Aula 3 Objetivos Resolver problemas matemáticos. Identificar as diferentes linguagens que interagem em uma situação de comunicação. Localizar informações explícitas e implícitas num problema localizando elementos seus elementos importantes. Selecionar, organizar, relacionar e interpretar dados e informações para tomada de decisões e resolução de situação problema.

Conteúdos Geometria Euclidiana Geometria esférica Coordenadas geográficas Ângulos Tipos de triângulos Soma dos ângulos internos de um triângulo Perpendicularidade

Parte 1- Ursos bancos e espaços curvos Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador percorreu dez quilômetros no sentido sul. Em seguida muda de rumo e anda dez quilômetros no sentido leste. Finalmente, muda outra vez de rumo e percorre dez quilômetros no sentido norte chegando exatamente ao ponto de partida. Nesse ponto ele encontrou um urso. Qual é a cor do urso?

SUL LESTE NORTE De imediato pode-se pensar que o problema não tem solução pois numa primeira leitura o caçador não poderia voltar ao ponto de partida

Para que cheguemos à solução aceita como correta do exercício é preciso que extrapolemos a forma como enxergamos a Geometria Talvez não seria o caso de extrapolarmos nossa visão de mundo e ver a Geometria sob um outro olhar. Que olhar seria esse?

Figura 1. Planeta Terra Fonte: OFFICE ONLINE, 2012.   A Terra não é uma superfície plana e sim aproximadamente esférica. Mas o que isso tem a ver com o problema do urso? Tudo. O fato de esquecermos que nosso planeta é uma superfície praticamente esférica faz com que “pensemos em linha reta”.

Agindo assim não nos damos conta que o caçador ao percorrer 10 km para o sul não está andando em linha reta e sim percorrendo um arco de curva. Norte Sul Figura 2. Planeta Terra Fonte: OFFICE ONLINE, 2012.  

Revendo todas as etapas do problema temos a configuração abaixo, que mostra o caminho percorrido pelo caçador: Leste Norte Sul 10 km Figura 6. Planeta Terra Fonte: OFFICE ONLINE, 2012.   Com essa reflexão é possível afirmar que: o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no polo Norte. E o urso? Se você pesquisar sobre os tipos de ursos que existem no polo Norte descobrirá que lá só existem ursos brancos.

Perceba que para pequenas distâncias acabamos, em nosso dia a dia, assim como nós as pessoas lá no ano 1.000, considerando que estamos sobre uma superfície plana. Figura 6A. A visão do mundo sobre uma superfície plana. Fonte: NEVES, 2012. Disponível em: http://lillyneves.blogspot.com.br/2011/10/frase-de-steve-jobs_06.html. Acesso em: 23 jul. 2012.

Figura 8. Figura geométrica sobre uma superfície curva As trajetórias mostradas no exercício anterior nos ajudam a perceber que existem outras geometrias espaciais além daquela que estamos acostumados a estudar. Figura 7. Figura geométrica sobre uma superfície plana   Figura 8. Figura geométrica sobre uma superfície curva Fonte: OFFICE ONLINE, 2012.  

Não podemos desconsiderar, por exemplo, a curvatura do nosso planeta na navegação e nas viagens espaciais ou em viagens de carro de longa distância ou viagens de avião, nem no problema do urso. Geometria dos espaços curvos - geometria não-euclidiana Gauss (1777 - 1855) Bolyai (1802 - 1860) Lobachevsky ( 1792 - 1856) Riemann (1826 – 1866)

Parte 2 – Espaços curvos Precisamos aprender a observar o mundo que nos cerca sob outra perspectivas. Figura 9 – Cilindro projeto em duas superfícies. Fonte: SPINORBITALATOMICO, 2012.

Foram desenhados os pontos A e B abaixo que estão a uma certa distância um do outro. Trace algumas linhas que possam representar alguns dos possíveis caminhos que saindo do ponto A cheguem ao ponto B.    Agora trace na ilustração aquele caminho que você julgue ser o de menor distância entre os pontos A e B. A B

A B V C D

Figura 10. Figura plana.   B A V Figura 11. Cone A linha AB que era reta sobre uma superfície plana transformou-se em uma linha curva sobre o cone.

Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? Figura 13 - Triângulo.   A resposta seria válida para a geometria esférica?

Na Geometria euclidiana a soma dos ângulos internos de um triângulo fornece como resultado o valor 180 graus. Na Geometria esférica a soma dos ângulos internos de um triângulo fornece como resultado um valor maior que 180 graus C > 180o A +   B + C = 180o A +   B + C A   B C A   B Figura 15 - Triângulo numa superfície esférica. Figura 14 - Triângulo.  

E de acordo com seus ângulos: Na geometria de Euclides, ou geometria plana podemos classificar os triângulos de acordo com seus lados: 3 cm 3,7 cm 4,2 cm 2,5 cm Equilátero 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais Escaleno 3 lados diferentes E de acordo com seus ângulos: Acuntângulo 3 ângulos agudos Retângulo 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos iguais Obtusângulo 1 ângulo reto e 2 ângulos agudoserentes

Observe os três pontos A, B, e C. Triângulo esférico Figura sobre uma superfície esférica que resulta quando consideramos três grandes círculos (ou círculos máximos) sobre essa superfície A B C Observe os três pontos A, B, e C. Ao unirmos estes três pontos, dois a dois, através de círculos máximos, formamos uma figura ABC que se assemelha a um triângulo, mas que se situa sobre a esfera: essa figura é denominada triângulo esférico.

Resgatando! A menor distância entre dois pontos, numa superfície plana é um segmento de reta. A B Figura 19 - Segmento de reta numa superfície plana.

Observamos que a menor distância entre dois pontos é uma reta somente se o espaço for plano. Se o espaço for esférico a menor distância entre quaisquer dois planos é um arco de circunferência. Figura 20 - Superfície esférica.  

Parte 3- Lição de casa Os partidos PN (Partido do Norte), PS (Partido do Sul) e PO (Partido do Oeste) lançaram candidatos a vereadores. Existem quatro vagas disponíveis. Os candidatos de cada partido receberam as quantidades de votos mostradas no quadro abaixo. Partido Candidato Numero de votos Total PN César Xavier Buarque   5.400 1000 600 7.000 PS Rodrigues Conceição Chaves 1.500 950 550 3.000 PO Diana Vera Pedro 1.100 1.000 900 Quais candidatos foram eleitos?

Parte 4 – Avaliação Processual 1 Individual e sem consulta 1 h de duração Vale 1 ponto na média final Composta de 4 questões Questão 1 – 0,30 pontos Questão 2 – 0,30 pontos Questão 3 – 0,20 pontos Questão 4 – 0,20pontos