Representação de números

Representação de números
Aritmética Representação de números

Representação de inteiros
Números inteiros com sinal A representação mais comum é a representação em complemento para 2 Boas propriedades para adição e subtracção Como já viram em AC I... No entanto existem outras formas de representar: Magnitude Complemento para 1 Excesso m

Magnitude 1 bit de sinal seguido do valor absoluto do número Exemplos (em 8 bits) -0 1 -1 41 -41 78 -78 OBS: A notação não tem boas propriedades para a adição: se fizer N + (-N) o resultado não dá 0... O ‘0’ pode ter duas representações diferentes...

Complemento para 1 O simétrico é a negação bit a bit Exemplos (em 8 bits) -0 1 -1 41 -41 78 -78 OBS: Boas propriedades para adição, mas o ‘0’ pode ter duas representações diferentes...

Excesso m Representa-se o valor do número acrescido de m O menor número vale –m e é representado por 0’s Exemplo: excesso 128 (8 bits) -0 1 -1 41 -41 78 -78 OBS: Quando m=2n-1 fica semelhante ao complemento para 2, mas com o bit de sinal trocado

Apesar de muito utilizada, a notação em complemento para 2 também tem um defeito: Existe mais um número negativo do que o número de positivos No caso da notação excesso-m, esse desequilíbrio pode ainda ser maior No entanto, não existe nenhuma notação “ideal”: o zero ter um única representação existirem tantos números negativos como positivos ter boas propriedades para adição/subtracção

Representação de números reais
Norma IEEE 754 (versão mais recente: Ago/2008) Até meados dos anos 80, a representação de números reais não estava normalizada... Cada fabricante usava a sua representação Para ultrapassar problemas de compatibilidade, surgiu em 1985 a primeira versão da norma IEEE 754 A norma define: Os formatos de representação dos números reais Como devem ser feitos os arredondamentos Como devem ser feitas as operações Tratamento de excepções (ex: divisão por zero, underflow, overflow) …

Formato de um número real (virgula flutuante) Precisão simples – 32 bits – float 1 bit que define o sinal (0 – positivo; 1 – negativo) 8 bits para o expoente (representado em excesso 127) 23 bits para a mantissa, representada em magnitude Valor do número: (-1)sinal  1.mantissa  2expoente

Exemplo: Qual será o valor do número real C (hex)? Sinal = 1  número negativo Expoente = = 130  o expoente vale 3 (não esquecer que está em excesso 127) Mantissa = … = = = 0.75 O valor do número será então: –1.75  23 = –14.0

Significados especiais Expoente Mantissa Valor Obs. –127 == 0 128  infinito Depende do sinal != 0 NaN (not a number) Valores não reais 0.mantissa  2-126 Forma desnormalizada Exemplos: (hex) = 0.0 7F (hex) = + FFFF FFFF(hex) = NaN (hex) = 0.5 * 2-126

Precisão dupla – double Obtêm-se os valores de forma idêntica, mas os números são representados em 64 bits com 11 bits para o expoente (em excesso 1023) e 52 bits para a mantissa Gamas de representação (na forma normal) Precisão simples   1.2  a 3.4  1038 Precisão dupla   2.2  a 1.8  10308

Multiplicação binária
Aritmética Multiplicação binária

Multiplicação (sem sinal) 1101 multiplicando (A) × 1010 multiplicador (B) 0000 produto (P) Quando se multiplicam dois números de n bits (sem sinal), o resultado terá, no máximo, 2n bits. 1101 (13) × 1010 (10) = (130)

Multiplicação (sem sinal) A3 A2 A1 A0 × B3 B2 B1 B0 B0A3 B0A2 B0A1 B0A0 B1A3 B1A2 B1A1 B1A0 B2A3 B2A2 B2A1 B2A0 B3A3 B3A2 B3A1 B3A0 P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0 ANDs entre os bits de A e os bits de B

Utilizando vários adicionadores... A3 A2 A1 A0 × B3 B2 B1 B0 B0A3 B0A2 B0A1 B0A0 + B1A3 B1A2 B1A1 B1A0 cout1 S13 S12 S11 S10 B2A3 B2A2 B2A1 B2A0 cout2 S23 S22 S21 S20 B3A3 B3A2 B3A1 B3A0 cout3 S33 S32 S31 S30 P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0 Somadores

Pode-se seguir esta estrutura

Utilização de vários adicionadores Se os números a multiplicar são compostos por n bits então são necessários n – 1 adicionadores de n bits cada um Eventuais problemas: Excesso de material por exemplo, para multiplicar dois números de 32 bits seriam necessários 31 somadores de 32 bits Demasiado consumo de tempo durante um ciclo Num processador, ter um multiplicador deste género pode aumentar de forma significativa a duração de cada ciclo, devido aos tempos de propagação dos somadores

Alternativa: usar um único somador e registos O adicionador efectua todas as adições necessárias em n ciclos É necessário: Um registo para acumular as somas – RP Um registo de deslocamento para a esquerda e outro para a direita – RA e RB RP e RA são registos de 2n bits para RB, um registo de n bits é suficiente

Algoritmo básico (para inteiros sem sinal) Inicialização: RP ← 0, RA ← A, RB ← B Ciclo (n iterações) se ( RB0 == 1 ) // bit menos significativo em RB RP ← RP + RA RA ← RA << 1, RB ← RB >> 1 No final, o resultado da multiplicação está em RP

Hardware para o algoritmo básico

Exemplo – multiplicar 1010 por 1001 (i.e. 109) Inicialização: RP: RA: RB: 1001 Ciclo 3 (RB0 = 0) RP: RA: RB: 0001 Ciclo 1 (RB0 = 1) RP: RA: RB: 0100 Ciclo 4 (RB0 = 1) RP: RA: RB: 0000 Ciclo 2 (RB0 = 0) RP: RA: RB: 0010 O resultado será então: RP: = = = 90

Aritmética Aceleração da adição

Adição básica (Ripple-carry)
Um circuito full adder (dado em AC1) Soma os bits A e B com o transporte anterior (Cin), dando o resultado da soma (S) e o transporte que sai (Cout)

Adicionador Ripple-carry de n bits Problema: Os transportes (Ci’s) têm que se propagar entre os full adders Admitindo que cada full adder impõe um atraso, o tempo necessário para ser feita a soma será proporcional a n

Outra maneira de ver PFA PFA – Partial Full Adder

Outra maneira de ver Em que: Propagação de carry Geração de carry

Para um ripple adder de 4 bits P’s e G’s podem ser calculados em paralelo (ao mesmo tempo) As somas (os S’s) têm que esperar que chegue o Ci respectivo

Para um ripple adder de 4 bits Caminho crítico – corresponde ao pior caso na propagação dos sinais Tipicamente é o que atravessa mais portas lógicas

Acelerar a adição Genericamente tem-se:

Acelerar a adição Com base nessas equações obtém-se:

Adicionador Carry Lookahead
Este tipo de adicionador designa-se por carry lookahead adder (CLA) Repare no atraso associado à propagação do carry neste caso corresponde ao de 2 portas lógicas E se quisesse construir um CLA de 8 bits ? Problema com o desenho anterior: para calcular carrys de ordem elevada (e.g. C7) precisaria de portas lógicas com muitas entradas... ...difícil de implementar na prática Uma abordagem mais realista seria usar portas com 2 entradas

O caminho crítico está representado a vermelho

Caminho crítico num CLA de 8 bits.

Comparação entre os adicionadores: (supondo que apenas são utilizadas portas lógicas com 2 entradas) Nº de bits Ripple-carry CLA Tempo Nº de portas 4 9tPD 20 7tPD 29 8 17tPD 40 11tPD 61 16 33tPD 80 15tPD 125 32 65tPD 160 19tPD 253 64 129tPD 320 23tPD 509 128 257tPD 640 27tPD 1021 tPD – atraso de uma porta lógica (supondo que todas impõem o mesmo atraso)

Outros adicionadores Carry select adder Carry skip adder
A ideia consiste em preparar somas parciais para ambas as hipóteses de carry in O carry out do bloco anterior irá seleccionar qual dos 2 resultados é válido Carry skip adder Composto por vários blocos onde são calculados os P’s, mas não os G’s Os P’s são utilizados para propagar o carry ao bloco seguinte

Outros adicionadores Carry select adder (8 bits)

Outros adicionadores Carry skip adder (16 bits)

Síntese Evolução do tempo necessário para fazer uma soma de dois números representados com n bits Adicionador Tempo Ripple O(n) Carry lookahead O(log2 n) Carry skip O(√n) Carry select n – número de bits O(x) – significa “evolui proporcionalmente com a grandeza x”

Síntese

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