Definição de vetor; Representação geométrica de vetores; Operações com vetores; Vetores da base canônica. Aula 2

Afinal de contas...

Noção intuitiva Grandezas escalares: ficam completamente definidas por apenas um número real ( acompanhado de uma unidade adequada). Exemplos: Comprimento, área, volume, etc. Grandezas Vetoriais: não ficam completamente definidas pelo seu módulo, ou seja, pelo seu número e sua unidade correspondente. Assim, precisamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Exemplos: Força, Velocidade, aceleração, etc.

Noção de direção e sentido Observe as figuras a seguir: Observações: A noção de direção é dada por uma reta e por toda as que lhe são paralelas. Ou seja, retas paralelas tem mesma direção; A cada direção podemos associar dois sentidos.

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES DEFINIÇÃO DE VETOR E REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados, ou seja, é o conjunto de todos os segmentos equipolentes a um segmento orientado AB, que foi dado. O vetor nulo é aquele representado por todos os segmentos orientados nulos. 𝑣 A B

Notações utilizadas O vetor determinado pelo segmento orientado AB é indicado, usualmente, por 𝑣 = AB ou pela notação de Grassmann 𝑣 = (B – A), que corresponde a uma diferença simbólica entre a extremidade e a origem do vetor. A B 𝑣 = AB = (B – A)

Igualdade de vetores Dois vetores AB e CD são iguais (ou são o mesmo vetor) se, e somente se, os segmentos orientados AB e CD são equipolentes. Como todos os segmentos nulos são equipolentes entre si, eles determinam um único vetor, chamado vetor nulo e indicado por 0 . A B D C

Módulo ou norma de um vetor É a distância da origem à extremidade de um segmento orientado que o represente. y dAB = | AB | = 𝑥2−𝑥1 2 +(𝑦2−𝑦1)² B y2 y2 – y1 A y1 y x2 – x1 x x1 x2 O

Módulo ou norma de um vetor Exemplo Dados os vetores 𝑢 = (−1, 3) e 𝑣 = (−2, −1), determinar | 𝑢 | | 𝑢 + 𝑣 |

Multiplicação de um vetor por um escalar Operações com vetores Multiplicação de um vetor por um escalar Dado um vetor 𝑣 (não nulo) e um escalar k (não nulo), a multiplicação de k por 𝑣 resulta o vetor k 𝑣 , múltiplo escalar de 𝑣 , determinado da seguinte maneira: k 𝑣 possui a mesma direção de 𝑣 ; se k > 0, então k 𝑣 tem o mesmo sentido de 𝑣 ; se k < 0, então k 𝑣 tem sentido oposto ao de 𝑣 ; a magnitude de k 𝑣 vale |k| vezes a magnitude de 𝑣 , isto é, |k 𝑣 |=|k|| 𝑣 |. 1 2 𝑣 𝑣 −1 𝑣 = − 𝑣 −3 𝑣

Operações com vetores Adição de vetores Definimos a adição de vetores 𝑢 e 𝑣 (não nulos) da seguinte maneira: posicionamos os vetores de modo que suas origens coincidam e formamos um paralelogramo. Esta regra para a adição de vetores é conhecida como regra do paralelogramo. 𝑣 𝑢 + 𝑣 𝑢

Operações com vetores De maneira semelhante à regra do paralelogramo, podemos também definir a adição dos vetores 𝑢 e 𝑣 da seguinte maneira: posicionamos a origem de 𝑣 sobre a extremidade de 𝑢 , o vetor soma 𝑢 + 𝑣 é o vetor cuja origem é a origem de 𝑢 e extremidade é a extremidade de 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 𝑣 𝑢

Operações com vetores Podemos também adicionar 𝑢 e 𝑣 posicionando a origem de 𝑢 sobre a extremidade de 𝑣 , o vetor soma 𝑣 + 𝑢 é o vetor cuja origem é a origem de 𝑣 e extremidade é a extremidade de 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 + 𝑢

Operações com vetores A subtração de vetores não é definida. A expressão 𝑣 – 𝑢 deve ser entendida como a adição do vetor 𝑣 com o vetor oposto de 𝑢 , isto é, 𝑣 – 𝑢 = 𝑣 + (– 𝑢 ) 𝑣 𝑣 − 𝑢 − 𝑢

Vetores em v3 Três vetores em V3 tem papel especial. Sejam 𝑖 = (1, 0, 0) 𝑗 = (0, 1, 0) 𝑘 = (0, 0, 1)

Vetores da base canônica Estes vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 são chamados vetores da base canônica. Ele tem comprimento 1 e direção e sentido dos eixos x, y e z positivos.

Vetores da base canônica Da mesma forma, em duas dimensões, definimos: 𝑖 = (1, 0) 𝑗 = (0, 1)

Vetores da base canônica Se 𝑎 = (a1, a2, a3), então podemos escrever: 𝑎 = (a1, a2, a3) 𝑎 = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) 𝑎 = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1) 𝑎 = a1 𝑖 + a2 𝑗 + a3 𝑘

Vetores da base canônica Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em ternos de 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 . Por exemplo, (1, −2, 6) = 𝑖 − 2 𝑗 + 6 𝑘

Vetores da base canônica Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever 𝑎 = (a1, a2) 𝑎 = a1 𝑖 + a2 𝑗

REFERÊNCIAS LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009. CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. CENGAGE LEARNING 2010.