Determinação da Latitude e da Declinação R. Boczko IAG-USP 11 05 06

Latitude j e Longitude l PN Greenwich j l Equador j < 0 PS

Movimento noturno aparente olhando ao Sul 22 horas Pólo Sul 20 horas 24 horas Sul Oeste Leste

Latitude Austral Z PS j E N S W Equador

Movimento noturno aparente olhando ao Norte desde o HS 22 horas 24 horas Leão 20 horas Norte Oeste Leste

Movimento noturno aparente de uma estrela circumpolar norte Pólo Norte Norte Oeste Leste

Latitude Boreal Z PN j L N S W Nadir

Latitude astronômica e/ou geográfica Zênite PS Equador PN jA Horizonte j  hPN jG x j = - hPS Horizonte jA PN PS Equador jA = jG

Trajetórias diurnas das estrelas

Trajetórias diurnas paralelas Eixo de rotação Trajetórias diurnas paralelas PNC PN PS Equador N L PSC

Coordenadas Horárias e Equatoriais Z PN p M d H a g W

Tipos de Meridianos Meridiano Zenital Meridiano Superior Inferior N S Zênite Meridiano Zenital Z Horizonte PV PI Meridiano Superior Inferior Horizonte N S Meridiano Nadiral Z N S E W Nadir Horizonte Nadir

Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método geométrico)

Latitude e declinação no HN hp = (hs + hi) / 2 CS j  hp Se a culminação superior se der ao sul do zênite: hs = 1800 - hCS N S Z hs hCS PN Equador PN p d p PN hs hp p = (hs - hi) / 2 CI hi d = 900 - p N Oeste Leste

Latitude e declinação no HS hp = (hs + hi) / 2 CS j = - hp Se a culminação superior se der ao norte do zênite: hs = 1800 - hCS S N Z hs hCS PS Equador PN r d PS r PS hs hp r = (hs - hi) / 2 CI hi d = - (900 - r) S Oeste Leste

Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens meridianas CS No Verão, quando a noite é curta, o processo não funciona pois não se pode ver as 2 culminações meridianas num mesmo dia. P CI

Obtenção do pólo visível através de culminações

Obtenção do pólo norte com Culminações Z CS PN M Equador CI Horizonte N S

Obtenção do pólo sul com Culminações Z CS PS M Equador CI Horizonte N S a d

Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método algébrico)

Culminações ou passagens meridianas

Culminação ou passagem meridiana Z Na passagem meridiana superior: H  0. PN L M Horizonte S Na passagem meridiana inferior: H  180o. W Equador PS

Passagens meridianas no HN Na passagem meridiana superior: H  0. Z PN Na passagem meridiana inferior: H  180o. M L Horizonte N S W Equador Observador no Hemisfério Norte PS

Passagens meridianas no HS Na passagem meridiana superior: H  0. Z PS M Na passagem meridiana inferior: H  180o. L Horizonte S N W Equador Observador no Hemisfério Sul PN

Convenção de sinais na passagem meridiana Z Z: positivo ao norte do zênite Z > 0 Z < 0 Z: negativo ao sul do zênite Horizonte N S Z N S E W Nadir Horizonte

Culminações no HN Culminação inferior Culminação superior Z  + zi +  = 180o PN -zs =  –  zi = 180o -  -  zs =  -  -Zs j j Zi d Horizonte N S d Equador

Latitude e declinação no HN zs =  -  zi = 180o -  -  Obtenção da latitude local Somando membro a membro zi + zs = 180o - 2  = +90o – (zi + zs) / 2 Obtenção da declinação do astro Subtraindo membro a membro zi - zs = 180o - 2  = +90o – (zi - zs) / 2

Culminações no HS Culminação superior Z Culminação inferior zs =  -  PS zs =  -  (-) + (-zi) + (-) = 180o zi = -180o -  -  +Zs -j -j -d -Zi Horizonte N S -d Equador

Latitude e declinação no HS zs =  -  zi = -180o -  -  Obtenção da latitude local Somando membro a membro zi + zs = -180o - 2  = -90o – (zi + zs) / 2 Obtenção da declinação do astro Subtraindo membro a membro zi - zs = -180o - 2  = -90o – (zi - zs) / 2

Latitude e declinação Fórmulas gerais  = +90o – (zi + zs) / 2 Hemisfério Norte  = +90o – (zi + zs) / 2  = +90o – (zi - zs) / 2 Hemisfério Sul  = -90o – (zi + zs) / 2  = -90o – (zi - zs) / 2 Fórmulas gerais  =  90o – (zi + zs) / 2  =  90o – (zi - zs) / 2 + : observador no HN - : observador no HS + : astro no HN - : astro no HS

Latitude e declinação d a Enunciado: Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20o ao norte do zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X. zs = +20o  =  90o – (zi + zs) / 2 + : observador no HN - : observador no HS  = - 90o – (zi + zs) / 2  = - 90o – ([-70] + [+20]) / 2  = - 90o – (- 50) / 2  = - 90o + 25 Ast= Geo = - 65o  =  90o – (zi - zs) / 2 + : astro no HN - : astro no HS  = - 90o – (zi - zs) / 2  = - 90o – ([-70] - [+20]) / 2  = - 90o – (- 90) / 2  = - 90o + 45  = - 45o zi = -70o Pólo Sul Sul Oeste Leste Sentido horário Hemisfério Sul

Determinação do centro e do raio de uma circunferência

Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência Mediatriz B M Mediatriz O R = OA = OB = OC C A

Distância d entre 2 pontos A e B y d2 = (yB - yA)2 + (xB - xA)2 B yB d A yA O xA xB x

Ponto médio M de um segmento de reta AB y r B yB M yM = (yB - yA) / 2 yM A yA xM = (xB - xA) / 2 O xA xM xB x

Coeficiente angular m de uma reta r passando por 2 pontos A e B y m = tan  = (yB - yA) / (xB - xA) r B yB  A yA O xA xB x

Equação da reta r que passa por um ponto Q e tem coeficiente angular m m = tan  = (yQ - yA) / (xQ - xA) y y = yA + m (x - xA) r Q y=yQ  A yA O xA x=xQ x

Tangente de (x+90o) cot x 90-x tan x x tan (x+90) = - cot x x Co-tangente 90-x tan x x tan (x+90) = - cot x x tan (x+90) = - 1 / tan x tan (x+90) . tan x = - 1 90-x tan (x+90)

Relação entre os coeficientes angulares mr e ms de 2 retas r e s perpendiculares entre elas y tan (x+90o) . tan x = - 1 mr . ms = -1 r s mr = tan r ms = tan s ms = tan (90o + r) s = 180o - w s = 90o + r r w s w = 90o - r O x

Reta s por um ponto P e perpendicular a outra reta r y s y = yP + ms (x - xP) r ms = -1 / mr y = yP - (x - xP) / mr P yP O xP x

Equação de uma circunferência de centro (xc,yc) e raio R (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 R yC C O xC x

Circunferência dada por 3 pontos y y2 r y3 yC C y1 O x x1 x2 xC x3

Como obter o xc e yc do centro da circunferência (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2 (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2 (x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2 D  (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2) Igualar: (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 k  (x12 - x22 + y12 - y22) / 2 yc = [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) xc = [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) (x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 q  (x32 - x22 + y32 - y22) / 2 yc = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2) Igualar: xc = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2) [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2) xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2) yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D

Obter o centro e o raio da circunferência (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2 (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2 (x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2 Sejam: k = (x12 - x22 + y12 - y22) / 2 q = (x32 - x22 + y32 - y22) / 2 D = (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2) xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D R2 = (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2

Meridiano Local, Latitude local e Declinação da estrela através de 3 observações

Meridiano, Latitude e Declinação no HS PS Mira hp h1 h3 ap S a3 a2 a1 Oeste Leste

Meridiano, Declinação e Latitude Do céu para o papel Do papel para o céu Escala C (cm) G (graus) G --> C ai --> xi C --> G xp --> ap r’ P G --> C hi --> yi C --> G yp --> hp y2 y3 yp j = - hp y1 C --> G r’ --> r x1 x2 xp d = - (90 - r) x3

Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas O local não pode estar muito afastado do equador A estrela não pode estar muito afastada do pólo P

Astronomia a serviço da polícia

Ângulo entre o equador e o horizonte 90-  PS E 90-  Nascer    90-  N S 90-  90-  Ocaso W Equador Ângulo entre o equador e o plano do horizonte: 90o - 

Nascer do Sol Observador no Hemisfério Sul Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Nascer do Sol Horizonte N S Visto por um observador no Hemisfério Sul L Horizonte N S Visto por um observador no Hemisfério Norte L

Ocaso do Sol Observador no Hemisfério Sul Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Ocaso do Sol Horizonte S N Visto por um observador no Hemisfério Sul W Horizonte S N Visto por um observador no Hemisfério Norte W

Seqüestradores distraídos 900- 

Cativeiro dentro desse círculo Mapa do crime! Cativeiro dentro desse círculo Local do seqüestro 

Tempo sideral

Tempo sideral é o ângulo horário do ponto g Z PN M Tempo sideral é o ângulo horário do ponto g TS Horizonte S g W TS = Hg Equador

Determinação da Ascensão Reta

Ascensão reta com passagem meridiana Z PN TS = Hg TS = a + H M Na passagem meridiana superior: H = 0. Logo: a = TSPMS d H Horizonte a S g W Equador

Fim