Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Apresentação em tema: "Matemática e suas Tecnologias - Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2º Ano Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo

2 Conteúdos: retas, pontos e planos no espaço; perpendicularismo;
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Conteúdos: retas, pontos e planos no espaço; perpendicularismo; paralelismo.

3 Conceitos Primitivos Ponto Características Não possui dimensão.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Conceitos Primitivos A Ponto P Características Não possui dimensão. Sua representação geométrica é indicada por letra maiúscula do alfabeto latino: A, H, G, J, M, P, etc. A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a ideia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.

4 Por um ponto, podem ser traçadas infinitas retas.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Por um ponto, podem ser traçadas infinitas retas. U t S P r

5 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo A IDEIA DE PONTO... Imagem: Ministério dos Transportes /  Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license. A representação de uma cidade no mapa.

6 É unidimensional e tem comprimento infinito.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Reta Características É unidimensional e tem comprimento infinito. Sua representação geométrica é indicada por letra minúscula do alfabeto latino: r, s, t, u, a, b, e etc. Em uma reta há infinitos pontos. r

7 Plano Características MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Plano β Características É bidimensional, possui largura e comprimento infinitos e não possui espessura. Sua representação geométrica é indicada por letras do alfabeto grego: α, β, γ, δ, θ, etc. Com 3 pontos distintos e não colineares, determina-se um plano.

8 Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. r

9 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Espaço: é o conjunto de todos os pontos, retas e planos. É tridimensional.

10 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Axiomas Axiomas, ou postulados, são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Teoremas são propriedades que podem ser justificadas com base nos postulados.

11 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Postulados Postulado 1 Existe reta, e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. Existe plano, e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.

12 Postulado 2 Por dois pontos distintos passa uma única reta.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Postulado 2 Por dois pontos distintos passa uma única reta. Postulado 3 Dado três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém.

13 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Postulado 4 Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contida no plano. Postulado 5 Se dois planos possuem um ponto em comum, então eles possuem pelo menos mais de um ponto em comum, ou seja, uma reta em comum. P

14 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Postulado 6 Por um ponto qualquer não pertencente a uma reta r dada, passa uma única reta paralela à r. r

15 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Retas Reversas: duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas. r

16 Posições entre duas Retas
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posições entre duas Retas Concorrentes: duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum. r P s

17 Posições entre duas Retas
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posições entre duas Retas Paralelas: duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum e são coplanares.

18 Posições entre duas Retas
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posições entre duas Retas Coincidentes: duas retas são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum. r = s

19 Posições entre duas Retas
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posições entre duas Retas Reversas: duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas. r s

20 Temos que considerar dois casos particulares:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Temos que considerar dois casos particulares: retas perpendiculares: retas ortogonais: Imagem: Completerat / Public domain Imagem: Autor desconhecido /  Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

21 Posição Relativa entre Reta e Plano
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posição Relativa entre Reta e Plano Reta contida no plano: uma reta está contida no plano quando, pelo menos, dois de seus pontos pertencem ao plano. r A B

22 Posição Relativa entre Reta e Plano
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posição Relativa entre Reta e Plano Reta e plano concorrentes: quando possuem um único ponto em comum. r P

23 Posição Relativa entre Reta e Plano
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posição Relativa entre Reta e Plano Reta e plano paralelos: se uma reta é paralela a um plano, essa reta é paralela a, pelo menos, uma reta desse plano. Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r. r s α

24 Posição Relativa entre Planos
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posição Relativa entre Planos Planos paralelos: dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. No entanto, uma condição necessária para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retas concorrentes paralelas ao outro plano. Imagem: Qef / Public domain.

25 Posição Relativa entre Planos
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posição Relativa entre Planos Planos coincidentes: dois planos são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum.

26 Posição Relativa entre Planos
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Posição Relativa entre Planos Planos concorrentes: dois planos são concorrentes quando sua intersecção é uma reta. P

27 Perpendicularismo Entre Retas
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Perpendicularismo Entre Retas Retas Perpendiculares: são retas que se encontram e formam ângulos de 90°.

28 Perpendicularismo entre reta e plano
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Perpendicularismo entre reta e plano r t . . α r . α t

29 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Perpendicularismo Retas Ortogonais: são retas que não se encontram, mas suas projeções formam um ângulo reto.

30 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Perpendicularismo Entre Reta e Plano: uma reta concorrente com um plano, num ponto P, é perpendicular ao plano se é perpendicular a todas as retas do plano que passam por P.

31 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Perpendicularismo Teorema: se uma reta r é perpendicular ou ortogonal a um par de retas concorrentes contidas no plano, então r é perpendicular ao plano.

32 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Perpendicularismo Entre Planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contiver uma reta r que é perpendicular ao outro plano.

33 Projeção ortogonal de um ponto
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Projeção Ortogonal Projeção ortogonal de um ponto P P’

34 Projeção ortogonal de um segmento
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo Projeção Ortogonal Projeção ortogonal de um segmento B A

35 Tabela de Imagens n° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso 5 Ministério dos Transportes / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license. 18/09/2012 21 A - Completerat / Public domain B - Autor desconhecido /  Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license. A B - 25 Qef / Public domain.