Pesquisa Operacional Sistemas Lineares Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães leila_lage@uol.com.br

Pesquisa Operacional: Sistemas de equações lineares Tema da aula 07 Pesquisa Operacional: Sistemas de equações lineares

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan Consiste da derivação de um sistema específico de equações lineares que tenha a mesma solução que o sistema original. Este novo sistema deverá ter o formato de uma matriz identidade, o que pode ser obtido através de combinações lineares das equações originais. Assim, pretende-se que:

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan São permitidas as seguintes transformações: Troca de linhas; Ln ← Lm – troca das linhas n por m Multiplicação da linha por um escalar; Ln ← KLn – multiplicação da linha n pelo escalar K Soma de uma linha multiplicada por um escalar a uma outra linha. Ln ← Ln + KLn – soma da linha n multiplicada pelo escalar K à linha n

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 1) Transformação do coeficiente de X1 na equação 1 para 1 Solução: dividir a 1ª equação por 4 para achar o coeficiente de X1 igual a 1. L1 ← L1 / 4 6

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 2) Transformação do coeficiente de X1 na equação 2 para 0 Solução: subtrair a 2ª equação pela 1ª equação multiplicada por 6. L2 ← L2 – 6L1 7

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 3) Transformação do coeficiente de X2 na equação 2 para 1 Solução: divisão da 2ª equação por -8. L2 ← L2 / - 8 8

Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 4) Transformação do coeficiente de X2 na equação 1 para 0 Solução: subtração da 1ª equação pela 2ª equação multiplicada por 2. L1 ← L1 – 2L2 - 9

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Utiliza o estudo de determinantes para obtenção de sistemas lineares, onde o número de equações coincide com o número de incógnitas. a11 a12 a13 a1n b1 a21 a22 a23 a2n b2 a31 a32 a33 a3n b3 B = Matriz incompleta Matriz incompleta Matriz incompleta Matriz incompleta Matriz completa Matriz completa 10

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Matriz incompleta Matriz completa 11

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α1, α2, α3 .... αn) do sistema é obtida por: αi V = 1,2,3 .... n i 12

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α1, α2, α3 .... αn) do sistema é obtida por: αi V = 1,2,3 .... n i 13

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER D = determinante da matriz incompleta. Di = determinante obtido pela substituição da coluna i da matriz incompleta pela coluna de termos independentes das equações do sistema. 14

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Calcular determinante de D usando Sarrus. D = D = 27 15

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Escolher a coluna para cálculo de Di. Cálculo de D1, D2 e D3 D = Coluna escolhida 16

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Para cálculo de D1 substituir a 1ª coluna pela coluna de termos independentes. Cálculo do determinante D1, usando Sarrus. D = D1 = -54 17

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Para cálculo de D2 substituir a 2ª coluna pela coluna de termos independentes. Cálculo do determinante D2, usando Sarrus. D = D2 = 81 18

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Para cálculo de D3 substituir a 3ª coluna pela coluna de termos independentes. Cálculo do determinante D3, usando Sarrus. D = D3 = 0 19

Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER X = D1 / D Y = D2 / D Z = D3 / D X = -54 / 27 Y = 81 / 27 Z = 0 / 27 X = -2 Y = 3 Z = 0 O vetor solução será (-2, 3, 0). Substituir os valores nas equações para conferir 20

Memória de aula Como se deve resolver um sistema de equações utilizando o método de Gauss-Jordan? Como se deve resolver um sistema de equações utilizando a regra de Cramer? Determine o vetor solução para a seguinte equação:

Bibliografia indicada LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).