Prof. José Junior Barreto 2º ano ENSINO MÉDIO 2ª etapa/2013 MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto BINÔMIO DE NEWTON Para baixar essa aula, acesse: www.profjuniorbarreto.com

BINÔMIO DE NEWTON Binômio de Newton Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.1- Definição Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n, sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio. Expansão de alguns Binômios: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1.a + 1.b (a + b)2 = 1.a2 + 2.a.b + 1.b2 (a + b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3 (a + b)4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 (a + b)5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5 (a + b)6 = 1.a6 + 6.a5.b + 15.a4.b2 + 20.a3.b3 + 15.a2.b4 + 6.a.b5 + 1.b6 Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON Para expandir uma equação binomial, pode-se seguir os passos: 01. Todos os membros terão o termo a e, também, o b. (Ou seja, deve existir o termo a.b em todos os termos). 02. No primeiro termo atribui-se ao expoente de a o valor n e ao expoente de b o valor 0. A seguir diminui-se de 1 o valor do expoente de a e aumenta-se de 1 o valor do expoente de b. Continua-se até o último termo que deve ter o valor 0 no expoente de a e o valor n no expoente de b. 03. A soma dos expoentes de cada termo deve ser igual ao expoente do binômio. 04. Os valores numéricos em cada termo, são chamados de coeficientes binomiais, e são retirados do TRIÂNGULO DE PASCAL Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.2- Triângulo de Pascal Linha 0 Linha 1 Linha 9 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.3- Fatorial O Fatorial de um número natural n (n!), é o produto de todos os números naturais decrescentes de n até 1. n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) .... . 3 . 2 . 1 Exemplos: 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

3.4- Termo Geral do Binômio BINÔMIO DE NEWTON 3.4- Termo Geral do Binômio Um termo genérico do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por: Onde: é denominado Número Binomial Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é o desenvolvimento de (2x + 1)5 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é o 8º termo no desenvolvimento de (3x3 + 2x)12 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é o valor, caso exista, termo independente de x no desenvolvimento de (x + 3x4)7 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é o termo médio no desenvolvimento de (3/x + 2x2)8 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (x/2 + 3y)3? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

Qual é, caso exista, o termo em x5 no desenvolvimento BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é, caso exista, o termo em x5 no desenvolvimento de (2x3 + 3/x2)4 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

BINÔMIO DE NEWTON 3.5- Exemplos Qual é o último termo no desenvolvimento de (2xy – 3x)8 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA