Programação Linear e Seus Teoremas

Conteúdos do Capítulo Programação Linear e Convexidade Teoremas Fundamentais Caso LCL Produtos Farmacêuticos S.A.

Programação Linear e Convexidade Conjunto Convexo em R2 Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem faz parte do conjunto. Conjunto Convexo Conjunto não Convexo

Método Simplex Teoremas Fundamentais Teorema I O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de Programação Linear formam um conjunto convexo. Teorema II Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.

Método Simplex Teoremas Fundamentais Considere a solução gráfica do problema 21=5x1+2x2 z x2 D E 21 (1,4) C (0,4) 15 (3,3) 13 Solução Viável 8 pontos extremos A B (0,0) (3,0) x1 A B C D E

Método Simplex Teoremas Fundamentais Teorema III Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis. Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos.

Verificação Geométrica do Teorema III 1a parte O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo, o valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se o máximo ou o mínimo a função-objetivo. x2 D E (1,4) (0,4) (3,3) C = máximo Solução Viável Mínimo =A x1 B (0,0) (3,0)

Verificação Geométrica do Teorema III 2a parte Entretanto, a função-objetivo pode assumir uma inclinação tal que no ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restrição. Soluções Múltiplas x2 D E (1,4) C (0,4) (3,3) Em todos os pontos do segmento de reta CD, o valor da função-objetivo é o mesmo Solução Viável A B (0,0) x1 (3,0)

Método Simplex Teoremas Fundamentais Considere a solução gráfica do problema z x2 D E (1,4) C (0,4) (3,3) Solução Viável pontos extremos A B (0,0) (3,0) x1 A B C D E

Caso LCL Produtos Farmacêuticos As indústrias LCL Produtos Farmacêuticos Ltda. desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 5 e 8 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas uma tonelada da matéria A e uma tonelada da matéria B, e na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas uma tonelada de A e quatro toneladas de B. Sabendo que cada tonelada de analgésico é vendida a $8,00 e de antibiótico a $5,00, encontre, através da determinação dos pontos extremos do conjunto de soluções viáveis, a quantidade de toneladas de medicamentos a serem produzidas pelas indústrias LCL de maneira a maximizar seu lucro. Observação: Poderia apresentar o caso em texto pré-impresso, à turma.

Caso LCL Produtos Farmacêuticos Hipótese Assumida Quantidade Produzida = Quantidade Vendida Variáveis de Decisão x1 – Quantidade de Toneladas de Analgésico a ser produzida. x2 – Quantidade de Toneladas de Antibiótico a ser produzida.

Caso LCL Produtos Farmacêuticos Função-Objetiva – Maximizar o Lucro Restrições de Matéria Prima Restrições de não negatividade 2 1 5 8 x Max + 5 1 2 £ + x 8 4 1 2 £ + x ; 2 1 ³ x

Caso LCL Produtos Farmacêuticos Solução Gráfica 37 1 , 4 40 5 10 2 8 = Þ + z x (0;2) (4;1) Observação: Qual foi a conclusão que se chegou após a analise do gráfico? Propor atividade de treino e fixação do conteúdo e indicar leitura básica e complementar. (0;0) (5;0)