IG-UNICAMP A RETA Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

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1 IG-UNICAMP A RETA Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

2 ESTUDO DA RETA (p) (B) (D) (C) (A) B D C A
IG-UNICAMP ESTUDO DA RETA “A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano”. (B) (D) (C) (A) (a) B D C (p) A Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Estas perpendiculares formam um plano perpendicular ao plano p que é o plano projetante da reta. Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (AB) é portanto esta interseção.

3 ESTUDO DA RETA (p) (A) (B) A=B
IG-UNICAMP ESTUDO DA RETA A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular. Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta A=B (B) (A) (p)

4 ESTUDO DA RETA (p) A (B) (A) B
IG-UNICAMP ESTUDO DA RETA Quando uma reta for paralela ao plano, a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta. No exemplo dado, seja a reta (A)(B) paralela ao plano p cuja projeção neste plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelograma no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.). A (B) (A) (p) B

5 ESTUDO DA RETA (p) A (B) (A) B
IG-UNICAMP ESTUDO DA RETA Quando uma reta for oblíqua a um plano, a sua projeção é menor que a reta do espaço. Isto pois a reta forma, com a sua projeção e as projetantes, um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço. (p) A (B) (A) B

6 IG-UNICAMP ESTUDO DA RETA O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação desta em relação ao plano. Uma reta pode passar por todos os valores, de zero (reta ortogonal ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento verdadeiro da reta (reta paralela ao plano). (p) (A) (B) (B4) (B3) (B2) (B1) A=B B1 B2 B3 B4

7 ESTUDO DA RETA (p) (B) (B1) (B2) (B3) (A) (B4) IG-UNICAMP
Seja a reta (A)(B) perpendicular ao plano p. Suponha que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B1), ...(A)(B3), etc, cujas projeções no plano (p) são respectivamente AB, AB1, AB2, etc. e assim por diante. Verifica-se que a projeção inicial é o ponto A=B e que esta projeção torna-se AB1 quando o ponto B atinge a posição (B1) e vai crescendo gradativamente. Conclui-se que a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele. (p) (A) (B) (B4) (B3) (B2) (B1) A=B B1 B2 B3 B4

8 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M), comum à reta (s) e ao plano (). Enquanto a reta (r) está situada no plano (), a reta (s) tem neste plano apenas um ponto (M). Conclui-se que o ponto (M) e a reta (r) definem o plano () e a reta (s) a ele não pertence. (s) (r) e (s) são retas reversas ou não coplanares, o que significa que não pertencem ou não estão posicionadas no mesmo plano. () (r) (M)

9 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M), comum às retas (r) e (s) e ao plano (). As retas (r) e (s) pertencem ao mesmo plano. (r) e (s) são ditas “coplanares”, “pois definem um plano. (r) (M) (s) ()

10 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES Concorrentes: as retas (r) e (s) apresentam um ponto em comum (M). Paralelas: as retas (r1) e (s1) são paralelas, não admitindo ponto comum. () (M) (s) (r) (r1) (s1)

11 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES CONCORRENTES Duas retas são concorrentes quando o ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais (M) estiver numa mesma linha de chamada M’ s’ s M r r’ (M) (r) (s) r s M ()

12 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES CONCORRENTES Duas retas são concorrentes quando duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam. () r = s (O) (r) (s) O S’ O’ r’ O r=s Neste caso as 2 retas concorrentes admitem um mesmo plano de projetante e por isso suas 2 projeções de mesmo nome coincidem.

13 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES CONCORRENTES Duas retas são concorrentes quando uma das projeções de uma reta se reduz a um ponto sobre a projeção de mesmo nome da outra reta. u’ r’ M’ r M=u (r) (u) (M) M=u r ()

14 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES PARALELAS Duas retas são paralelas quando >> (I) as suas projeções de mesmo nome são paralelas. (r) r (s) s () r r’ s s’

15 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES PARALELAS Duas retas são paralelas quando >> (II) duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas (é o caso de duas retas //s admitirem um mesmo plano projetante). (r) () (s) r=s r’ s’ r=s

16 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
IG-UNICAMP POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES PARALELAS Duas retas são paralelas quando >> (III) as suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. (r) () (s) r’ s’ s r É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si.

17 Por que? ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA
IG-UNICAMP ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA RETA HORIZONTAL: reta paralela ao plano horizontal. RETA FRONTAL: reta paralela ao plano vertical. RETA FRONTO-HORIZONTAL: reta paralela aos dois planos. RETA VERTICAL: reta perpendicular ao plano horizontal. RETA DE TOPO: reta perpendicular ao plano vertical Não mencionamos retas perpendiculares aos dois planos? Por que?

18 IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Pois não há retas nesta posição!!! Toda a reta perpendicular a um plano será obrigatoriamente paralela ao outro, JÁ QUE OS PLANOS DE PROJEÇÃO SÃO PERPENDICULARES ENTRE SI.

19 DETERMINAÇÃO DE UMA RETA
IG-UNICAMP DETERMINAÇÃO DE UMA RETA De modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge. (A) A A’ B’ (p’) (B) B (p) A B A’ B’ Sejam os planos (p) e (p’) perpendiculares e AB e A’B’ respectivamente as projeções da reta (A)(B), cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpencicular ao plano (p); o mesmo se aplica com A’B’ em relação a (p’). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a interseção destes 2 planos projetantes.

20 PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
IG-UNICAMP PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA Sabe-se que três pontos em linha reta projetam-se segundo três pontos também em linha, EXCETO quando os pontos estão na mesma reta perpendicular ao plano. (a) A C (A) (C) (B) B Verifica-se então que se o o ponto (C) da figura ao lado pertence à reta (A)(B), a projeção C pertence à projeção AB. REGRA GERAL...

21 PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
IG-UNICAMP PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA REGRA GERAL: um ponto pertence a uma reta quando as projeções deste ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta. EXEMPLOS r’ A’ A r B’ B t’ t E E’ F’ C’ C F

22 IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a maior parte delas....

23 Características da reta Qualquer:
RETA QUALQUER (AG) No espaço Na épura A2 PV C G2 A2 B G2 G D A F L T H E G1 G1 A1 A1 PH Características da reta Qualquer: O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH. Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. Nenhuma de suas projeções está em V.G. As projecções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT.

24 RETA FRONTO-HORIZONTAL (AB)
No espaço Na épura A2 B2 PV B2 C A2 B G D L T A F H E B1 A1 A1 B1 PH Características da reta Fronto-horizontal: O segmento AB tem a mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. Tem também, o mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e portanto é paralela ao PV. Sendo paralela ao PV e ao PH também o será à LT. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. – Verdadeira Grandeza Por ser paralela ao PV, a sua projeção vertical também estará em V.G.

25 Características da reta Horizontal:
RETA HORIZONTAL (AC) No espaço Na épura A2 C2 PV C2 C A2 B G D A F L H T E C1 C1 A1 PH A1 Características da reta Horizontal: O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao P H. Porém tem afastamentos diferentes nos pontos, é oblíquo ao PV. Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, a sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT. Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, a sua projeção vertical é paralela à LT.

26 Características da reta de Topo:
RETA DE TOPO (AD) No espaço Na épura A2=D2 PV C A2=D2 B G D A F L T H E D1 D1 A1 A1 PH Características da reta de Topo: O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. Porém tem afastamentos diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PV. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT. Sendo perpendicular ao PV, a sua projeção vertical transforma-se num ponto.

27 Características da reta Vertical:
RETA DE VERTICAL (AE) No espaço Na épura A2 E2 PV C A2 B G L T D E2 F A H E A1=E1 A1=E1 PH Características da reta Vertical: O segmento AE tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PH. Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é perpendicular à LT. Por ser perpendicular ao PH, a sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto.

28 Características da reta Frontal:
RETA FRONTAL (AF) No espaço Na épura A2 F2 PV C A2 F2 B G L T D F A H E F1 A1 F1 A1 PH Características da reta Frontal: O segmento AF tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é oblíquo ao PH. Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é oblíqua à LT. Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV, a sua projeção horizontal será paralela à LT.

29 Características da reta de Perfil
RETA DE PERFIL (AH) No espaço Na épura A2 H2 PV C A2 B G L T D H2 A F H H1 E H1 A1 A1 PH Características da reta de Perfil O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH; As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento As suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. No espaço, ela pode ser concorrente à LT.

30 POSIÇÕES DA RETA RETA DE PERFIL
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA RETA DE PERFIL (p’S) (pA) (s) (pP) (p’I) (H)=(V) (H) (r) (V) Uma reta de perfil só pode ocupar 2 posições em relação aos planos de projeção: (i) ou possui os 2 traços distintos (H) e (V) e neste caso passa por 3 diedros ou, (ii) possui os seus traços coincidentes sobre a LT e só atravessará os 2 diedros opostos.

31 POSIÇÕES DA RETA TRAÇOS DE RETA DE PERFIL IG-UNICAMP EM ÉPURA:
B2 H’=V A1 B1 EM ÉPURA: - seja (A) (B) dada por suas projeções A2 e B2 e A1 e B1. V’ (=(V)) é o traço da reta sobre o plano vertical (p’). Suponha que o traço “H” da reta sobre o plano horizontal (p) e o traço “V” da reta sobre o plano vertical (p’) sejam desconhecidos. VAMOS DETERMINÁ-LOS!!. - Opera-se fazendo-se centro em H’=V e descrevendo os raios de círculo até situar estes pontos em A3 e B3 na linha de terra. OBS: na realidade não é necessário obrigatoriamente traçar os arcos de círculo. O transporte dos afastamentos dos pontos (A) e (B) para H’A3 e H’B3 levam ao mesmo resultado.

32 PASSO 1 POSIÇÕES DA RETA TRAÇOS DE RETA DE PERFIL IG-UNICAMP A2 B2
H’=V A3 B3 A1 B1 PASSO 1

33 PASSO 2 POSIÇÕES DA RETA TRAÇOS DE RETA DE PERFIL EM ÉPURA:
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA TRAÇOS DE RETA DE PERFIL (A1) (B1) A2 B2 H’=V A1 B1 V’=(V) EM ÉPURA: - teremos em (A1)(B1) a verdadeira grandeza da reta (A)(B) - através do prolongamento superior da reta (A1)(B1) podemos derivar o traço vertical (V)=V’ da reta (A)(B) PASSO 2

34 POSIÇÕES DA RETA TRAÇOS DE RETA DE PERFIL IG-UNICAMP V’=(V) (A1) A’
(B1) B’ H’=V A1 B1 A B

35 PASSO 4 POSIÇÕES DA RETA Pronto! H e V’ estão determinados.
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA TRAÇOS DE RETA DE PERFIL (A1) (B1) A2 B2 H’=V A1 B1 H1 (H) V’=(V) EM ÉPURA: - com o mesmo centro em H’=V e raio H’H1, descreve-se, em sentido contrário ao efetuado para o rebatimento (sentido dos ponteiros), o arco H1H, sendo (H) o traço horizontal. PASSO 4 Pronto! H e V’ estão determinados.

36 POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (p’S)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Assim como analisado para o ponto, esta reta pode estar contida toda dentro de qualquer dos semiplanos ou em coincidência com a LT. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a LT. No segundo caso, ambas as projeções coincidem com aquela com a LT. Reta situada no (p’S) A B (A)=A’ (B)=B’ (A)=A’ (p’S) (B)=B’ A B (p’I) (pA) (pP) A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece acima da LT e a projeção horizontal sobre a LT.

37 POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (p’I)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (p’I) (p’S) (p’I) (pA) (pP) (A) = A’ (B) = B’ A B A B (A) = A’ (B) = B’ A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece abaixo da LT e a projeção horizontal sobre a LT.

38 POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (pA )
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (pA ) (pP) (p’S) (pA) (A) = A (B) = B B’ A’ (p’I) A’ B’ (A) = A (B) = B A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se abaixo da LT.

39 POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (pP ) (p’S) (A) = A (B) = B (pA) (pP)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Reta situada no (pP ) (pP) (p’S) (p’I) B’ (A) = A (B) = B (pA) A’ B’ A’ (B) = B (A) = A A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se acima da LT.

40 POSIÇÕES DA RETA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA pp’ (p’S) (pA)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA pp’ (p’I) (pA) (A)=A=A’ (B)=B=B’ (pP) (p’S) (B)=B=B’ (A)=A=A’

41 POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos: Reta (r) de topo no (pA) (p’S) (r)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos: Reta (r) de topo no (pA) (pP) (p’S) (pA) r’ (p’I) (r)

42 POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos: Reta (u) vertical no (p’S)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos: (p’S) (u) (p’I) (pA) (pP) u Reta (u) vertical no (p’S)

43 POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos: Reta (m) frontohorizontal no (pP)
IG-UNICAMP POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos: Reta (m) frontohorizontal no (pP) (pP) (p’S) (p’I) B’ (m) (pA) A’ m’