Mergesort Katia Guimarães

Problema de Ordenação Dado um array com n números naturais, ordenar estes números em ordem crescente. INPUT: 95 48 70 86 21 37 OUTPUT: 21 37 48 70 86 95

Abordagem Dividir-para-Conquistar Método em Computação que consiste em - Dividir a entrada em conjuntos menores - Resolver cada instância menor de maneira recursiva - Reunir as soluções parciais para compor a solução do problema original.

Exemplo de Mergesort INPUT: 47 26 33 05 99 38 64 15 1. Divide: 47 26 33 05 99 38 64 15 2. Resolve Recursivamente: a) Primeira metade 47 26 33 05 (Divide, Resolve recursivamente, Intercala Obtendo 05 26 33 47 ) b) Segunda metade 99 38 64 15 Obtendo 15 38 64 99 )

Exemplo de Mergesort INPUT: 47 26 33 05 99 38 64 15 2. Resolve Recursivamente: a) (Retorna 05 26 33 47 ) b) (Retorna 15 38 64 99 ) 3. Intercala as soluções parciais: 05 15 26 33 38 47 64 99

Algoritmo Mergesort Entrada : (A, B, ini, fim) Saída : B [ ini .. fim], array A ordenado de ini até fim begin if (fim = ini) retorne(*); else MergeSort (A, B, ini, (ini + fim)/2 ); MergeSort (A, B, (ini + fim)/2 +1, fim); Intercala (A, B, ini, (fim+ini)/2 +1, (fim-ini+1) ); end (*) O array com a resposta depende do tamanho de A.

Algoritmo Intercala Entrada: (A, B, ini1, ini2, n) Saída: Elementos B[ini1 .. ini1+n-1] ordenados begin int i  ini1, j  ini2, k  ini1; while ( i < ini2 and j < ini1+n ) do if (A[i]  A[j] ) then { B[k]  A[i]; i  i+1; k  k+1 } else { B[k]  A[j]; j  j+1; k  k+1 } while ( i < ini2 ) do /*copia 1a. metade.*/ { B[k]  A[i]; k  k+1; i  i+1 } while ( j < ini1+n ) do /*copia 2a. metade.*/ { B[k]  A[j]; k  k+1; j  j+1 } return ( B ) end

Exemplo de MergeSort

Implementação do Mergesort O procedimento Intercala requer o uso de um segundo array, B, para receber os dados ordenados. Note que no retorno de Mergesort com um array de tamanho 1, a resposta encontra-se no array A (o array original de entrada). No próximo nível (array de comprimento 2) o resultado da intercalação estará no array B. Podemos administrar este problema de duas maneiras.

Implementação do Mergesort Podemos administrar este problema de duas maneiras: - Copiando a porção do array referente ao resultado de volta para o array A, ou - Utilizando uma chave para indicar a “direção” dos movimentos de Intercala.

Complexidade do Mergesort TMergesort(n) = 2 • TMergesort(n/2) + cte • n + cte Forma Fechada de Recorrência TMS (n) = 2 • TMS(n/2) + c • n + c = 2 •[ 2 • TMS(n/4) + c • n/2 + c ] + c • n + c = 4 • TMS(n/4) + 2c • n + 3c = 4 •[ 2 • TMS(n/8) + c • n/4 + c ] + 2c • n + 3c = 8 • TMS(n/8) + 3c • n + 7c = ... TMS (n) = 2i • TMS(n/2i) + i • c • n + (2i-1) • c

Complexidade do Mergesort Temos que TMS(n) = 2i • TMS(n/2i) + i • c • n + (2i-1) • c. Note que sabemos o valor de TMS(1). Para obter um valor fechado, queremos que (n/2i) = 1. Isso ocorre quando i = log2n. TMS(n) = 2log2n • cte + (log2n) • c • n + (2log2n - 1) • c = n • cte + c • n • log2n + c •(n-1) = c • nlog2n + (cte+c) • n - c TMS(n) = O(n • log2n)