Elisabete Longo Isabel Branco Árvores abrangentes

Árvores abrangentes Árvores abrangentes Uma árvore abrangente é um grafo conexo e sem circuitos, que contém todos os seus vértices. A utilização de uma árvore abrangente na resolução de problemas identifica-se com os problemas do tipo do caixeiro viajante: está implícita a procura de um circuito de Hamilton uma vez que temos de «visitar» todos os vértices. No entanto, não temos de regressar ao ponto de partida.

Árvores abrangentes O que procuramos é uma árvore abrangente mínima. Uma árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima Algoritmo de Kruskal As arestas do grafo vão-se unindo por ordem crescente dos pesos, desde que não se formem circuitos, sendo que, no final, todos os vértices estão na árvore. Este algoritmo garante que a solução encontrada é uma solução ótima, ao contrário dos algoritmos utilizados para os problemas do tipo do Caixeiro Viajante.

Árvores abrangentes Um camião deve recolher resíduos tóxicos de 7 instalações e, ao fazê-lo, deve percorrer a menor distância possível. A empresa responsável distribuiu ao condutor um esquema, com as instalações a visitar e as distâncias entre elas (em km), que está representado a seguir sob a forma de grafo: C 35 10 23 E 70 D A 37 43 55 45 93 G B 52 60 F Determine o percurso mínimo e desenhe a árvore abrangente correspondente.

Árvores abrangentes Vamos ordenar as arestas do grafo representativo da situação problemática apresentada por ordem crescente dos pesos das arestas: C 35 C A ; 10 C D ; 23 C E ; 35 10 23 E A D ; 37 E G ; 43 B D ; 45 70 D A F G ; 52 A B ; 55 B F ; 60 37 43 D E ; 70 D F 93 45 55 93 G B 52 60 F

Árvores abrangentes Escolhemos a aresta para começar 10 D 23 35 E Escolhemos a aresta C A 10 para começar e juntamos a seguir C D 23 e C E. 35 70 43 G A aresta A D 37 não pode ser acrescentada 55 37 pois fecharia o circuito. 45 B 93 Acrescentam-se as arestas E G , 43 B D , 45 F G 52 e já não se acrescentam 52 F A B , 55 B F , 60 D E 70 e D F, 93 60 pois já temos todos os vértices ligados.

Árvores abrangentes Resultado final: A árvore abrangente mínima para a situação apresentada é: A C B F E G D 35 10 23 43 45 52 O percurso tem um comprimento de 10 + 23 + 35 + 43 + 45 + 52 = 208 km.