Matemática Discreta I BCC101 Teoria de Conjuntos 1

Teoria de Conjuntos Tudo em matemática pode ser escrito em termos de conjuntos A Teoria de Conjuntos é adequada para descrever e explicar todas as estruturas matemáticas. 2 2

O que é um conjunto? Um conjunto é uma coleção de objetos Cada objeto da coleção é dito um elemento do conjunto. Exemplos: 𝐍 = {0,1,2,3,…} números naturais 𝐙 = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} números inteiros 𝐐 = {n/m | n,m ∈ 𝐙, m≠0 } números racionais 𝐑 números reais 3 3

Mais exemplos de conjuntos 𝐁 = {T,F} conjunto Booleano C = {a,e,I,o,u} conjunto das vogais D = {(0,0),(1,5),(3,2)} conjunto de pares de números E = {{1,2},{10},{3,3,3}} conjunto de conjuntos F = {3,{2,5},{5,8,2}} elementos não precisam ser do mesmo tipo 3 ∈ F {2,5} ∈ F 2 ∉ F 4 4

Cardinalidade Se A é um conjunto finito, a cardinalidade de A é o número de elementos de A Notação: |A| Exemplos: A = {a,b,c,d} |A| = 4 B = {{1,2}, {1,2,3}} |B| = 2 5 5

Conjunto Vazio { } conjunto vazio: não possui elementos 3  { } x  { } — não importa o que seja x  = { } — a letra Grega phi denota o conjunto vazio Observação:  ≠ {} || = 0 |{}| = 1 6 6

Exercício F = {,{},{{}}} Qual é a cardinalidade de F?  ∈ F ?  ∈ {{}} ? 7 7

Notação para conjuntos { x | x  {2, 3, 5, 7, 11} , x  4} {5, 7, 11} { x + x | x  {2, 3, 5, 7, 11} , x  3 , x  11} {6, 10, 14} {f x | x  A, p x} Denota o conjunto cujos elementos têm a forma (f x), onde x vem de A e é tal que (p x) é verdadeira (True) Para evitar contradições: O predicado deve especificar o universo de discurso Examplos inválidos: {X | X é um conjunto} {X | X  X} Nestes exemplos, o universo de discurso não é especificado 8 8

Exercícios Listar os elementos dos seguintes conjuntos: {n ∈ 𝐍 | n é primo} {n2 | n ∈ 𝐙 } {x ∈ 𝐑 | x2 – 2 = 0} {x ∈ 𝐙 | x2 – 2 = 0} {x ∈ 𝐙 | |x| < 4} {2x ∈ 𝐙 | |x| < 4} {x ∈ 𝐙 | |2x| < 4} {X | X ∈ {{1,2},{3,4,5,6},{7}}, |X|<3 } 9 9

Subconjuntos, Igualdade A é um subconjunto de B Definição: A  B  x. (x  A  x  B) Exemplos {2, 3, 5, 7}  {2, 3, 5, 7, 11}   A — independentemente do que seja A Igualdade entre conjuntos Definição: A = B  (A  B) e (B  A) A é um subconjunto próprio de B Definição: A  B  (A  B) e (A  B)

Exercícios Quais afirmações são verdadeiras? 1 ∈ {1,{1}} 1  {1,{1}} {1} ∈ {1,{1}} {1}  {1,{1}} {{1}} ∈ {1,{1}} {{1}}  {1,{1}} 𝐍 ∈ 𝐍 𝐍  𝐍  ∈ 𝐍   𝐍 𝐍 ∈ {𝐍} 𝐍  {𝐍}  ∈ {𝐍}   {𝐍}  ∈ {,𝐍}   {,𝐍} {𝐍}  {,𝐍} {𝐍}  {,{𝐍}} {𝐍} ∈ {,{𝐍}}  ∈  11 11

Operações Conjunto Potência Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Operações Conjunto Potência Cojunto Potência de A Definição: P(A) = {S | S  A} Exemplos P({2, 3, 5}) = {, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}} P() = {} |P(A)| = 2|A| Isso será provado mais tarde, usando indução Quantos elementos tem P(P())? P(P()) = { , {} } Quantos elementos tem P(P(P()))? P(P(P())) = { , {}, {{}}, {, {}} } Quantos elementos tem P(P(P(P())))? 24 = 16 Quantos elementos tem P(P(P(P(P()))))? 216 — um bocado! em torno de 65.000

Exercícios Liste todos elementos de cada conjunto: P({0,1,3}) P({1}) 13 13

Operações: Produto Cartesiano Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Operações: Produto Cartesiano Produto Cartesiano de A e B Definição: A  B = {(a, b) | a  A e b  B} |A x B| = |A| x |B| Exemplos {2, 3}  {3, 5, 7} = {(2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7)} {0, 1, 2, …}  {1, 2, 3, …} = conjunto de todos os pares de números naturais em que o segundo componente ≠ 0 Exercício: Quantos elementos tem A  P(A)? (Suponha que A tem n elementos)

Operações: União e Interseção Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Operações: União e Interseção União de A e B Definição: A  B = {x | x  A ou x  B} Outra maneira: x. (x  A  B)  (x  A ∨ x  B) Exemplos {2, 3, 5}  {5, 7, 11} = {2, 3, 5, 7, 11}   A = A — independentemente do que seja A {, {}}  { {{}}, {, {}} } = {, {}, {{}}, {, {}} } Interseção de A e B Definição: A  B = {x | x  A e x  B} {2, 3, 5, 7}  {2, 7, 11} = {2, 7}   A =  — independentemente do que seja A Conjuntos disjuntos Definição: A e B são disjuntos  A  B = 

Operações: Diferença e Complemento Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Operações: Diferença e Complemento Diferença A menos B Definição: A – B = {x | x  A e x  B} Exemplos {2, 3, 5, 7} – {2, 7, 11} = {3, 5} A –  = A — independentemente do que seja A  – A =  — independentemente do que seja A Complemento de A Definição: A’ = U – A onde U é o universo de discurso Exemplos - universo de discurso = {0, 1, 2, …} {2, 3, 4, 5}’ = {0, 1}  {6, 7, 8, …} {2x | x  {0, 1, 2, …}}’ = {2x+1 | x  {0, 1, 2, …}}

Sejam A = {a,b,c,d,e} B={d,e,f} C={1,2,3} Exercícios Sejam A = {a,b,c,d,e} B={d,e,f} C={1,2,3} A  B A  B A – B B – A (A-B)  (B-A) A  C A  C A – C (A  C)  (A – C) (A  B) x B (AxC)  (BxC)

Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Famílias de conjuntos União de uma família de conjuntos S Definição: S = {x | x  A para algum AS. } Outra maneira: x. (x  S)  (A. AS  x  A) Exemplos { {2, 3, 5}, {5, 7, 11}, {2, 5, 13, 17} } = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} Interseção de uma família de conjuntos S Definição: S = {x | x  A, para todo AS} { {2, 3, 5, 11}, {5, 7, 11}, {2, 5, 7, 11, 13, 17} } = {5, 11} { {xn | x  {1, 2, …}} | n  {0, 1, 2, …} } = {1}

Famílias indexadas de conjuntos Lecture 13 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Famílias indexadas de conjuntos Sejam A1, A2, … , An tais que Ai = {-i, …,0….,i} União Interseção Exemplo: A1={-1,0,1} A2={-2,-1,0,1,2} An={-n,…,-1,0,1,…,n}

Exercícios Determine os seguintes conjuntos

Princípio da Boa Ordenação Todo subconjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento: A ⊆ 𝐍 e A≠ → existe x0∈A tal que x0 ≤ x, para todo x∈A É uma propriedade fundamental de 𝐍 Não vale para números reais: A = {1/n | n∈𝐍} não tem um menor elemento 21 21

Princípio da Boa Ordenação- consequência Algoritmo de Divisão: Dados dois números naturais a e b, com b>0, existem números naturais q e r tais que a = qb + r e 0 ≤ r < b Prova: Dados a e b, com b>0, construa o conjunto A = {a – xb | x∈𝐙, 0 ≤ a – xb} Por exemplo, se a=17 e b=3, A ={2,5,8,11,14,17,…} A é não vazio. Seja r o menor elemento de A. Então r=a–qb, p/ algum q∈𝐙 e, portanto, a=qb+r. Além disso, r<b: se r≥b, então um número não negativo r-b=(a-qb)-b=a-(q+1)b, da forma a–xb seria o menor elemento de A, ao invés de ser r. 22 22

Paradoxo de Russel Bertrand Russell (1872-1970) Uma teoria ingênua de conjuntos pode levar a paradoxos. Considere: A = {X | X é um conjunto e X ∉ X} {1,2} ∈ A 𝐍∈A Seja X = {X}. X ∉ A Paradoxo: A∈A ? 23 23

Teoria Axiomática de Conjuntos Para evitar os paradoxos que podem ocorrer em uma teoria ingênua de conjuntos, foi proposta, por Zermelo e Frankel, uma teoria axiomática, que inclui como axiomas: Princípio da Boa Ordem Nenhum conjunto não vazio C pode ter a propriedade de que C ∩ x ≠ , para todos os elementos seus elementos x que sejam conjuntos. Isso exclui conjuntos tais como X = {X}. 24 24