Modelo 101. Crescimento Exponencial (EXPO)

Crescimento exponencial. Uma população que obtém todo o alimento de que precisa aumentará cada vez mais rápido pois quanto mais indivíduos, mais bocas e portanto, mais alimento consumido acarretando maior crescimento da população. O crescimento exponencial se caracteriza por um aumento constante por período de tempo. Δm/Δt = constante

Uma pequena população de ratos de laboratório em gaiolas onde os recipientes de alimento e água se mantém sempre cheios, não importando quanto os ratos comam, pode ser um exemplo de crescimento exponencial (até certo tempo .. depois muda!). O número de ratos cresce de forma exponencial. Quanto maior o consumo, mais alimento é fornecido e mais rápido a população cresce. A cada semana o número de ratos aumenta.

Como este suprimento ilimitado de alimentos não é possível de se manter indefinidamente, eventualmente a população parará de crescer tão rapidamente. A partir daí um modelo diferente deveria ser utilizado para ajustar a nova situação de suprimento limitado de alimento.

Modelo

No diagrama (Figura II-1a) E é uma fonte que mantém uma concentração constante, independentemente do que é extraído dela, ela é relativamente ilimitada. Q é o estoque que está sendo suprido por E. Neste exemplo, E é o suprimento contínuo de alimentos e Q são os ratos. O símbolo de interação (a seta larga marcada com * em seu interior) mostra que os ratos estão comendo o alimento para produzir mais ratos.

Como o aumento da população de ratos é dependente tanto do alimento fornecido (E) quanto da quantidade de ratos que já existe (Q), quanto mais ratos houver, mais irão comer e mais filhotes irão nascer. A equação para ao aumento em Q é K1*E*Q. K1 é a proporção de Q*E que se transforma em ratos a cada semana; é o coeficiente de crescimento dos ratos.

O aumento na quantidade de ratos depende de seu próprio crescimento e reprodução (K2*E*Q) menos o esforço que eles consomem para obter os seu alimento e água (K3*E*Q). K1 é a combinação de dois coeficientes, K2 e K3. K1 = K2 - K3 K1*E*Q é o crescimento líquido. K4 é o coeficiente de morte dos ratos, a proporção de Q que morre. K4*Q é o número de ratos que morrem a cada semana, a taxa de mortalidade.

Portanto, a mudança na quantidade de ratos no tempo (DQ) é o aumento (K1*Q*E) menos a diminuição (K4*Q): DQ = K*E*Q - K4*Q. A quantidade de ratos (Q) após uma semana é o número inicial mais a alteração: Q = Q + DQ.

O gráfico ao lado é obtido quando se calculam os valores de Q variando-se o tempo; a população (Q) cresce num ritmo pequeno no início e depois cada vez mais rapidamente. O gráfico acima pode ser obtido tanto através de uma planilha como por qualquer programa de computador, utilizando-se as relações discutidas na página anterior.

http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo Mi.xls

Exemplos de Modelos Exponenciais Este modelo descreve corretamente o crescimento de populações de plantas ou animais com fontes sem restrições. Durante os estágios iniciais de crescimento da população, quando a demanda por alimento é pequena comparada à quantidade disponível, quase toda população de plantas ou animais crescerá exponencialmente.

O crescimento da população humana mundial tem sido exponencial até recentemente e ainda o é em alguns países. As indústrias do petróleo e a mineração têm crescido exponencialmente após a descoberta de campos de petróleo e jazidas de minerais. Os Estados Unidos, desde o início dos anos 1800 e até meados dos anos 1900, constituíram uma economia que cresceu exponencialmente usando uma grande abundância de recursos naturais e combustíveis fósseis locais descobertos nessa época.

Experimentos “O que aconteceria se...” Faremos algumas mudanças nas condições de vida da população de ratos de laboratório. Se a concentração de alimento for dobrada, o que acontecerá com o crescimento da população de ratos? Faça um ajuste e depois rode o programa. Passe de E = 1 para E = 2, obtenha o gráfico e depois analise a resposta. Agora corte pela metade a concentração de alimento (E = 0.5). Cada pedaço de ração tem apenas metade do valor nutricional. O que acontece com a população de ratos?

O que aconteceria se fosse mudada a taxa de crescimento da população de ratos? Talvez o pesquisador tenha encontrado outra raça de ratos que coma mais eficientemente. Como será o gráfico de Q? Experimente. Faça K1 = 0,08 e trace o gráfico. Tente também para uma população de ratos que come menos eficientemente, fazendo K1 menor que o valor original de 0,07. Como é o aspecto do gráfico?

Uma outra possibilidade que pode ocorrer é uma mudança na taxa de mortalidade. O que aconteceria se um vírus atacasse os ratos aumentando a taxa de mortalidade? Para testar sua hipótese, você aumentaria ou diminuiria o valor de K4? Mostre o que acontece com o crescimento da população. Depois faça com que os ratos sejam mais saudáveis que a população original mudando K4 na outra direção. Se E for 1 e você fizer K1 igual a K3, o que acontecerá à população? Experimente.

Experimente! http://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-101.html

COMPUTER MINIMODELS AND SIMULATION EXERCISES FOR SCIENCE AND SOCIAL STUDIES Howard T. Odum* and Elisabeth C. Odum+ * Dept. of Environmental Engineering Sciences, UF + Santa Fe Community College, Gainesville Center for Environmental Policy, 424 Black Hall University of Florida, Gainesville, FL, 32611 Copyright 1994 Autorização concedida pelos autores para publicação na Internet Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada - LEIA – FEA, Unicamp. Enrique Ortega, Mileine Furlanetti de Lima Zanghetin Campinas, SP, 20 de julho de 2007