matemática lógica? frege e todo mundo ao redor silvio lemos meira silvio@cesar.org.br www.meira.com
filosofia alemã clássica o “idealismo alemão” Immanuel Kant (1724-1804) confronto com David Hume (1711-1776), cético escocês: dh: tarefa do conhecimento não é compreender “o ser”, mas prover um “guia para a vida prática” (utilitarismo); dh: o único conhecimento autêntico é sobre os “objetos da matemática” porque nenhuma outra relação pode ser deduzida pela lógica, apenas pela experiência ik: se conhecimento só pode ser derivado da experiência, não haveria conhecimento no mundo “além das sensações”… conhecimento que, de fato, existe. logo…
o que precedia o idealismo alemão?... Racionalismo Empiricismo Certas verdades universais, auto-evidentes, podem ser descobertas unicamente com base na razão, sem recurso à experiência… A mente nasce como um espaço em branco no qual todo conheci-mento pode ser inscrito na forma de experiência humana… Descartes Spinoza Leibniz Bacon Locke Hume
qual foi o papel de Kant? o de… achar um compromisso o conhecimento está no domínio da experiência (ou seja, os empiricistas estão certos) mas a mente… incorpora sensações na estrutura da experiência, que pode ser conhecida a priori (os racionalistas estão certos!) estrutura: nós sabemos COMO (vir a) saber das coisas ps: kant poderia ter sido um dos fundadores do psdb!
no compromisso de kant… as coisas propriamente ditas eram desconhecidas… só os fenômenos correspondentes poderiam ser conhecidos… ao mostrar que proposições conflitantes sobre a natureza da realidade podiam ser provadas, kant garantia que tais contradições eram “aparentes” e que o conhecimento sobre as coisas propriamente ditas só era accessível através da… Fé! Crítica da Razão Pura (1769, 1787) as contradições da solução de Kant para as formas e limites da cognição foram pontos de partida para Hegel…
os “cursos”da lógica para kant & hegel lógica num curso seguro e imutável desde aristóteles (Kritik der reinen Vernunft, 1787)… a lógica parecia estar fechada e completa hegel Wissenschaft der Logik, 1812/13: exatamente porque a lógica está congelada desde aristóteles é que precisa de uma revisão completa... levando à... lógica como abstração de raciocínio ou lógica como metafísica...
hegel e a dialética a “fusão” de kant não explica a evolução histórica… porque sempre temos uma TESE: a verdade atual uma ANTÍTESE: o ponto de vista OPOSTO quando o RACIOCÍNIO (pensamento) tenta RECONCILIAR a TESE com a ANTÍTESE, o que resulta é uma SÍNTESE… que é uma NOVA TESE, e assim por diante, ad infinitum
filosofia alemã depois de 1848 {por que 1848?...} os cientistas naturais Hermann von Helmholtz (1821-1894), Ernst Mach (1838-1916), Ludwig Boltzmann (1844-1906), Albert Einstein (1879-1955) e Werner Heisenberg (1901-1976); os sociólogos Wilhelm Dilthey (1833-1911) e Max Weber (1864-1920); Friedrich Nietzsche (1844-1900) um dos filósofos originais da segunda metade do séc. XIX e precursor do existencialismo; o fundador da fenomenologia, Edmund Husserl (1859-1938), os existencialistas Martin Heidegger (1889-1976) e Karl Jaspers (1883-1969);
existencialismo… {nietzsche, heidegger, kierkagaard, sartre} para seres humanos, existência precede essência (significado)… não há um significado objetivo na vida {por que estamos aqui?} cada indivíduo tem a liberdade de criar (não de descobrir) tal significado cada um é nada mais do que faz de si mesmo {sartre} a verdade sobre a existência humana não é confortante, daí a angústia e o desespero… e a maioria das pessoas esconde isso delas mesmas, daí…
nossa galera na… “alemanha depois de 1848” os matemáticos Georg Cantor (1845-1918), Gottlob Frege (1848-1925), David Hilbert (1862-1943) e Rudolph Carnap (1891-1970). o “círculo de viena”, reunido em 1922 (!) por Moritz Schlick, que incluía Rudolph Carnap, Otto Neurath, Kurt Gödel, A J Ayer Ernst Mach e Ludwig Wittgenstein
hegel, os números e os conjuntos em Wissenschaft der Logik, 1812/3 o conceito abstrato de SER (Sein) o SER, o NADA e o TORNAR-se (Dasein) o SER através do TORNAR-se conseqüentemente, o finito (Endlichkeit) e o infinito (Unendlichkeit) a noção primitiva de conjunto infinito a noção primitiva de número natural o caráter quantitativo de um número …o que aparece depois em boole, cantor…
karl marx (1818-83) um dos “jovens hegelianos” originais hegel não foi é lido por quase ninguém, porque seus escritos são muito complexos mas… karl marx (1818-83) um dos “jovens hegelianos” originais nascido em trier, prússia, marx recebeu seu phd em 1841, em jena seus primeiros livros foram… The Poverty of Philosophy (1847) Communist Manifesto (1848) The Class Struggles in France (1848) em 1849, teve que se exilar na inglaterra o site da uni-jena, curiosamente não faz NENHUMA menção a marx!
depois da morte de hegel… 19th Century Logic between Philosophy and Mathematics {V Peckhaus, http://www.phil.uni-erlangen.de/p1phil/personen/peckhaus/texte/logic_phil_math.html} depois da morte de hegel… Adolf Trendelenburg (1802-1872) “Zur Geschichte von Hegel's Logik und dialektischer Methode” (“Die logische Frage in Hegel's Systeme”), 1842: "Is Hegel's dialectical method of pure reasoning a scientific procedure?'‘ descobriu-se que o mestre é ilegível e que a maioria das coisas que se diz que ele disse, ele, na verdade, nunca escreveu
voltando a… george boole (1815-1864) criou o cálculo proposicional: conectivo booleano correlato em linguagem natural não e ou se …, então … … se e somente se …
textos fundamentais The Mathematical Analysis of Logic, 1847 An Investigation of the Laws of Thought, 1854. exercício: conecte boole & shannon!...
clareza… mas havia problemas…
Charles Sanders Peirce (1839-1914) influenciado por de morgan, desenvolveu a lógica tri-valorada, cálculo das relações, grafos existenciais… e criou a noção de “objeto” (1883) um objeto é definido pelos efeitos do seu uso: uma definição que funciona bem é uma boa definição (pragmatismo) um objeto “é” seu comportamento o significado de um conceito consiste nos seus efeitos práticos nas nossas vidas diárias: se duas idéias têm o mesmo efeito prático em nós, elas têm o mesmo significado o significado de um conceito é uma função das relações entre conceitos: um conceito se refere a um objeto somente através da mediação de outros conceitos…
Friedrich W Karl Ernst Schröder (1841-1902) e a revisão de Boole… estudou com Hesse, Kirchhoff e Franz Neumann. seu trabalho em conjuntos ordenados e números ordinais é fundamental Der Operations-kreis des Logikkalkuls (1877), recria boole, influenciado por charles peirce, e enfatiza a dualidade da conjunção (interseção) e disjunção (união), mostrando como achar teoremas duais. foi o primeiro ausar o termo “lógica matemática”; sua comparação entre álgebra e a lógica de boole… There is certainly a contrast of the objects of the two operations. They are totally different. In arithmetic, letters are numbers, but here, they are arbitrary concepts. Vorlesungen über die Algebra der Logik, (1890 e 1905), é texto fundamental sobre lógica algébrica e fonte para a moderna teoria algébrica (Tarski) e teoria dos reticulados…
georg cantor (1845-1918) phd 1867, zurich gênio, estudante de Kronecker e Weierstrass renegado, pelas suas descobertas, por Kronecker e Poincaré, entre outros… morreu demente, num hospício, em 1918… sem suas contribuições, boa parte da matemática moderna não existiria…
georg cantor: CONJUNTOS georg cantor: CONJUNTOS! An Analysis of Two Views of the Foundations of Mathematics: Set Theory and Category Theory, Marc Millstone @ upenn.edu in 1874… an extremely controversial set of articles and proofs were published by George Cantor, marking the birth of set theory. In these papers, Cantor defined notions of sets, subsets, functions, etc, in a beautifully elegant method, however many mathematicians were quite unhappy with the revolutionary new ideas contained in his works. …controversy came with Cantor’s proof that there were actually at least two different cardinalities of infinity, that is that the set of all natural numbers, N, is actually smaller than the set of all real numbers, R.
georg cantor: set theory provides “a conceptual unification of mathematics” {mm} Jean-Pierre Marquis names five justifications of this claim as follows: Ontological: mathematics is truly the science of the realm of sets Logical: set theory is part of logic, the latter being the universal science upon which every other science is based; Set theory is just, in a sense, applied logic to mathematical concepts Semantical: set theory captures the fundamental cognitive operations upon which the whole of mathematical knowledge is bases Pragmatic: the axioms of set theory possess an epistemological property which gives them a privileged status Epistemological: a set theory is indispensable for doing mathematics, if only to provide a uniform and good control on questions of size, but mostly for definitions, constructions, and techniques of proofs. Thus a set theory is heuristically and methodologically inescapable…
georg cantor… conjuntos e a “hipótese do continuum” …the Continuum Hypothesis is what I have called an “inherently vague” statement, and that the continuum itself, or equivalently the power set of the natural numbers, is not a definite mathematical object. Rather, it’s a conception we have of the totality of “arbitrary” subsets of the set of natural numbers, a conception that is clear enough for us to ascribe many evident properties to that supposed object (such as the impredicative comprehension axiom scheme) but which cannot be sharpened in any way to determine or fix that object itself. Why the programs or new axioms need to be questioned, Solomon Feferman, Stanford U. 1999.
foi preciso ir além do cálculo proposicional? sim… mas… por que?... foi preciso ir além do cálculo proposicional? quem primeiro alertou para tal necessidade? por que? o que aconteceu depois? quais eram as dificuldades? vocês já descobriram?
e o que gottlob frege teria a ver com isso? http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Frege.html
não era pouco… mas como chegamos lá? In 1879 Frege published his first major work, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Conceptual notation, a formal language modelled on that of arithmetic, for pure thought): In 1879, with extreme clarity, rigour and technical brilliance, he first presented his conception of rational justification. In effect, it constitutes perhaps the greatest single contribution to logic ever made and it was, in any event, the most important advance since Aristotle. For the first time, a deep analysis was possible of deductive inferences involving sentences containing multiply embedded expressions of generality. Furthermore, he presented a logical system within which such arguments could be perspicuously represented: this was the most significant development in our understanding of axiomatic systems since Euclid. {George & Heck}
não percam, na próxima aula… de frege até quase gödel, church, turing e von neumann…