1 f= -6 [1; 0; 1] 5 6 f= - 5 [1; 1; 0] y3= 0 y3= 1 Inviável (pq?)

Na Engenharia de Processos, o problema central é a criação de um fluxograma de processo. Neste problema, há variáveis inteiras e variáveis contínuas. As variáveis inteiras binárias correspondem à presença (1) ou não (0) de um equipamento. As variáveis contínuas correspondem às variáveis de processo (vazões, temperaturas, concentrações, dimensões). Temos, então, a Programação Linear Inteira Mista (PLIM) “Mixed Integer Linear Programming” (MILP). e a Programação Não-Linear Inteira Mista (PNLIM) “Mixed Integer Nonlinear Programming” (MINLP).

6.5.4 Resolução por Super-estruturas Escrevem-se os modelos dos equipamentos e conexões. A cada equipamento é associada uma variável binária. Na solução: (1) equip. presente; (0) equip. ausente. Resolve-se um problema de programação não-linear com inteiros: geradas e analisadas diversas estruturas..