Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos SISTEMAS DIGITAIS Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho Frequently, presenters must deliver material of a technical nature to an audience unfamiliar with the topic or vocabulary. The material may be complex or heavy with detail. To present technical material effectively, use the following guidelines from Dale Carnegie Training®.   Consider the amount of time available and prepare to organize your material. Narrow your topic. Divide your presentation into clear segments. Follow a logical progression. Maintain your focus throughout. Close the presentation with a summary, repetition of the key steps, or a logical conclusion. Keep your audience in mind at all times. For example, be sure data is clear and information is relevant. Keep the level of detail and vocabulary appropriate for the audience. Use visuals to support key points or steps. Keep alert to the needs of your listeners, and you will have a more receptive audience.

Circuitos aritméticos Circuitos aritméticos são aqueles que realizam operações aritméticas sobre números binários O circuito aritmético mais simples é o que soma números de apenas 1 bit Basta partir da conhecida tabela da soma binária para o obter um semi-somador Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Semi-somador Tabela de verdade lógica de um semi-somador AB Soma Transporte 00 01 1 10 11 A+B A=0 A=1 B=0 1 B=1 10 Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Semi-somador Logigrama de um semi-somador AB Soma Transporte 00 01 1 10 11 O nome semi-somador vem do facto de este circuito não permitir somar o transporte que venha de bits de menor peso Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somador Completo A um somador de 1 bit que tenha em conta o transporte de somas anteriores chama-se somador completo Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somador Completo Tabela de verdade lógica e equações Porquê? A B Cin S Cout 1 Porquê? Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somador Completo Logigrama de um somador completo Semi-somadores Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somadores de n bits Assumindo blocos de somadores completos, é possível construir somadores de n bits Exemplo: Um somador de 4 bits Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somadores de n bits Somador iterativo de 4 bits Estrutura iterativa C n-1 n A B S Somador completo 1 2 3 i o C0 C3 Estrutura iterativa (série) Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somadores de n bits Símbolo IEC de um somador sompleto de 4 bits :  3 CI CO  P Q S Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Subtracções O algoritmo da subtracção numa base qualquer é semelhante ao da adição Se o aditivo é maior ou igual ao subtractivo, faz-se a subtracção (em decimal) Neste caso não é gerado transporte para a coluna seguinte Se o aditivo é menor do que o subtractivo, adiciona-se a base ao aditivo (em decimal) e só depois se faz a subtracção Neste caso gera-se um transporte igual a 1 para a coluna seguinte Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Subtracções Ex. na base 10 15 (10) - 7 (10) 8 (10) Ex. na base 16 - 7 (10) 8 (10) Ex. na base 16 B5 (16) - E (16) A7 (16) Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Números com Sinal A representação de números inteiros tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o número 0 Uma das alternativas é a representação por módulo e sinal, em que o bit mais significativo indica o sinal. Se esse bit for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Números com Sinal Exemplo para números de 4 bits: Representação Número representado 0000 1000 -0 0001 +1 1001 -1 0010 +2 1010 -2 0011 +3 1011 -3 0100 +4 1100 -4 0101 +5 1101 -5 0110 +6 1110 -6 0111 +7 1111 -7 Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Módulo e sinal Inconvenientes: Duas representações diferentes para o zero O módulo e o sinal são processados de forma diferente É necessário escolher a operação a realizar de acordo com a operação desejada e o sinal dos números envolvidos Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Módulo e sinal Por exemplo: Se pretendermos fazer a operação (+5) + (-3), o que é realmente necessário fazer é a subtracção 5-3 ficando o sinal positivo Se o problema for realizar (-5) + (+3), então há que realizar também uma subtracção mas do módulo do número negativo menos o do positivo, isto é, 5-3, ficando depois o sinal negativo Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Módulo e sinal Obviamente, tudo isto complica a realização das operações (e, por consequência, dos circuitos) que tenham que realizar essas operações Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Chama-se complemento para 2n de um número X de n bits, ao resultado da operação 2n – X Por exemplo, o complemento para 2 de 0101 é: 10000 - 0101 1011 Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Se um número X tem n bits, então o seu complemento para 2 é representado por n bits O complemento para 2 do complemento para 2 de um número X é X: 2n - (2n – X) = X Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Formas alternativas de encontrar o complemento para 2 de um número X: Inverter todos os bits de X e somar 1 ao resultado Manter todos os 0’s menos significativos e ainda o primeiro 1 de X, e inverter os restantes bits mais significativos Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Na representação de números com sinal em complemento para 2, o bit mais significativo do número também indica o sinal Se for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo Na representação de números com sinal em complemento para 2 Um número positivo é representado pelo seu módulo (como na notação de sinal e módulo) Um número negativo é representado pelo complemento para 2 do seu módulo Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Por exemplo, o número +6 é representado em notação de complemento para 2 com 4 bits por 0110, e o número -6 é representado por 1010: 6 = 0110 ► complementando bit a bit, 1001 ►1001 +1 = 1010 = -6 Repare-se que a determinação do complemento para 2 de um número positivo de n bits deixa automaticamente o bit de sinal a 1 Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Os 16 números possíveis de representar em complemento para 2 com 4 bits são: Representação Número representado 0000 1000 -8 0001 +1 1001 -7 0010 +2 1010 -6 0011 +3 1011 -5 0100 +4 1100 -4 0101 +5 1101 -3 0110 +6 1110 -2 0111 +7 1111 -1 Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 O intervalo de representação em complemento para 2 é [-2n-1, +2n-1-1] Com 4 bits dá [-8,+7] Com 5 bits dá [-16,+15]. Etc. A razão da assimetria entre o número de positivos e o de negativos radica no facto de não haver duas representações para o 0 nesta notação Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Com esta representação, pode operar-se sobre os números como em binário puro O bit de transporte que resultar para além do último deve ser descartado Não precisamos de nos preocupar com o bit de sinal dos operandos e do resultado Desde que o resultado caiba em n bits, ele está correcto Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Exemplos Soma de 2 positivos Soma de 2 negativos (+2) + (+5) = +7 0010 0101 0111 1110 1011 11001 (-2) + (-5) = -7 Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Exemplos Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado negativo Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado positivo (+5) + (-3) = +2 0101 1101 10010 (+2) + (-5) = -3 0010 1011 1101 Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Quando a operação envolve dois números com o mesmo sinal, é possível que o resultado não possa ser representado com o número de bits disponível. Porque não “cabe” em n bits A esta situação chama-se OVERFLOW Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Por exemplo, 4 + 5 = 9, que não é representável com 4 bits em notação de complemento para 2 0100 0101 1001 O resultado é incoerente pois dá, em notação de complemento para 2, um número negativo: (-7) Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 O overflow nunca ocorre em operações de adição entre números com sinal contrário. Prova-se que o overflow ocorre sempre que o transporte para o bit de sinal é diferente do transporte para o exterior dos n bits Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Complemento para 2 Geometricamente temos Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somador/Subtractor binário Em complemento para 2, realizar a subtracção x-y é o mesmo que realizar a soma x + (-y) Mas para isso precisamos de obter o simétrico do subtractivo nessa notação no fundo, obter o complemento para 2 do subtractivo Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somador/Subtractor binário Se o conseguirmos fazer de forma fácil, apenas precisamos de um somador para fazer somas e subtracções em notação de complemento para 2 Para obter o complemento para 2 do subtractivo fazemos: Obtemos o seu complemento para 1, por troca de 1s com 0s (usando um conjunto de XORs) Somamos 1 ao resultado que obtivermos Outubro de 2005 Sistemas Digitais

Somador/Subtractor binário 3 CI CO  P Q S =1 A B Resultado Controlo Controlo Operação A + B A - B Outubro de 2005 Sistemas Digitais