Álgebra Linear e Geometria Analítica 11ª aula

Rectas no plano, no espaço e em n Planos no espaço e em n

Em geometria euclidiana:

Em geometria euclidiana: 2 pontos definem uma recta

Em geometria euclidiana: 2 pontos definem uma recta ou 1 ponto e a direcção da recta

Em geometria euclidiana: 2 pontos definem uma recta ou 1 ponto e a direcção da recta ou seja: 1 ponto + 1 vector

(u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (u1,u2)

(4,6) (u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (-3,2) (u1,u2)

(4,6) u=(7,4) (-3,2)

Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?

Como reconhecer se um ponto está sobre a recta? É preciso encontrar uma condição a que obedeçam os pontos da recta e só esses.

(ku1,ku2) (u1,u2) u

(ku1,ku2) u (u1,u2) u u

Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta

Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta P = A +  u

Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta P = A +  u (x, y) = (-3, 2) +  (7, 4)

Como encontrar a tal condição? P = A +  u (x, y) = (-3, 2) +  (7, 4) equação vectorial equações paramétricas

Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta

Como encontrar a tal condição? Comecemos com a recta do exemplo: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector P = (x, y) ponto geral da recta Equação Cartesiana

Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

Observemos: A = (-3, 2) ponto u = (7, 4) vector

Equação geral da recta no plano:

Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)

Em geral: A = (a1, a2) ponto u = (u1, u2) vector (x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2) Equação reduzida

Equação reduzida: Diz-se que temos uma equação reduzida da recta no plano se tivermos uma equação do tipo: y = m x + h

Equação reduzida: Diz-se que temos uma equação reduzida da recta no plano se tivermos uma equação do tipo: y = m x + h

u2  u1

u2  u1

Declive da recta: A chama-se declive da recta

Declive da recta: y = m x + h m declive h ordenada na origem A chama-se declive da recta y = m x + h m declive h ordenada na origem

Declive da recta: A chama-se declive da recta Rectas paralelas têm o mesmo declive

-2x + y = 1 -2x + y = 6 -2x + y = -1 -2x + y = -4

Rectas ortogonais: A recta L definida por { A +  u } é ortogonal à recta L’ definida por { B +  v } se os vectores u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0

y = 2x + 2

Rectas ortogonais: Supor que: L definida por { A +  u } tem equação reduzida y = m x + h L’ definida por { B +  v } tem equação reduzida y = m’ x + h’ Se as rectas são ortogonais qual a relação entre m e m’?

Recta L: Recta L’:

Recta L: Recta L’:

Recta L: Recta L’:

Recta L: Recta L’:

Ângulo de duas rectas: O ângulo de duas rectas é igual ao ângulo entre os vectores que definem as rectas

Posição relativa de duas rectas: Duas rectas no plano podem ser: Paralelas Coincidentes Concorrentes: Perpendiculares Oblíquas

Posição relativa de duas rectas: Como reconhecer cada caso?

Posição relativa de duas rectas: Como reconhecer cada caso?

Posição relativa de duas rectas: Como reconhecer cada caso?

1º caso: sistema possível e determinado: as rectas são concorrentes 2º caso: sistema impossível: as rectas são paralelas 3º caso: sistema indeterminado: as rectas são coincidentes

Distância de um ponto a uma recta

Distância de um ponto a uma recta Exemplo

Equação da recta: Equação geral da família de rectas perpendiculares à recta: Equação da recta perpendicular à recta dada que passa no ponto A = (5, 1): h = 45 - 31 = 17

Outra forma de calcular a distância: Encontrar um vector n normal à recta Considerar um ponto P sobre a recta Considerar o vector AP Fazer a projecção de AP sobre n.

Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de equação ax + by + c = 0

Rectas em 3 Para definir uma recta são necessários: 2 pontos ou 1 ponto e 1vector

L’ = {P + u} P + u P L = {0 + u} u

Equações de rectas no espaço: L = {P + u} com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

Equações de rectas no espaço: L = {P + u} com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

Equações de rectas no espaço: L = {P + u} com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

Planos em 3 Para definir um plano são necessários: 3 pontos não colineares ou 1 ponto e 2 vectores linearmente independentes 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano

Planos em 3 Um plano M é um conjunto de pontos da forma: em que P é um ponto e u e v são vectores linearmente independentes.

Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) (x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)

Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) (x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)

Exemplo (outra forma de calcular) Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

Exemplo Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4) 1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao plano

Distância de um ponto a um plano: Q ponto que não pertence ao plano

Distância de um ponto a um plano: Q ponto que não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

Distância de um ponto a um plano: Q ponto que não pertence ao plano n vector ortogonal ao plano

Distância de um ponto a um plano: Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0

Q n P

Q n P

Q n P

Ângulo entre dois planos: O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre os vectores ortogonais aos planos

Posição relativa de dois planos: A intersecção de dois planos não paralelos é uma recta Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes

Posição relativa de dois planos: A intersecção de dois planos não paralelos é uma recta Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes Planos paralelos têm o mesmo vector ortogonal. Dois planos paralelos são coincidentes se um ponto de um dos planos pertencer ao outro.

Planos paralelos: ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)

Planos paralelos: ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c) A distância entre os dois planos paralelos é dada por

Ângulos entre rectas e planos: Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.

Ângulos entre rectas e planos: Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano. Qual a relação entre estes ângulos?